Conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos.
En matemáticas , un espacio funcional es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y/o codominio tendrá una estructura adicional que es heredada por el espacio funcional. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X en un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la suma puntual y la multiplicación escalar. En otros escenarios, el espacio funcional puede heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre espacio funcional .
En álgebra lineal
Sea F un campo y X un conjunto cualquiera. A las funciones X → F se les puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre F donde las operaciones se definen puntualmente, es decir, para cualquier f , g : X → F , cualquier x en X y cualquier c en F , defina
Cuando el Si el dominio X tiene una estructura adicional, se podría considerar el subconjunto (o subespacio ) de todas las funciones que respetan esa estructura. Por ejemplo, si V y también X son espacios vectoriales sobre F , el conjunto de aplicaciones lineales X → V forman un espacio vectorial sobre F con operaciones puntuales (a menudo denotadas Hom ( X , V )). Uno de esos espacios es el espacio dual de X : el conjunto de funcionales lineales X → F con suma y multiplicación escalar definidas puntualmente.
La dimensión cardinal de un espacio funcional sin estructura adicional se puede encontrar mediante el teorema de Erdős-Kaplansky .
Ejemplos
Los espacios funcionales aparecen en diversas áreas de las matemáticas:
- En teoría de conjuntos , el conjunto de funciones de X a Y puede denotarse { X → Y } o Y X.
- Como caso especial, el conjunto potencia de un conjunto X puede identificarse con el conjunto de todas las funciones desde X hasta { 0, 1}, denotado 2 X.
- Se denota el conjunto de biyecciones de X a Y. La notación factorial X ! puede usarse para permutaciones de un solo conjunto X .
![{\displaystyle X\leftrightarrow Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- En el análisis funcional , se ve lo mismo para las transformaciones lineales continuas , incluidas las topologías en los espacios vectoriales anteriores, y muchos de los ejemplos principales son espacios funcionales que llevan una topología ; los ejemplos más conocidos incluyen los espacios de Hilbert y los espacios de Banach .
- En análisis funcional , el conjunto de todas las funciones desde los números naturales hasta algún conjunto X se llama espacio de secuencia . Consiste en el conjunto de todas las secuencias posibles de elementos de X.
- En topología , se puede intentar poner una topología en el espacio de funciones continuas desde un espacio topológico X a otro Y , con utilidad dependiendo de la naturaleza de los espacios. Un ejemplo comúnmente utilizado es la topología compacta-abierta , por ejemplo, el espacio de bucle . También está disponible la topología del producto en el espacio de funciones teóricas de conjuntos (es decir , funciones no necesariamente continuas) Y X. En este contexto, esta topología también se denomina topología de convergencia puntual .
- En topología algebraica , el estudio de la teoría de la homotopía es esencialmente el de invariantes discretas de espacios funcionales;
- En la teoría de procesos estocásticos , el problema técnico básico es cómo construir una medida de probabilidad en un espacio funcional de trayectorias del proceso (funciones del tiempo);
- En la teoría de categorías , el espacio funcional se denomina objeto exponencial u objeto de mapa . Aparece de un modo como la representación canónica bifunctor ; pero como funtor (único), de tipo [ X , -], aparece como un funtor adjunto a un funtor de tipo (-× X ) en objetos;
- En programación funcional y cálculo lambda , los tipos de funciones se utilizan para expresar la idea de funciones de orden superior .
- En teoría de dominios , la idea básica es encontrar construcciones a partir de órdenes parciales que puedan modelar el cálculo lambda, mediante la creación de una categoría cerrada cartesiana de buen comportamiento .
- En la teoría de la representación de grupos finitos , dadas dos representaciones de dimensión finita V y W de un grupo G , se puede formar una representación de G sobre el espacio vectorial de mapas lineales Hom( V , W ) llamada representación de Hom . [1]
Análisis funcional
El análisis funcional se organiza en torno a técnicas adecuadas para acercar los espacios funcionales como espacios vectoriales topológicos a las ideas que se aplicarían a espacios normados de dimensión finita. Aquí usamos la línea real como dominio de ejemplo, pero los espacios siguientes existen en subconjuntos abiertos adecuados![{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
funciones continuas dotadas de la topología de norma uniforme
funciones continuas con soporte compacto
funciones acotadas
funciones continuas que desaparecen en el infinito
funciones continuas que tienen primeras r derivadas continuas.
funciones suaves
funciones fluidas con soporte compacto
funciones analíticas reales
, porque , es el espacio L p de funciones medibles cuya norma p es finita![{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
, el espacio de Schwartz de funciones suaves decrecientes rápidamente y sus distribuciones duales y templadas continuas
soporte compacto en topología límite
Espacio de Sobolev de funciones cuyas derivadas débiles hasta el orden k están en![{\displaystyle L^{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
funciones holomorfas- funciones lineales
- funciones lineales por partes
- funciones continuas, topología abierta compacta
- todas las funciones, espacio de convergencia puntual
- Espacio resistente
- Espacio titular
- Funciones de Càdlàg , también conocido como espacio Skorokhod
, el espacio de todas las funciones de Lipschitz desaparece en cero.![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Norma
Si y es un elemento del espacio funcional de todas las funciones continuas que se definen en un intervalo cerrado [ a , b ] , la norma definida en es el valor absoluto máximo de y ( x ) para a ≤ x ≤ b , [2]
![{\displaystyle \|y\|_{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{dónde}}\ \ y\in {\mathcal {Taxi)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se llama norma uniforme o norma suprema ('norma superior').
Bibliografía
- Kolmogorov, AN y Fomin, SV (1967). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Publicaciones de Courier Dover.
- Stein, Elías; Shakarchi, R. (2011). Análisis funcional: una introducción a otros temas de análisis. Prensa de la Universidad de Princeton.
Ver también
Referencias
- ^ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 4.ISBN 9780387974958.
- ^ Gelfand, IM ; Fomín, SV (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Cálculo de variaciones (Ed. Repr. íntegra). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 6.ISBN 978-0486414485.