Derecho de grupo formal

En matemáticas , una ley de grupo formal es (en términos generales) una serie de potencias formal que se comporta como si fuera el producto de un grupo de Lie . Fueron introducidos por S. Bochner  (1946). El término grupo formal a veces significa lo mismo que ley de grupo formal y, a veces, significa una de varias generalizaciones. Los grupos formales son intermedios entre los grupos de Lie (o grupos algebraicos ) y las álgebras de Lie . Se utilizan en teoría algebraica de números y topología algebraica .

Definiciones

Una ley de grupo formal unidimensional sobre un anillo conmutativo R es una serie de potencias F ( x , y ) con coeficientes en R , tal que

1. F ( x , y ) = x + y + términos de grado superior
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z ) ( asociatividad ).

El ejemplo más simple es la ley formal aditiva del grupo F ( x , y ) = x + y . La idea de la definición es que F debería ser algo así como la expansión formal en serie de potencias del producto de un grupo de Lie, donde elegimos coordenadas para que la identidad del grupo de Lie sea el origen.

De manera más general, una ley de grupo formal de n dimensiones es una colección de n series de potencias F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) en 2 n variables , tal que

1. F ( x , y ) = x + y + términos de grado superior
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z )

donde escribimos F para ( F ₁ , ..., F _n ), x para ( x ₁ , ..., x _n ), y así sucesivamente.

La ley formal de grupo se llama conmutativa si F ( x , y ) = F ( y , x ). Si R no tiene torsión, entonces se puede incrustar R en un álgebra Q y usar el exponencial y el logaritmo para escribir cualquier ley de grupo formal unidimensional F como F ( x , y ) = exp(log( x ) + log( y ) ), por lo que F es necesariamente conmutativa. ^[1] De manera más general, tenemos:

Teorema . Toda ley de grupo formal unidimensional sobre R es conmutativa si y sólo si R no tiene nilpotentes de torsión distintos de cero (es decir, no hay elementos distintos de cero que sean a la vez de torsión y nilpotentes). ^[2]

No hay necesidad de un axioma análogo a la existencia de elementos inversos para grupos , ya que esto se sigue automáticamente de la definición de una ley formal de grupo. En otras palabras, siempre podemos encontrar una serie de potencias (única) G tal que F ( x , G ( x )) = 0.

Un homomorfismo de una ley de grupo formal F de dimensión m a una ley de grupo formal G de dimensión n es una colección f de n series de potencias en m variables, tal que

GRAMO ( f ( x ), f ( y )) = f ( F ( x , y )).

Un homomorfismo con inversa se llama isomorfismo , y se llama isomorfismo estricto si además f ( x )= x +términos de mayor grado. Dos leyes formales de grupo con un isomorfismo entre ellas son esencialmente iguales; sólo se diferencian por un "cambio de coordenadas".

Ejemplos

• La ley del grupo formal aditivo está dada por

${\displaystyle F(x,y)=x+y.\ }$

• La ley del grupo formal multiplicativo está dada por

${\displaystyle F(x,y)=x+y+xy.\ }$

Esta regla se puede entender de la siguiente manera. El producto G en el (grupo multiplicativo del) anillo R viene dado por G ( a , b ) = ab . Si "cambiamos coordenadas" para hacer de 0 la identidad poniendo a = 1 +  x , b = 1 +  y y G = 1 +  F , entonces encontramos que F ( x , y ) = x  +  y  +  xy .

Sobre los números racionales , existe un isomorfismo de la ley formal de grupos aditiva a la multiplicativa, dada por exp( x ) − 1 . En los anillos conmutativos generales R no existe tal homomorfismo, ya que definirlo requiere números racionales no integrales, y los grupos formales aditivos y multiplicativos no suelen ser isomorfos.

• De manera más general, podemos construir una ley de grupo formal de dimensión n a partir de cualquier grupo algebraico o grupo de Lie de dimensión n , tomando coordenadas en la identidad y anotando la expansión formal en serie de potencias del mapa del producto. Las leyes de los grupos formales aditivos y multiplicativos se obtienen de esta forma a partir de los grupos algebraicos aditivos y multiplicativos. Otro caso especial importante de esto es el grupo formal (ley) de una curva elíptica (o variedad abeliana ).
• F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) es una ley de grupo formal que proviene de la fórmula de suma para la función tangente hiperbólica : tanh( x  +  y ) = F (tanh( x ), tanh( y )), y también es la fórmula para la suma de velocidades en la relatividad especial (con la velocidad de la luz igual a 1).
• ${\textstyle F(x,y)=\left.\left(x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}\right)\right/\!(1+x^{2}y^{2})}$es una ley de grupo formal sobre Z [1/2] encontrada por Euler , en la forma de la fórmula de suma para una integral elíptica (Strickland):

${\displaystyle \int _{0}^{x}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}+\int _{0}^{y}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Álgebras de mentira

Cualquier ley de grupo formal de n dimensiones da un álgebra de Lie de n dimensiones sobre el anillo R , definido en términos de la parte cuadrática F ₂ de la ley de grupo formal.

