Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo que es "casi abeliano ". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes tienen solución y, para grupos nilpotentes finitos , dos elementos que tienen órdenes relativamente primos deben conmutar . También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son supersolubles . Se atribuye el concepto al trabajo realizado en la década de 1930 por el matemático ruso Sergei Chernikov . [1]
Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de grupos de Lie .
G tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.
donde y es el subgrupo tal que .
Para un grupo nilpotente, el n más pequeño tal que G tiene una serie central de longitud n se llama clase de nilpotencia de G ; y se dice que G es nilpotente de clase n . (Por definición, la longitud es n si hay diferentes subgrupos en la serie, incluido el subgrupo trivial y el grupo completo).
De manera equivalente, la clase de nilpotencia de G es igual a la longitud de la serie central inferior o de la serie central superior. Si un grupo tiene una clase de nilpotencia como máximo n , entonces a veces se le llama grupo nulo- n .
De cualquiera de las formas anteriores de definición de nilpotencia se deduce inmediatamente que el grupo trivial es el grupo único de nilpotencia clase 0 , y los grupos de nilpotencia clase 1 son exactamente los grupos abelianos no triviales. [2] [3]
Ejemplos
Como se señaló anteriormente, todo grupo abeliano es nilpotente. [2] [4]
Para un pequeño ejemplo no abeliano, considere el grupo de cuaterniones Q8 , que es el grupo p no abeliano más pequeño . Tiene centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q 8 ; entonces es nilpotente de clase 2.
El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente. [5]
Todos los grupos p finitos son de hecho nilpotentes ( prueba ). La clase máxima de un grupo de orden p n es n (por ejemplo, cualquier grupo de orden 2 es nilpotente de clase 1). Los 2 grupos de clase máxima son los grupos de cuaterniones generalizados , los grupos diédricos y los grupos semidiédricos .
Además, todo grupo nilpotente finito es el producto directo de p -grupos. [5]
El grupo multiplicativo de matrices unitarias superiores n × n sobre cualquier campo F es un grupo nilpotente de clase de nilpotencia n − 1. En particular, tomando n = 3 se obtiene el grupo de Heisenberg H , un ejemplo de un nilpotente infinito no abeliano [6] grupo. [7] Tiene clase de nilpotencia 2 con serie central 1, Z ( H ) , H.
Cualquier grupo no abeliano G tal que G / Z ( G ) sea abeliano tiene clase de nilpotencia 2, con serie central {1}, Z ( G ), G .
Se han caracterizado los números naturales k para los cuales cualquier grupo de orden k es nilpotente (secuencia A056867 en la OEIS ).
Explicación del término
Los grupos nilpotentes se llaman así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotente , lo que significa que para un grupo nilpotente de grado de nilpotencia y un elemento , la función definida por (donde está el conmutador de y ) es nilpotente en el sentido de que el La iteración de la función es trivial: para todo en .
Esta no es una característica definitoria de los grupos nilpotentes: los grupos para los cuales es nilpotente de grado (en el sentido anterior) se denominan grupos de Engel , [8] y no necesitan ser nilpotentes en general. Se ha demostrado que son nilpotentes si tienen un orden finito y se conjetura que son nilpotentes siempre que se generen de forma finita .
Un grupo abeliano es precisamente aquel para el cual la acción adjunta no es sólo nilpotente sino trivial (un grupo de 1-Engel).
Cada subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase como máximo n ; [9] además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n , entonces la imagen de f es nilpotente [9] de clase como máximo n .
Las siguientes afirmaciones son equivalentes para grupos finitos, [10] y revelan algunas propiedades útiles de la nilpotencia:
G es un grupo nilpotente.
Si H es un subgrupo propio de G , entonces H es un subgrupo normal propio de N G ( H ) (el normalizador de H en G ). Esto se denomina propiedad del normalizador y puede expresarse simplemente como "los normalizadores crecen".
