Tasa de crecimiento (teoría de grupos)

En la materia matemática de la teoría de grupos geométricos , la tasa de crecimiento de un grupo con respecto a un conjunto generador simétrico describe la velocidad con la que crece un grupo. Cada elemento del grupo se puede escribir como un producto de generadores, y la tasa de crecimiento cuenta la cantidad de elementos que se pueden escribir como un producto de longitud n .

Definición

Supongamos que G es un grupo finitamente generado; y T es un conjunto finito simétrico de generadores (simétrico significa que si entonces ). Cualquier elemento puede expresarse como una palabra en el alfabeto T ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle x^{-1}\in T}$ ${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T.}$

Consideremos el subconjunto de todos los elementos de G que pueden expresarse mediante una palabra de longitud ≤  n

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T{\text{ and }}k\leq n\}.}$

Este conjunto no es más que la bola cerrada de radio n en la palabra métrica d en G con respecto al conjunto generador T :

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}$

Más geométricamente, es el conjunto de vértices en el gráfico de Cayley con respecto a T que están dentro de la distancia n de la identidad. ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

Dadas dos funciones positivas no decrecientes a y b se puede decir que son equivalentes ( ) si existe una constante C tal que para todos los enteros positivos  n , ${\displaystyle a\sim b}$

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}$

por ejemplo si . ${\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}$ ${\displaystyle p,q>1}$

Entonces la tasa de crecimiento del grupo G puede definirse como la clase de equivalencia correspondiente de la función

${\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}$

donde denota el número de elementos del conjunto . Aunque la función depende del conjunto de generadores T, su tasa de crecimiento no depende de él (ver más abajo) y, por lo tanto, la tasa de crecimiento da como resultado un invariante de un grupo. ${\displaystyle |B_{n}(G,T)|}$ ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$ ${\displaystyle \#(n)}$

La palabra métrica d y, por lo tanto, los conjuntos dependen del grupo electrógeno T . Sin embargo, dos de estas métricas son equivalentes bilipschitz en el siguiente sentido: para grupos electrógenos simétricos finitos E , F , existe una constante positiva C tal que ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

${\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}$

Como corolario inmediato de esta desigualdad obtenemos que la tasa de crecimiento no depende de la elección del grupo electrógeno.

Crecimiento polinomial y exponencial

Si

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

Para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento polinomial . El ínfimo de tales k' se llama orden de crecimiento polinomial . Según el teorema de Gromov , un grupo de crecimiento polinomial es un grupo virtualmente nilpotente , es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . En particular, el orden de crecimiento polinomial tiene que ser un número natural y de hecho . ${\displaystyle C,k<\infty }$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Si para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento exponencial . Todo G finitamente generado tiene como máximo un crecimiento exponencial, es decir, para algunos tenemos . ${\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}$ ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}$

Si crece más lentamente que cualquier función exponencial , G tiene una tasa de crecimiento subexponencial . Cualquier grupo de este tipo es susceptible . ${\displaystyle \#(n)}$

Ejemplos

• Un grupo libre de rango finito tiene una tasa de crecimiento exponencial. ${\displaystyle k>1}$
• Un grupo finito tiene un crecimiento constante, es decir, un crecimiento polinomial de orden 0, y esto incluye grupos fundamentales de variedades cuya cubierta universal es compacta .
• Si M es una variedad riemanniana cerrada y de curvatura negativa , entonces su grupo fundamental tiene una tasa de crecimiento exponencial. John Milnor demostró esto utilizando el hecho de que la palabra métrica en es cuasi isométrica a la cobertura universal de M . ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
• El grupo abeliano libre tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden d . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$
• El grupo discreto de Heisenberg tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden 4. Este hecho es un caso especial del teorema general de Hyman Bass e Yves Guivarch que se analiza en el artículo sobre el teorema de Gromov . ${\displaystyle H_{3}}$
• El grupo de faroleros tiene un crecimiento exponencial.
• La existencia de grupos con crecimiento intermedio , es decir, subexponenciales pero no polinómicos, estuvo abierta durante muchos años. La pregunta fue planteada por Milnor en 1968 y finalmente fue respondida positivamente por Rostislav Grigorchuk en 1984. Todavía quedan preguntas abiertas en este campo y falta una imagen completa de qué órdenes de crecimiento son posibles y cuáles no.
• Los grupos de triángulos incluyen infinitos grupos finitos (los esféricos, correspondientes a la esfera), tres grupos de crecimiento cuadrático (los euclidianos, correspondientes al plano euclidiano) e infinitos grupos de crecimiento exponencial (los hiperbólicos, correspondientes al plano hiperbólico).

Véase también

• Conexiones con desigualdades isoperimétricas

Referencias

• Milnor J. (1968). "Una nota sobre curvatura y grupo fundamental". Journal of Differential Geometry . 2 : 1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Grigorchuk RI (1984). "Grados de crecimiento de grupos finitamente generados y la teoría de medias invariantes". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (en ruso). 48 (5): 939–985.

Lectura adicional

• Rostislav Grigorchuk e Igor Pak (2006). "Grupos de crecimiento intermedio: una introducción para principiantes". arXiv : math.GR/0607384 .