En matemáticas, un plano de Hall es un plano proyectivo no desarguesiano construido por Marshall Hall Jr. (1943). [1] Existen ejemplos de orden p 2 n para cada primo p y cada entero positivo n siempre que p 2 n > 4 . [2]
La construcción original de los planos de Hall se basaba en el cuasicuerpo de Hall (también llamado sistema de Hall ), H de orden p 2 n para p primo. La creación del plano a partir del cuasicuerpo sigue la construcción estándar (ver cuasicuerpo para más detalles).
Para construir un cuasicuerpo de Hall, comience con un cuerpo de Galois , F = GF( p n ) para p un primo y un polinomio cuadrático irreducible f ( x ) = x 2 − rx − s sobre F . Extienda H = F × F , un espacio vectorial bidimensional sobre F , a un cuasicuerpo definiendo una multiplicación en los vectores por ( a , b ) ∘ ( c , d ) = ( ac − bd −1 f ( c ), ad − bc + br ) cuando d ≠ 0 y ( a , b ) ∘ ( c , 0) = ( ac , bc ) en caso contrario.
Escribiendo los elementos de H en términos de una base ⟨1, λ ⟩ , es decir, identificando ( x , y ) con x + λy cuando x e y varían en F , podemos identificar los elementos de F como los pares ordenados ( x , 0) , es decir x + λ 0 . Las propiedades de la multiplicación definida que convierten el espacio vectorial derecho H en un cuasificuerpo son:
Otra construcción que produce planos de Hall se obtiene aplicando la derivación a los planos desarguesianos .
Un proceso, debido a TG Ostrom, que reemplaza ciertos conjuntos de líneas en un plano proyectivo por conjuntos alternos de tal manera que la nueva estructura sigue siendo un plano proyectivo se llama derivación . Damos los detalles de este proceso. [4] Comience con un plano proyectivo π de orden n 2 y designe una línea ℓ como su línea en el infinito . Sea A el plano afín π ∖ ℓ . Un conjunto D de n + 1 puntos de ℓ se llama conjunto de derivación si para cada par de puntos distintos X e Y de A que determinan una línea que corta ℓ en un punto de D , hay un subplano de Baer que contiene a X , Y y D (decimos que tales subplanos de Baer pertenecen a D .) Defina un nuevo plano afín D( A ) como sigue: Los puntos de D( A ) son los puntos de A . Las rectas de D( A ) son las rectas de π que no cortan a ℓ en un punto de D (restringidas a A ) y los subplanos de Baer que pertenecen a D (restringidos a A ). El conjunto D( A ) es un plano afín de orden n 2 y él, o su completitud proyectiva, se denomina plano derivado . [5]
El plano Hall de orden 9 es el plano Hall más pequeño y uno de los tres ejemplos más pequeños de un plano proyectivo no desarguesiano finito , junto con su dual y el plano de Hughes de orden 9. [6]
Aunque normalmente se construye de la misma manera que otros planos Hall, el plano Hall de orden 9 en realidad fue descubierto antes por Oswald Veblen y Joseph Wedderburn en 1907. [7] Hay cuatro cuasicuerpos de orden nueve que se pueden usar para construir el plano Hall de orden nueve. Tres de ellos son sistemas Hall generados por los polinomios irreducibles f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x 2 − x − 1 o h ( x ) = x 2 + x − 1 . [8] El primero de ellos produce un cuasicuerpo asociativo, [9] es decir, un campo cercano , y fue en este contexto que Veblen y Wedderburn descubrieron el plano. Este plano se conoce a menudo como el plano de campo cercano de orden nueve.
El plano Hall de orden 9 es el único plano proyectivo, finito o infinito, que tiene clase Lenz–Barlotti IVa.3. [10] Su grupo de automorfismos actúa sobre su línea de traslación (necesariamente única) de manera imprimítiva , teniendo 5 pares de puntos que el grupo preserva conjunto por conjunto; el grupo de automorfismos actúa como S 5 sobre estos 5 pares. [11]
El plano Hall de orden 9 admite cuatro unitales incrustados no equivalentes . [12] Dos de estos unitales surgen de las construcciones de Buekenhout [13] : uno es parabólico , que se encuentra con la línea de traslación en un único punto, mientras que el otro es hiperbólico , que se encuentra con la línea de traslación en 4 puntos. Grüning [14] demostró que el último de estos dos unitales también se puede incrustar en el plano Hall dual. Otro de los unitales surge de la construcción de Barlotti y Lunardon. [15] El cuarto tiene un grupo de automorfismos de orden 8 isomorfo a los cuaterniones y no forma parte de ninguna familia infinita conocida.