grupo grigorchuk

En el área matemática de la teoría de grupos , el grupo Grigorchuk o el primer grupo Grigorchuk es un grupo finitamente generado construido por Rostislav Grigorchuk que proporcionó el primer ejemplo de un grupo finitamente generado de crecimiento intermedio (es decir, más rápido que el polinomio pero más lento que el exponencial). . El grupo fue construido originalmente por Grigorchuk en un artículo de 1980 ^[1] y luego demostró en un artículo de 1984 ^[2] que este grupo tiene un crecimiento intermedio, proporcionando así una respuesta a un importante problema abierto planteado por John Milnor en 1968. El grupo sigue siendo un objeto de estudio clave en la teoría de grupos geométricos , particularmente en el estudio de los llamados grupos de ramas y grupos de autómatas, y tiene conexiones importantes con la teoría de grupos de monodromía iterados . ^[3]

Historia y significado

El crecimiento de un grupo finitamente generado mide las asintóticas, a partir del tamaño de una n -bola en el gráfico de Cayley del grupo (es decir, el número de elementos de G que se pueden expresar como palabras de longitud como máximo n en el conjunto generador de G ). El estudio de las tasas de crecimiento de grupos finitamente generados se remonta a la década de 1950 y está motivado en parte por la noción de entropía de volumen (es decir, la tasa de crecimiento del volumen de bolas) en el espacio de cobertura universal de una variedad riemanniana compacta en diferencial. geometría . Es obvio que la tasa de crecimiento de un grupo finitamente generado es, como máximo, exponencial y también se entendió desde el principio que los grupos nilpotentes finitamente generados tienen un crecimiento polinómico. En 1968 John Milnor planteó una pregunta ^[4] sobre la existencia de un grupo finitamente generado de crecimiento intermedio , es decir, más rápido que cualquier función polinómica y más lento que cualquier función exponencial. Un resultado importante en el tema es el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial , obtenido por Gromov en 1981, que muestra que un grupo finitamente generado tiene crecimiento polinómico si y sólo si este grupo tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . Antes del trabajo de Grigorchuk, hubo muchos resultados que establecían la dicotomía del crecimiento (es decir, que el crecimiento es siempre polinómico o exponencial) para varias clases de grupos generados finitamente, como grupos lineales , grupos solubles , ^[5]^[6] , etc. $n\to \infty$

El grupo G de Grigorchuk fue construido en un artículo de 1980 de Rostislav Grigorchuk , ^[1] donde demostró que este grupo es infinito, periódico y residualmente finito . En un artículo posterior de 1984 ^[2] Grigorchuk demostró que este grupo tiene un crecimiento intermedio (este resultado fue anunciado por Grigorchuk en 1983). ^[7] Más precisamente, demostró que G tiene un crecimiento b ( n ) que es más rápido pero más lento que donde . Posteriormente, Laurent Bartholdi ^[8] mejoró el límite superior para $\exp({\sqrt {n}})$ $\exp(n^{s})$ $s=\log _{32}31\aproximadamente 0,991$

s={\frac {\log 2}{\log 2-\log \eta }}\aprox 0.7674,\qquad \eta ^{3}+\eta ^{2}+\eta =2.

Yurii Leonov demostró un límite inferior de . ^[9] Aún se desconocen las asintóticas precisas del crecimiento de G. Se conjetura que el límite $\exp(n^{0.504})$

\lim _{n\to \infty }\log _{n}\log b(n),

existe, pero incluso esto sigue siendo un importante problema abierto. Este problema fue resuelto en 2020 por Erschler y Zheng. ^[10] Muestran que el límite es igual a . $s$

El grupo de Grigorchuk fue también el primer ejemplo de un grupo que es dócil pero no elementalmente dócil , respondiendo así a un problema planteado por el Día de Mahlon Marsh en 1957. ^[11]

Originalmente, el grupo G de Grigorchuk se construyó como un grupo de transformaciones que preservan la medida de Lebesgue en el intervalo unitario, pero posteriormente se encontraron descripciones más simples de G y ahora generalmente se presenta como un grupo de automorfismos del árbol binario infinito regular con raíz . El estudio del grupo de Grigorchuk informó en gran parte el desarrollo de la teoría de los grupos ramificados, los grupos autómatas y los grupos autosemejantes en las décadas de 1990 y 2000, y el grupo de Grigorchuk sigue siendo un objeto central en esta teoría. Recientemente, en el trabajo de Volodymyr Nekrashevych ^[12] y otros se han descubierto conexiones importantes entre esta teoría y la dinámica compleja, particularmente la noción de grupos de monodromía iterados .

