grupo co-hopfiano

En el tema matemático de la teoría de grupos , un grupo co-hopfiano es un grupo que no es isomorfo a ninguno de sus subgrupos propios . La noción es dual a la de grupo hopfiano , que lleva el nombre de Heinz Hopf . ^[1]

Definicion formal

Un grupo G se llama co-hopfiano si siempre que es un homomorfismo de grupo inyectivo entonces es sobreyectivo , es decir . ^[2] ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (G)=G}$

Ejemplos y no ejemplos

• Todo grupo finito G es co-hopfiano.
• El grupo cíclico infinito no es co-hopfiano ya que es un homomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=2n}$
• El grupo aditivo de números reales no es co-hopfiano, ya que es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre y por tanto, como grupo . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• El grupo aditivo de números racionales y el grupo cociente son co-hopfianos. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$
• El grupo multiplicativo de números racionales distintos de cero no es co-hopfiano, ya que el mapa es un homomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo. ^[2] Del mismo modo, el grupo de números racionales positivos no es co-hopfiano. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\ast }}$
• El grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero no es co-hopfiano. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$
• Porque el grupo abeliano libre no es co-hopfiano. ^[2] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$
• Porque el grupo libre no es co-hopfiano. ^[2] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle F_{n}}$
• Existe un grupo virtualmente libre no elemental (es decir, no virtualmente cíclico) generado finitamente que es co-hopfiano. Por lo tanto, un subgrupo de índice finito en un grupo co-hopfiano generado finitamente no necesita ser co-hopfiano, y ser co-hopfiano no es una invariante cuasi-isométrica para grupos finitamente generados. ^[3]
• Grupos Baumslag-Solitar , donde no son co-hopfianos. ^[4] ${\displaystyle BS(1,m)}$ ${\displaystyle m\geq 1}$
• Si G es el grupo fundamental de una variedad asférica cerrada con característica de Euler distinta de cero (o con volumen simplicial distinto de cero o número L 2 -Betti distinto de cero ), entonces G es co-hopfiano. ^[5]
• Si G es el grupo fundamental de una variedad M irreductible orientada conectada y cerrada , entonces G es co-hopfiano si y solo si ninguna cubierta finita de M es un paquete toroidal sobre el círculo o el producto de un círculo y una superficie cerrada. ^[6]
• Si G es una red irreducible en un grupo de Lie semisimple real y G no es un grupo prácticamente libre, entonces G es co-hopfiano. ^[7] Por ejemplo, este hecho se aplica al grupo de . ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\geq 3}$
• Si G es un grupo hiperbólico de palabras de un extremo y libre de torsión, entonces G es co-hopfiano, como resultado de Sela . ^[8]
• Si G es el grupo fundamental de una variedad n riemanniana suave de volumen finito completo (donde n > 2) de curvatura negativa pellizcada, entonces G es co-hopfiana. ^[9]
• El grupo de clases de mapeo de una superficie hiperbólica cerrada es co-hopfiano. ^[10]
• El grupo Out( F _n ) (donde n >2) es co-hopfiano. ^[11]
• Delzant y Polyagailo dieron una caracterización de co-Hopficicity para grupos kleinianos geométricamente finitos de isometrías sin 2-torsión. ^[12] ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$
• Un grupo de Artin en ángulo recto (donde hay un gráfico finito no vacío) no es co-hopfiano; enviando cada generador estándar de a una potencia definida y cuyo endomorfismo es inyectivo pero no sobreyectivo. ^[13] ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$
• Un grupo G nilpotente libre de torsión generado finitamente puede ser co-hopfiano o no co-hopfiano, dependiendo de las propiedades de su álgebra de Lie racional asociada . ^{[5] [3]}
• Si G es un grupo relativamente hiperbólico y es un endomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo de G , entonces es parabólico para algunos k > 1 o G se divide en un subgrupo virtualmente cíclico o parabólico. ^[14] ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi ^{k}(G)}$
• El grupo G de Grigorchuk de crecimiento intermedio no es co-hopfiano. ^[15]
• El grupo F de Thompson no es co-hopfiano. ^[dieciséis]
• Existe un grupo G generado finitamente que no es co-hopfiano pero tiene la propiedad de Kazhdan (T) . ^[17]
• Si G es el grupo universal finitamente presentado de Higman, entonces G no es co-hopfiano y G no puede integrarse en un grupo co-hopfiano presentado recursivamente generado finitamente. ^[18]

Generalizaciones y nociones relacionadas.

