En matemáticas , la cohomología L 2 es una teoría de cohomología para variedades suaves no compactas M con métrica de Riemann . Se define de la misma manera que la cohomología de De Rham, excepto que se utilizan formas diferenciales integrables al cuadrado . La noción de integrabilidad cuadrada tiene sentido porque la métrica de M da lugar a una norma sobre formas diferenciales y una forma de volumen .
La cohomología L 2 , que surgió en parte a partir de estimaciones de L 2 d-bar de la década de 1960, fue estudiada cohomológicamente de forma independiente por Steven Zucker (1978) y Jeff Cheeger (1979). Está estrechamente relacionado con la cohomología de intersección ; de hecho, los resultados de los trabajos citados anteriormente se pueden expresar en términos de cohomología de intersección.
Otro resultado de este tipo es la conjetura de Zucker , que establece que para una variedad hermitiana localmente simétrica la cohomología L 2 es isomorfa a la cohomología de intersección (con la perversidad media ) de su compactificación Baily-Borel (Zucker 1982). Esto lo demostraron de diferentes maneras Eduard Looijenga (1988) y Leslie Saper y Mark Stern (1990).
Ver también
Referencias
- Atiyah, Michael F. (1976). "Operadores elípticos, grupos discretos y álgebras de von Neumann". Coloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) . París: Soc. Matemáticas. Francia. págs. 43–72. Astérisque, núms. 32-33.
- Gordon, B. Brent (2001) [1994], "Compactificación de Baily-Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Cheeger, Jeff (1983), "Geometría espectral de espacios singulares de Riemann", Journal of Differential Geometry , 18 (4): 575–657, doi : 10.4310/jdg/1214438175 , MR 0730920
- Cheeger, Jeff (1980). "Sobre la teoría de Hodge de las pseudovariedades de Riemann". Geometría del operador de Laplace . Proc. Simposios. Matemática pura. vol. 36. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 91-146. SEÑOR 0573430.
- Cheeger, Jeff (1979). "Sobre la geometría espectral de espacios con singularidades cónicas". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 76 (5): 2103–2106. Código bibliográfico : 1979PNAS...76.2103C. doi : 10.1073/pnas.76.5.2103 . SEÑOR 0530173. PMC 383544 . PMID 16592646.
- Cheeger, J.; Goresky, M.; MacPherson, R. "Cohomología L 2 y homología de intersección para variedades algebraicas singulares". Seminario de Geometría Diferencial . Anales de estudios de matemáticas. vol. 102, págs. 303–340. SEÑOR 0645745.
- Mark Goresky , la cohomología L2 es cohomología de intersección
- Frances Kirwan , Jonathan Woolf Introducción a la teoría de la homología de intersección, capítulo 6 ISBN 1-58488-184-4
- Looijenga, Eduard (1988). "L 2 -cohomología de variedades localmente simétricas". Composición Matemática . 67 (1): 3–20. SEÑOR 0949269.
- Suerte, Wolfgang (2002). L 2 -invariantes: teoría y aplicaciones a la geometría y K -teoría . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas]. vol. 44. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43566-2.
- Saper, Leslie; Popa, Mark (1990). "L 2 -cohomología de variedades aritméticas". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 132 (1): 1–69. doi :10.2307/1971500. JSTOR 1971500. SEÑOR 1059935.
- Zucker, Steven (1978). "Teoría de Hodge sobre coeficientes dégénérescents". compt. Desgarrar. Acad. Ciencia . 286 : 1137-1140.
- Zucker, Steven (1979). "Teoría de Hodge con coeficientes degenerantes: L 2 -cohomología en la métrica de Poincaré". Anales de Matemáticas . 109 (3): 415–476. doi :10.2307/1971221. JSTOR 1971221.
- Zucker, Steven (1982). "L 2 -cohomología de productos deformados y grupos aritméticos". Invenciones Mathematicae . 70 (2): 169–218. Código Bib : 1982 InMat..70..169Z. doi :10.1007/BF01390727. S2CID 121348276.