[ x , y ] = F ₂ ( x , y ) − F ₂ ( y , x )

El functor natural de grupos de Lie o grupos algebraicos a álgebras de Lie se puede factorizar en un functor de grupos de Lie a leyes de grupos formales, y luego tomando el álgebra de Lie del grupo formal:

Grupos de mentiras → Leyes formales de grupos → Álgebras de mentiras

Sobre campos de característica 0, las leyes formales de grupos son esencialmente las mismas que las álgebras de Lie de dimensión finita: más precisamente, el functor de las leyes formales de grupos de dimensión finita a las álgebras de Lie de dimensión finita es una equivalencia de categorías . ^[3] En campos de características distintas de cero, las leyes formales de grupo no son equivalentes a las álgebras de Lie. De hecho, en este caso es bien sabido que pasar de un grupo algebraico a su álgebra de Lie a menudo desecha demasiada información, pero pasar a la ley de grupo formal a menudo conserva suficiente información. Entonces, en cierto sentido, las leyes formales de grupo son el sustituto "correcto" de las álgebras de Lie en la característica p  > 0.

El logaritmo de una ley de grupo formal conmutativa.

Si F es una ley de grupo formal conmutativa n -dimensional sobre una Q -álgebra R conmutativa , entonces es estrictamente isomórfica a la ley de grupo formal aditiva. ^[4] En otras palabras, existe un isomorfismo estricto f del grupo formal aditivo a F , llamado logaritmo de F , de modo que

f ( F ( x , y )) = f ( x ) + f ( y ).

Ejemplos:

• El logaritmo de F ( x , y ) = x  +  y es f ( x ) = x .
• El logaritmo de F ( x , y ) = x  +  y  +  xy es f ( x ) = log(1 +  x ), porque log(1 +  x  +  y  +  xy ) = log(1 +  x ) + log(1 +  y ).

Si R no contiene los racionales, se puede construir un mapa f por extensión de escalares a R ⊗ Q , pero esto enviará todo a cero si R tiene una característica positiva. Las leyes de grupos formales sobre un anillo R a menudo se construyen escribiendo su logaritmo como una serie de potencias con coeficientes en R ⊗ Q , y luego demostrando que los coeficientes del grupo formal correspondiente sobre R ⊗ Q en realidad se encuentran en R. Cuando se trabaja en característica positiva, normalmente se reemplaza R con un anillo de característica mixta que tiene una sobreyección de R , como el anillo W ( R ) de los vectores de Witt , y se reduce a R al final.

El diferencial invariante

Cuando F es unidimensional, se puede escribir su logaritmo en términos del diferencial invariante ω(t). ^[5] Deja que

$${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial F}{\partial x}}(0,t)^{-1}dt\in R[[t]]dt,}$$

dtinvariante de traducción ${\textstyle R[[t]]dt}$ ${\textstyle R[[t]]}$

$${\displaystyle F^{*}\omega =\omega ,}$$

${\textstyle \omega (t)=p(t)dt}$

$${\displaystyle F^{*}\omega :=p(F(t,s)){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,s)dt.}$$

${\textstyle \omega (t)=(1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots )dt}$

$${\displaystyle f(t)=\int \omega (t)=t+{\frac {c_{1}}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\dots }$$

F

El anillo de grupo formal de una ley de grupo formal

El anillo de grupo formal de una ley de grupo formal es un álgebra de Hopf cocommutativa análoga al anillo de grupo de un grupo y al álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie, las cuales también son álgebras de Hopf cocommutativas. En general, las álgebras cocommutativas de Hopf se comportan de forma muy parecida a los grupos.

Por simplicidad describimos el caso unidimensional; el caso de dimensiones superiores es similar excepto que la notación se vuelve más complicada.

Supongamos que F es una ley de grupo formal (unidimensional) sobre R . Su anillo de grupo formal (también llamado hiperálgebra o biálgebra covariante ) es un álgebra de Hopf cocommutativa H construida de la siguiente manera.