• Un grupo G se llama finitamente co-hopfiano ^[19] si siempre es un endomorfismo inyectivo cuya imagen tiene índice finito en G , entonces . Por ejemplo, el grupo libre no es co-hopfiano pero sí finitamente co-hopfiano. ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi (G)=G}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle F_{n}}$
• Un grupo G generado finitamente se llama invariante de escala si existe una secuencia anidada de subgrupos de índice finito de G , cada uno isomorfo a G , y cuya intersección es un grupo finito. ^[4]
• Un grupo G se llama disco-cohopfiano ^[3] si existe un endomorfismo inyectivo tal que . ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}}$
• En geometría burda , un espacio métrico X se llama cuasi-isométricamente co-Hopf si cada incrustación cuasi-isométrica es burdamente sobreyectiva (es decir, es una cuasi-isometría). De manera similar, X se llama groseramente co-Hopf si cada incrustación grosera es groseramente sobreyectiva. ^[20] ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle f:X\to X}$
• En geometría métrica , un espacio métrico K se llama cuasisimétricamente co-Hopf si cada incrustación cuasisimétrica es sobre. ^[21] ${\displaystyle K\to K}$

Ver también

• Objeto hopfiano

Referencias

1. Wilhelm Magnus , Abraham Karrass, Donald Solitar, Teoría combinatoria de grupos. Presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones , Reimpresión de la segunda edición de 1976, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. ISBN  0-486-43830-9
2. P. de la Harpe, Temas de la teoría de grupos geométricos. Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; pag. 58 
3. Yves Cornulier, Graduaciones de álgebras de Lie, crecimiento sistólico y propiedades cohopfianas de grupos nilpotentes . Bulletin de la Société Mathématique de France 144 (2016), núm. 4, págs. 693–744
4. Volodymyr Nekrashevych y Gábor Pete, Grupos invariantes de escala . Grupos, Geometría y Dinámica 5 (2011), no. 1, págs. 139-167
5. Igor Belegradek, Sobre grupos nilpotentes co-hopfianos . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres 35 (2003), no. 6, págs. 805–811
6. Shi Cheng Wang y Ying Qing Wu, Cubriendo invariantes y co-Hopficicity de grupos de 3 variedades. Actas de la Sociedad Matemática de Londres 68 (1994), no. 1, págs. 203-224
7. Gopal Prasad Subgrupos discretos isomorfos a celosías en grupos de Lie semisimples . Revista Estadounidense de Matemáticas 98 (1976), no. 1, 241–261
8. Zlil Sela , Estructura y rigidez en grupos hiperbólicos (Gromov) y grupos discretos en grupos de Lie de rango 1. II. Análisis geométrico y funcional 7 (1997), no. 3, págs. 561–593
9. I. Belegradek, Sobre la rigidez de Mostow para curvatura negativa variable . Topología 41 (2002), no. 2, págs. 341–361
10. Nikolai Ivanov y John McCarthy, Sobre homomorfismos inyectivos entre grupos modulares de Teichmüller. I. Inventiones Mathematicae 135 (1999), núm. 2, págs. 425–486
11. Benson Farb y Michael Handel, Commensuraciones de Out ( F _n ) , Publications Mathématiques de l'IHÉS 105 (2007), págs.
12. Thomas Delzant y Leonid Potyagailo, Endomorfismos de grupos kleinianos . Análisis geométrico y funcional 13 (2003), no. 2, págs. 396–436
13. Montserrat Casals-Ruiz, Incrustabilidad y clasificación cuasi isométrica de grupos parcialmente conmutativos . Topología algebraica y geométrica 16 (2016), no. 1, 597–620
14. Cornelia Druţu y Mark Sapir , Grupos que actúan sobre espacios clasificados en árboles y escisiones de grupos relativamente hiperbólicos . Avances en Matemáticas 217 (2008), no. 3, págs. 1313-1367
15. Igor Lysënok, Un conjunto de relaciones definitorias para el grupo Grigorchuk. (en ruso) Matematicheskie Zametki 38 (1985), núm. 4, 503–516
16. Bronlyn Wassink, Subgrupos del grupo F de R. Thompson que son isomorfos a F. Groups, Complexity, Cryptology 3 (2011), no. 2, 239–256
17. Yann Ollivier y Daniel Wise , grupos de Kazhdan con grupo de automorfismo externo infinito . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense 359 (2007), no. 5, págs. 1959-1976
18. Charles F. Miller y Paul Schupp , Incrustaciones en grupos hopfianos . Revista de álgebra 17 (1971), págs. 171-176
19. Martin Bridson , Daniel Groves, Jonathan Hillman, Gaven Martin , grupos Cofinitely Hopfian, mapeos abiertos y complementos de nudos. Grupos, Geometría y Dinámica 4 (2010), no. 4, págs. 693–707
20. Ilya Kapovich y Anton Lukyanenko, Co-Hopficicidad cuasi isométrica de celosías no uniformes en grupos de Lie semisimples de rango uno. Geometría y dinámica conformes 16 (2012), págs. 269–282
21. Sergei Merenkov, Una alfombra de Sierpiński con la propiedad co-hopfiana . Invenciones Mathematicae 180 (2010), núm. 2, págs. 361–388

Otras lecturas

• K. Varadarajan, Objetos hopfianos y co-hopfianos, Publicacions Matemàtiques 36 (1992), núm. 1, págs. 293–317