Después del artículo de Grigorchuk de 1984, hubo muchas ampliaciones y generalizaciones posteriores. ^[13]^[14]^[15]^[16]

Definición

Aunque inicialmente el grupo de Grigorchuk se definió como un grupo de transformaciones del intervalo unitario que preservan la medida de Lebesgue , en la actualidad este grupo suele estar dado por su realización como un grupo de automorfismos del árbol binario infinito regular con raíces $T$ $2$ . El árbol $T$ $2$ es el conjunto $Σ$ $*$ de todas las cadenas finitas en el alfabeto $Σ = {0,1}$ , incluida la cadena vacía $\emptyset$ , que tiene raíces $en T$ $2$ . Para un vértice $x$ de $T$ $2,$ la cadena $x$ $0$ es el hijo izquierdo de $x$ y la cadena $x$ $1$ es el hijo derecho de $x$ en $T$ $2$ . Por tanto , el grupo de todos los automorfismos $Aut($ $T$ $2$ $)$ puede considerarse como el grupo de todas las permutaciones $σ$ de $Σ$ $*$ que conservan la longitud y que también respetan la relación del segmento inicial : siempre que una cadena $x$ es un segmento inicial de una cadena $y$ entonces $σ ($ $x$ $)$ es un segmento inicial de $σ ($ $y$ $)$ .

El grupo $G$ de Grigorchuk es el subgrupo de $Aut(T 2)$ generado por cuatro elementos específicos de $Aut(T 2)$ definidos de la siguiente manera (tenga en cuenta que $\emptyset$ está fijado por cualquier automorfismo de árbol): donde y $G=\langle a,b,c,d\rangle \leq {\text{Aut}}(T_{2}){\text{,}}$ $a(0)=1{\text{,}}\qquad a(1)=0{\text{,}}\qquad \forall x\in \Sigma ^{*}\quad {\begin{ casos}a(0x)=1x\\a(1x)=0x\end{casos}}$ ${\begin{aligned}&b(0)=c(0)=d(0)=0\\&b(1)=c(1)=d(1)=1{\text{,}} \end{aligned}}\qquad \forall x\in \Sigma ^{*}\quad {\begin{aligned}&{\begin{cases}b(0x)=0a(x)\\b(1x)= 1c(x)\end{casos}}\\&{\begin{casos}c(0x)=0a(x)\\c(1x)=1d(x)\end{casos}}\\&{\ comenzar{casos}d(0x)=0x\\d(1x)=1b(x){\text{.}}\end{casos}}\end{aligned}}$

Sólo el elemento $a$ se define explícitamente; intercambia los árboles secundarios de $\emptyset$ . Los elementos $b$ , $cyd$ se $definen$ mediante una recursión mutua .

Para comprender el efecto de las últimas operaciones, considere la rama $B$ más a la derecha de $T 2$ , que comienza ${\emptyset, 1, 11, 111, ...}$ . Como rama, $B$ es de orden isomorfo a T 2. El árbol original $T$ $2$ se puede obtener enraizando un árbol isomorfo a $T$ $2$ en cada elemento de $B$ ; por el contrario, se puede descomponer $T$ $2$ en subárboles isomórficos indexados por elementos de . $\mathbb {N}.$ $B\cong \mathbb {N}$

Todas las operaciones $b$ , $c$ y $d$ respetan esta descomposición: fijan cada elemento de $B$ y actúan como automorfismos en cada subárbol indexado. Cuando $b$ actúa, corrige cada subárbol con índice $\equiv 2 (mod 3)$ , pero actúa como $a$ en el resto. Asimismo, cuando $c$ actúa, fija sólo los subárboles de índice $\equiv 1 (mod 3)$ ; yd $fija$ los de índice $\equiv 0 (mod 3)$ .

Una notación compacta para estas operaciones es la siguiente: sea la rama izquierda (o derecha) de T $2 T$ $L = 0Σ *$ (resp. $T R = 1Σ *$ ), de modo que escribimos $f$ $= ($ $g$ $,$ $h$ $)$ para significa que $f$ actúa como $g$ en $T$ $L$ y como $h$ en $T$ $R$ . De manera similar, donde $id$ es la función de identidad . $a(T_{L})\subseteq T_{R},\quad a(T_{R})\subseteq T_{L}{\text{.}}$ ${\begin{aligned}b=(a,c)\quad &\Longleftrightarrow \quad b(x)={\begin{cases}a(x)&x\in T_{L}\\c(x)&x\in T_{R}\end{cases}}\\c=(a,d)\quad &\Longleftrightarrow \quad c(x)={\begin{cases}a(x)&x\in T_{L}\\d(x)&x\in T_{R}\end{cases}}\\d=({\text{id}},b)\quad &\Longleftrightarrow \quad d(x)={\begin{cases}x&x\in T_{L}\\b(x)&x\in T_{R}{\text{.}}\end{cases}}\end{aligned}}$ $aba=(c,a),\quad aca=(d,a),\quad ada=(b,{\text{id}}){\text{,}}$