• Como módulo R , H es libre con una base 1 = D ( ⁰⁾ , D ⁽¹⁾ , D ⁽²⁾ , ...
• El coproducto Δ viene dado por Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )}  ⊗  D ^{( n − i )} (por lo que el dual de esta coalgebra es solo el anillo de la serie de potencias formal).
• La unidad η viene dada por el coeficiente de D ⁽⁰⁾ .
• La identidad es 1 = D ⁽⁰⁾ .
• La antípoda S lleva D ^{( n )} a (−1) ⁿ D ^{( n )} .
• El coeficiente de D ⁽¹⁾ en el producto D ^{( i )} D ^{( j )} es el coeficiente de x ⁱ y ^j en F ( x , y ).

Por el contrario, dada un álgebra de Hopf cuya estructura coalgebra se proporciona arriba, podemos recuperar una ley de grupo formal F a partir de ella. Entonces, las leyes de grupos formales unidimensionales son esencialmente las mismas que las álgebras de Hopf cuya estructura de coalgebra se proporciona arriba.

Leyes formales de grupos como funtores.

Dada una ley de grupo formal n -dimensional F sobre R y una R -álgebra S conmutativa , podemos formar un grupo F ( S ) cuyo conjunto subyacente es N ⁿ donde N es el conjunto de elementos nilpotentes de S. El producto se obtiene usando F para multiplicar elementos de N ⁿ ; La cuestión es que todas las series de potencias formales ahora convergen porque se aplican a elementos nilpotentes, por lo que sólo hay un número finito de términos distintos de cero. Esto convierte a F en un funtor de R -álgebras S conmutativas a grupos.

Podemos extender la definición de F ( S ) a algunas R -álgebras topológicas . En particular, si S es un límite inverso de álgebras R discretas , podemos definir F ( S ) como el límite inverso de los grupos correspondientes. Por ejemplo, esto nos permite definir F ( Z _p ) con valores en los números p -ádicos .

El functor con valores de grupo de F también se puede describir utilizando el anillo de grupo formal H de F. Por simplicidad asumiremos que F es unidimensional; el caso general es similar. Para cualquier álgebra de Hopf cocommutativa, un elemento g se llama grupal si Δ g = g ⊗ g y ε g = 1, y los elementos grupales forman un grupo mediante multiplicación. En el caso del álgebra de Hopf de una ley de grupo formal sobre un anillo, los elementos similares al grupo son exactamente aquellos de la forma

D ⁽⁰⁾  +  D ⁽¹⁾ x  +  D ⁽²⁾ x ²  + ...

para elementos nilpotentes x . En particular, podemos identificar los elementos grupales de H ⊗ S con los elementos nilpotentes de S , y la estructura de grupo de los elementos grupales de H ⊗ S luego se identifica con la estructura de grupo de F ( S ).

Altura

Supongamos que f es un homomorfismo entre leyes de grupos formales unidimensionales sobre un campo de característica p  > 0. Entonces f es cero, o el primer término distinto de cero en su expansión en serie de potencias es para algún entero no negativo h , llamado altura del homomorfismo f . La altura del homomorfismo cero se define como ∞. ${\displaystyle ax^{p^{h}}}$

La altura de una ley de grupo formal unidimensional sobre un campo de característica p  > 0 se define como la altura de su multiplicación por p mapa.

Dos leyes de grupos formales unidimensionales sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p  > 0 son isomorfas si y sólo si tienen la misma altura, y la altura puede ser cualquier número entero positivo o ∞.

Ejemplos:

• La ley de grupo formal aditivo F ( x , y ) = x  +  y tiene altura ∞, ya que su p -ésimo mapa de potencia es 0.
• La ley del grupo formal multiplicativo F ( x , y ) = x  +  y  +  xy tiene altura 1, ya que su p ésimo mapa de potencia es (1 +  x ) ^p  − 1 = x ^p .
• La ley formal del grupo de una curva elíptica tiene una altura uno o dos, dependiendo de si la curva es ordinaria o supersingular . La supersingularidad puede detectarse mediante la desaparición de la serie de Eisenstein . ${\displaystyle E_{p-1}}$

Anillo lazardo

Existe una ley de grupo formal unidimensional conmutativa universal sobre un anillo conmutativo universal definido de la siguiente manera. Dejamos

F ( x , y )

ser

x + y + Σ c _{i , j} x ⁱ y ^j

para indeterminados

ci _{, j} ,_​

y definimos el anillo universal R como el anillo conmutativo generado por los elementos ci _{, j} , con las relaciones que son forzadas por las leyes de asociatividad y conmutatividad para las leyes formales de grupos _. Más o menos por definición, el anillo R tiene la siguiente propiedad universal:

Para cualquier anillo conmutativo S , las leyes de grupos formales unidimensionales sobre S corresponden a homomorfismos de anillo de R a  S.

