En teoría de grupos , el teorema de incrustación de Higman establece que todo grupo R presentado recursivamente generado finitamente puede incrustarse como un subgrupo de algún grupo G presentado finitamente . Este es el resultado de Graham Higman de la década de 1960. [1]
Por otro lado, es un teorema sencillo que cada subgrupo generado finitamente de un grupo presentado finitamente se presenta recursivamente, por lo que los grupos generados finitamente presentados recursivamente son (hasta el isomorfismo) exactamente los subgrupos generados finitamente de grupos presentados finitamente.
Dado que cada grupo contable es un subgrupo de un grupo generado finitamente, el teorema se puede reformular para esos grupos.
Como corolario , existe un grupo universal presentado finitamente que contiene todos los grupos presentados finitamente como subgrupos (hasta el isomorfismo); de hecho, sus subgrupos generados finitamente son exactamente los grupos presentados recursivamente generados finitamente (nuevamente, hasta el isomorfismo).
El teorema de incrustación de Higman también implica el teorema de Novikov-Boone (probado originalmente en la década de 1950 mediante otros métodos) sobre la existencia de un grupo presentado finitamente con un problema verbal algorítmicamente indecidible . De hecho, es bastante fácil construir un grupo presentado recursivamente generado de forma finita con un problema verbal indecidible. Entonces, cualquier grupo presentado finitamente que contenga este grupo como subgrupo también tendrá un problema verbal indecidible.
La demostración habitual del teorema utiliza una secuencia de extensiones HNN que comienzan con R y terminan con un grupo G que se puede demostrar que tiene una presentación finita. [2]