En geometría , un unital es un conjunto de n 3 + 1 puntos dispuestos en subconjuntos de tamaño n + 1 de modo que cada par de puntos distintos del conjunto están contenidos en exactamente un subconjunto. [a] Esto es equivalente a decir que un unital es un diseño de bloques 2-( n 3 + 1, n + 1, 1) . Algunos unitales pueden estar incrustados en un plano proyectivo de orden n 2 (los subconjuntos del diseño se convierten en conjuntos de puntos colineales en el plano proyectivo). En este caso de unitales incrustados , cada línea del plano interseca al unital en 1 o n + 1 puntos. En los planos desarguesianos , PG(2, q 2 ), los ejemplos clásicos de unitales están dados por curvas hermíticas no degeneradas. También hay muchos ejemplos no clásicos. El primer y único unital conocido con parámetros de potencia no primos, n = 6 , fue construido por Bhaskar Bagchi y Sunanda Bagchi. [1] Todavía se desconoce si este unital puede integrarse en un plano proyectivo de orden 36 , si es que existe dicho plano.
Repasamos algo de terminología utilizada en geometría proyectiva .
Una correlación de una geometría proyectiva es una biyección en sus subespacios que invierte la contención. En particular, una correlación intercambia puntos e hiperplanos . [2]
Una correlación de orden dos se llama polaridad .
Una polaridad se denomina polaridad unitaria si su forma sesquilínea asociada s con automorfismo acompañante α satisface
Un punto se denomina punto absoluto de una polaridad si se encuentra en la imagen de sí mismo bajo la polaridad.
Los puntos absolutos de una polaridad unitaria de la geometría proyectiva PG( d , F ), para algún d ≥ 2, es una variedad hermítica no degenerada , y si d = 2 esta variedad se denomina curva hermítica no degenerada . [3]
En PG(2, q 2 ) para alguna potencia prima q , el conjunto de puntos de una curva hermítica no degenerada forma un unital, [4] que se denomina un unital clásico .
Sea una curva hermítica no degenerada en para alguna potencia prima . Como todas las curvas hermíticas no degeneradas en el mismo plano son proyectivamente equivalentes, se puede describir en términos de coordenadas homogéneas de la siguiente manera: [5]
Otra familia de unitales basada en grupos de Ree fue construida por H. Lüneburg. [6] Sea Γ = R( q ) el grupo de Ree de tipo 2 G 2 de orden ( q 3 + 1) q 3 ( q − 1) donde q = 3 2 m +1 . Sea P el conjunto de todos los q 3 + 1 3-subgrupos de Sylow de Γ. Γ actúa doblemente transitivamente sobre este conjunto por conjugación (será conveniente pensar en estos subgrupos como puntos sobre los que actúa Γ). Para cualquier S y T en P , el estabilizador puntual , Γ S , T es cíclico de orden q - 1, y por lo tanto contiene una involución única , μ. Cada una de estas involuciones fija exactamente q + 1 puntos de P . Construya un diseño de bloques sobre los puntos de P cuyos bloques sean los conjuntos de puntos fijos de estas diversas involuciones μ. Dado que Γ actúa doblemente transitivamente sobre P , este será un diseño 2 con parámetros 2-( q 3 + 1, q + 1, 1) llamado unital Ree. [7]
Lüneburg también demostró que los unitales de Ree no pueden ser incrustados en planos proyectivos de orden q 2 ( desarguesianos o no) tales que el grupo de automorfismos Γ sea inducido por un grupo de colineación del plano. [8] Para q = 3, Grüning [9] demostró que un unital de Ree no puede ser incrustado en ningún plano proyectivo de orden 9. [10]
En los cuatro planos proyectivos de orden 9 (el plano desarguesiano PG(2,9), el plano Hall de orden 9, el plano dual Hall de orden 9 y el plano Hughes de orden 9. [b] ), una búsqueda exhaustiva por computadora realizada por Penttila y Royle [11] encontró 18 unitales (hasta equivalencia) con n = 3 en estos cuatro planos: dos en PG(2,9) (ambos Buekenhout), cuatro en el plano Hall (dos Buekenhout, dos no), y así otros cuatro en el plano dual Hall, y ocho en el plano Hughes. Sin embargo, uno de los unitales Buekenhout en el plano Hall es autodual, [12] y por lo tanto se cuenta nuevamente en el plano dual Hall. Por lo tanto, hay 17 unitarios integrables distintos con n = 3. Por otra parte, una búsqueda informática no exhaustiva encontró más de 900 diseños mutuamente no isomórficos que son unitarios con n = 3. [13]
Como los unitales son diseños de bloques , se dice que dos unitales son isomorfos si existe un isomorfismo de diseño entre ellos, es decir, una biyección entre los conjuntos de puntos que asigna bloques a bloques. Este concepto no tiene en cuenta la propiedad de incrustabilidad, por lo que para hacerlo decimos que dos unitales, incrustados en el mismo plano ambiental, son equivalentes si existe una colineación del plano que asigna un unital al otro. [10]
Al examinar el unital clásico en el modelo de Bruck/Bose , Buekenhout [14] proporcionó dos construcciones, que juntas demostraron la existencia de un unital incrustado en cualquier plano de traslación bidimensional finito . Metz [15] posteriormente demostró que una de las construcciones de Buekenhout en realidad produce unitales no clásicos en todos los planos desarguesianos finitos de orden cuadrado al menos 9. Estos unitales de Buekenhout-Metz han sido ampliamente estudiados. [16] [17]
La idea central en la construcción de Buekenhout es que cuando uno mira en el modelo de Bruck/Bose de dimensiones superiores, que se encuentra en , la ecuación de la curva hermítica satisfecha por un unital clásico se convierte en una superficie cuadrática en , ya sea un cono puntual sobre un ovoide tridimensional si la línea representada por la extensión del modelo de Bruck/Bose se encuentra con el unital en un punto, o un cuadrático no singular en caso contrario. Debido a que estos objetos tienen patrones de intersección conocidos con respecto a los planos de , el conjunto de puntos resultante sigue siendo un unital en cualquier plano de traslación cuya extensión generadora contenga todas las mismas líneas que la extensión original dentro de la superficie cuadrática. En el caso del cono ovoide, esta intersección forzada consiste en una sola línea, y cualquier extensión se puede mapear sobre una extensión que contenga esta línea, mostrando que cada plano de traslación de esta forma admite un unital incrustado.
Las variedades hermíticas son en cierto sentido una generalización de las cuádricas y aparecen de forma natural en la teoría de las polaridades.
Sea K un cuerpo con un automorfismo involutivo . Sea n un número entero y V un espacio vectorial de dimensión (n+1 ) sobre K.
Una variedad hermítica H en PG(V) es un conjunto de puntos cuyas líneas vectoriales representativas consisten en puntos isótropos de una forma sesquilínea hermítica no trivial en V.
Sea una base de V . Si un punto p en el espacio proyectivo tiene coordenadas homogéneas respecto de esta base, está en la variedad hermítica si y solo si:
donde y no todos
Si se construye la matriz hermítica A con , la ecuación se puede escribir de forma compacta:
dónde
Sea p un punto de la variedad hermítica H. Una línea L que pasa por p es tangente por definición cuando contiene solo un punto ( p mismo) de la variedad o se encuentra completamente sobre la variedad. Se puede demostrar que estas líneas forman un subespacio, o bien un hiperplano del espacio completo. En este último caso, el punto es singular.