El anillo conmutativo R construido anteriormente se conoce como anillo universal de Lazard . A primera vista parece increíblemente complicado: las relaciones entre sus generadores son muy confusas. Sin embargo, Lazard demostró que tiene una estructura muy simple: es simplemente un anillo polinómico (sobre los números enteros) en generadores de grados 2, 4, 6, ... (donde c _{i , j} tiene grado 2 ( i  +  j  − 1 )). Daniel Quillen demostró que el anillo de coeficientes del cobordismo complejo es naturalmente isomorfo como un anillo graduado del anillo universal de Lazard, lo que explica la clasificación inusual.

Grupos formales

Un grupo formal es un objeto de grupo en la categoría de esquemas formales .

• Si es un functor de álgebras de Artin para grupos que es exacto a la izquierda , entonces es representable ( G es el functor de puntos de un grupo formal (la exactitud a la izquierda de un funtor equivale a conmutar con límites proyectivos finitos). ${\displaystyle G}$
• Si es un esquema de grupo , entonces , la finalización formal de G en la identidad tiene la estructura de un grupo formal. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$
• La finalización formal de un esquema de grupo suave es isomorfa a . Algunas personas consideran que un esquema de grupo formal es fluido si se cumple lo contrario; otros reservan el término "grupo formal" para objetos localmente de esta forma. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {Spf} (R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]])}$
• La suavidad formal afirma la existencia de elevaciones de deformaciones y puede aplicarse a esquemas formales que son más grandes que los puntos. Un esquema de grupo formal fluido es un caso especial de un esquema de grupo formal.
• Dado un grupo formal fluido, se puede construir una ley de grupo formal y un campo eligiendo un conjunto uniforme de secciones.
• Los isomorfismos (no estrictos) entre leyes de grupos formales inducidos por cambios de parámetros constituyen los elementos del grupo de cambios de coordenadas en el grupo formal.

Los grupos formales y las leyes de grupos formales también se pueden definir sobre esquemas arbitrarios , en lugar de simplemente sobre anillos o campos conmutativos, y las familias se pueden clasificar mediante mapas desde la base hasta un objeto parametrizado.

El espacio de módulos de leyes de grupos formales es una unión disjunta de espacios afines de dimensión infinita, cuyos componentes están parametrizados por dimensión y cuyos puntos están parametrizados por coeficientes admisibles de la serie de potencias F. La pila de módulos correspondiente de grupos formales suaves es un cociente de este espacio por una acción canónica del grupoide de dimensiones infinitas de cambios de coordenadas.

Sobre un campo algebraicamente cerrado, la subpila de grupos formales unidimensionales es un punto (en característica cero) o una cadena infinita de puntos apilados que parametrizan alturas. En la característica cero, el cierre de cada punto contiene todos los puntos de mayor altura. Esta diferencia otorga a los grupos formales una rica teoría geométrica en características positivas y mixtas, con conexiones con el álgebra de Steenrod , los grupos p -divisibles, la teoría de Dieudonné y las representaciones de Galois . Por ejemplo, el teorema de Serre-Tate implica que las deformaciones de un esquema de grupo están fuertemente controladas por las de su grupo formal, especialmente en el caso de variedades abelianas supersingulares . Para curvas elípticas supersingulares , este control es completo, y esto es bastante diferente de la situación característica cero donde el grupo formal no tiene deformaciones.

Un grupo formal a veces se define como un álgebra de Hopf cocommutativa (generalmente con algunas condiciones adicionales agregadas, como ser puntiagudo o conectado). ^[7] Esto es más o menos dual con la noción anterior. En el caso suave, elegir las coordenadas equivale a tomar una base distinguida del anillo del grupo formal.

Algunos autores utilizan el término grupo formal para referirse al derecho de grupo formal .