Por inducción en | GRAMO |. Si G es abeliano, entonces para cualquier H , N G ( H ) = G. Si no, si Z ( G ) no está contenido en H , entonces h Z H Z −1 h −1 = h' H' h −1 = H , entonces H · Z ( G ) normalizadores H . Si Z ( G ) está contenido en H , entonces H / Z ( G ) está contenido en G / Z ( G ). Tenga en cuenta que G / Z ( G ) es un grupo nilpotente. Por lo tanto, existe un subgrupo de G / Z ( G ) que normaliza H / Z ( G ) y H / Z ( G ) es un subgrupo propio del mismo. Por lo tanto, retroceda este subgrupo al subgrupo en G y se normaliza H. (Esta prueba es el mismo argumento que para p -grupos; el único hecho que necesitábamos era que si G es nilpotente, entonces también lo es G / Z ( G ), por lo que se omiten los detalles).
(b)→(c)
Sean p 1 , p 2 ,..., p s los primos distintos que dividen su orden y sean P i en Syl p i ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Sea P = P i para alguna i y sea N = N G ( P ). Dado que P es un subgrupo de Sylow normal de N , P es característico en N. Dado que P char N y N es un subgrupo normal de NG ( N ) , obtenemos que P es un subgrupo normal de NG ( N ) . Esto significa que N G ( N ) es un subgrupo de N y por lo tanto NG ( N ) = N . Por lo tanto, por (b) debemos tener N = G , lo que da (c).
(c)→(d)
Sean p 1 , p 2 ,..., p s los primos distintos que dividen su orden y sean P i en Syl p i ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Para cualquier t , 1 ≤ t ≤ s demostramos inductivamente que P 1 P 2 ··· P t es isomorfo a P 1 × P 2 ×···× P t .Observe primero que cada Pi es normal en G , por lo que P 1 P 2 ··· P t es un subgrupo de G. Sea H el producto P 1 P 2 ··· P t −1 y sea K = P t , entonces por inducción H es isomorfo a P 1 × P 2 ×···× P t −1 . En particular,| H | = | P 1 |⋅| P 2 |⋅···⋅| P t −1 |. Desde | k | = | P t |, los órdenes de H y K son primos relativos. El teorema de Lagrange implica que la intersección de H y K es igual a 1. Por definición, P 1 P 2 ··· P t = HK , por lo tanto HK es isomorfo a H × K , que es igual a P 1 × P 2 ×··· × P t . Esto completa la inducción. Ahora tome t = s para obtener (d).
(d)→(e)
Tenga en cuenta que un p-grupo de orden p k tiene un subgrupo normal de orden p m para todo 1≤ m ≤ k . Dado que G es un producto directo de sus subgrupos de Sylow y la normalidad se conserva sobre el producto directo de los grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d de | GRAMO |.
(e)→(a)
Para cualquier prima p dividiendo | G |, el subgrupo p de Sylow es normal. Por lo tanto podemos aplicar (c) (ya que ya probamos (c)→(e)).
El enunciado (d) puede extenderse a infinitos grupos: si G es un grupo nilpotente, entonces cada subgrupo de Sylow G p de G es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (ver subgrupo de torsión ).
^ Dixon, señor; Kirichenko, VV; Kurdachenko, Luisiana; Otal, J.; Semko, NN; Shemetkov, LA; Subbotin, I. Ya. (2012). "SN Chernikov y el desarrollo de la teoría de grupos infinitos". Álgebra y Matemática Discreta . 13 (2): 169–208.
^ ab Suprunenko (1976). Grupos de matrices. pag. 205.
^ Tabachnikova y Smith (2000). Temas de teoría de grupos (Serie de Matemáticas de Pregrado de Springer). pag. 169.
^ Hungerford (1974). Álgebra. pag. 100.
^ ab Zassenhaus (1999). La teoría de los grupos. pag. 143.
^ Haeseler (2002). Secuencias automáticas (Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, 36). pag. 15.
^ Palmer (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras. pag. 1283.
↑ Para el término, compárese el teorema de Engel , también sobre la nilpotencia.
^ ab Bechtell (1971), pág. 51, Teorema 5.1.3
^ Isaacs (2008), Thm. 1.26
Referencias
Bechtell, Homero (1971). La teoría de los grupos . Addison-Wesley .
Von Haeseler, Friedrich (2002). Secuencias Automáticas . Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas. vol. 36. Berlín: Walter de Gruyter . ISBN 3-11-015629-6.