Propiedades

Las siguientes son propiedades algebraicas básicas del grupo Grigorchuk (ver ^[17] para pruebas):

El grupo G es infinito. ^[2]
El grupo G es residualmente finito . ^[2] Sea el homomorfismo de restricción que envía cada elemento de G a su restricción a los primeros $n$ niveles de $T$ $2$ . Los grupos Aut( T [ n ]) son finitos y para cada g no trivial en G existe n tal que $\rho _{n}:G\to {\text{Aut}}(T[n])$ $\rho _{n}(g)\neq 1.$
El grupo G es generado por a y dos cualesquiera de los tres elementos b,c,d . Por ejemplo, podemos escribir $G=\langle a,b,c\rangle .$
Los elementos a , b , c , d son involuciones .
Los elementos b , c , d se conmutan por pares y bc = cb = d , bd = db = c , dc = cd = b , por lo que es un grupo abeliano de orden 4 isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2. $\langle b,c,d\rangle \leqslant G$
Combinando las dos propiedades anteriores vemos que cada elemento de G se puede escribir como una palabra (positiva) en a , b , c , d tal que esta palabra no contenga ninguna subpalabra de la forma aa , bb , cc , dd , cd. , corriente continua , antes de Cristo , cb , bd , db . Estas palabras se llaman reducidas .
El grupo G es un grupo de 2 , es decir, cada elemento en G tiene un orden finito que es una potencia de 2. ^[1]
El grupo G es periódico (como un grupo de 2) y no localmente finito (ya que se genera de forma finita). Como tal, es un contraejemplo del problema de Burnside .
El grupo G tiene un crecimiento intermedio. ^[2]
El grupo G es dócil pero no elementalmente dócil . ^[2]
El grupo G es simplemente infinito , es decir, G es infinito pero todo grupo cociente propio de G es finito.
El grupo G tiene la propiedad de subgrupo de congruencia : un subgrupo H tiene índice finito en G si y sólo si existe un entero positivo n tal que $\ker(\rho _{n})\leqslant H.$
El grupo G tiene _un problema de pertenencia a subgrupos que se puede resolver, es decir, existe un algoritmo que, dadas palabras arbitrarias w , u ₁ , ..., un decide si w representa o no un elemento del subgrupo generado por u ₁ , .. . , un _.^[18]
El grupo G es separable por subgrupos , es decir, cada subgrupo generado finitamente está cerrado en la topología pro- finita en G. ^[18]
Cada subgrupo máximo de G tiene un índice finito en G . ^[19]
El grupo G es finitamente generado pero no finitamente presentable . ^[2]^[20]
El estabilizador de los vértices de nivel uno en G ( el subgrupo de elementos que actúan como identidad en las cadenas 0 y 1), está generado por los siguientes elementos: $T_{2}$

G_{\{0,1\}}=\langle b,c,d,aba,aca,ada\rangle .

G_{\{0,1\}}

es un subgrupo normal del índice 2 en G y

G=G_{\{0,1\}}\sqcup aG_{\{0,1\}}.

Una palabra reducida representa un elemento de si y sólo si esta palabra implica un número par de apariciones de a . $G_{\{0,1\}}$
Si w es una palabra reducida en G con un número par positivo de apariciones de a , entonces existen palabras u , v (no necesariamente reducidas) tales que:

w=(u,v)\quad {\text{and}}\quad {\begin{cases}|u|,|v|\leqslant {\tfrac {1}{2}}|w|&|w|{\text{ odd}}\\|u|,|v|\leqslant {\tfrac {1}{2}}(|w|+1)&|w|{\text{ even}}\end{cases}}

A esto a veces se le llama propiedad de contracción . Desempeña un papel clave en muchas pruebas sobre G ya que permite utilizar argumentos inductivos sobre la longitud de una palabra.

El grupo G tiene un problema verbal resoluble y un problema de conjugación resoluble (consecuencia de la propiedad de contracción).

Ver también

Referencias

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Enlaces externos

Rostislav Grigorchuk e Igor Pak, Grupos de crecimiento intermedio: una introducción para principiantes, preimpresión, 2006, arXiv