Leyes formales del grupo Lubin-Tate

Dejamos que Z _p sea el anillo de enteros p -ádicos . La ley de grupo formal de Lubin-Tate es la ley de grupo formal única (unidimensional) F tal que e ( x ) = px  +  x ^p es un endomorfismo de F , en otras palabras

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

De manera más general, podemos permitir que e sea cualquier serie de potencias tal que e ( x ) = px  + términos de grado superior y e ( x ) = x ^p  mod  p . Todas las leyes de grupo para diferentes elecciones de e que satisfacen estas condiciones son estrictamente isomorfas. ^[8]

Para cada elemento a en Z _p existe un endomorfismo único f de la ley formal de grupos de Lubin-Tate tal que f ( x ) = ax  + términos de grado superior. Esto da una acción del anillo Z _p sobre la ley formal del grupo de Lubin-Tate.

Existe una construcción similar con Zp reemplazado por cualquier anillo de valoración discreto completo con campo de clase de residuo _finito . ^[9]

Esta construcción fue introducida por Lubin y Tate (1965), en un esfuerzo exitoso por aislar la parte del campo local de la teoría clásica de la multiplicación compleja de funciones elípticas . También es un ingrediente importante en algunos enfoques de la teoría de campos de clases locales ^[10] y un componente esencial en la construcción de la teoría E de Morava en la teoría de la homotopía cromática . ^[11]

Ver también

• vector de ingenio
• Artin-Hasse exponencial
• funtor de grupo
• Teorema de la suma

Referencias

1. Tenga en cuenta que la fórmula del logaritmo en términos del diferencial invariante dada en la dimensión uno no supone que F sea conmutativa.
2. Hazewinkel, Michiel. Grupos formales y aplicaciones . §6.1.
3. Hazewinkel, Michiel. Grupos formales y aplicaciones . §14.2.3.
4. Hazewinkel, Michiel. Grupos formales y aplicaciones . §11.1.6.
5. Mavraki, Niki Myrto. «Grupos formales» (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 12 de septiembre de 2022.
6. Weinstein, Jared. "La geometría de los espacios Lubin-Tate" (PDF) .
7. Underwood, Robert G. (2011). Una introducción a las álgebras de Hopf . Berlín: Springer-Verlag . pag. 121.ISBN​ 978-0-387-72765-3. Zbl  1234.16022.
8. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 49 (Segunda ed.). pag. 168.ISBN​ 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
9. Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encíclica. Matemáticas. Ciencia. vol. 62 (segunda impresión de la 1ª ed.). Springer-Verlag . págs. 62–63. ISBN 3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.
10. por ejemplo, Serre, Jean-Pierre (1967). "Teoría del campo de clase local". En Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.). Teoría algebraica de números . Prensa académica. págs. 128-161. Zbl  0153.07403.Hazewinkel, Michiel (1975). "La teoría del campo de clase local es fácil". Avances en Matemáticas . 18 (2): 148–181. doi : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 . Zbl  0312.12022.Iwasawa, Kenkichi (1986). Teoría de campos de clases locales . Monografías de matemáticas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford de Clarendon Press. ISBN 978-0-19-504030-2. SEÑOR  0863740. Zbl  0604.12014.
11. Lurie, Jacob (27 de abril de 2010). "Teoría de Lubin-Tate (Conferencia 21)" (PDF) . harvard.edu . Consultado el 23 de junio de 2023 .

• Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Bochner, Salomon (1946), "Grupos de mentiras formales", Annals of Mathematics , segunda serie, 47 (2): 192–201, doi :10.2307/1969242, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969242, MR  0015397
• Demazure, Michel (1972), Conferencias sobre grupos p-divisibles , Lecture Notes in Mathematics, vol. 302, doi : 10.1007/BFb0060741 , ISBN 0-387-06092-8
• Fröhlich, A. (1968), Grupos formales , Lecture Notes in Mathematics, vol. 74, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0074373 , ISBN 978-3-540-04244-0, SEÑOR  0242837
• P. Gabriel, Estudio infinito de esquemas en grupos SGA 3 Exp. VIIB
• Grupos formales y aplicaciones (Matemáticas puras y aplicadas 78) Michiel Hazewinkel Editor: Academic Pr (junio de 1978) ISBN 0-12-335150-2 
• Lazard, Michel (1975), Grupos formales conmutativos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 443, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0070554, ISBN 978-3-540-07145-7, SEÑOR  0393050
• Lubin, Jonathan; Tate, John (1965), "Multiplicación compleja formal en campos locales", Annals of Mathematics , segunda serie, 81 (2): 380–387, doi :10.2307/1970622, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970622, MR  0172878, Zbl  0128.26501
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Strickland, N. "Grupos formales" (PDF) .