Función de Busemann

En topología geométrica , las funciones de Busemann se utilizan para estudiar la geometría a gran escala de las geodésicas en espacios de Hadamard y, en particular , las variedades de Hadamard ( variedades de Riemann completas simplemente conexas de curvatura no positiva). Reciben su nombre de Herbert Busemann , quien las introdujo; trató extensamente el tema en su libro de 1955 "La geometría de las geodésicas".

Definición y propiedades elementales

Sea un espacio métrico . Un rayo geodésico es un camino que minimiza la distancia en todas partes a lo largo de su longitud, es decir, para todo , De manera equivalente, un rayo es una isometría del "rayo canónico" (el conjunto dotado de la métrica euclidiana) en el espacio métrico X . ${\estilo de visualización (X,d)}$ $\gamma :[0,\infty )\to X$ $t,t'\in [0,\infty )$ $d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |}.$ $[0,\infty )$

Dado un rayo γ , la función de Busemann está definida por $B_{\gamma}:X\to \mathbb {R}$

$B_{\gamma}(x)=\lim _{t\to \infty} {\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}$

Así, cuando t es muy grande, la distancia es aproximadamente igual a . Dado un rayo γ , su función de Busemann está siempre bien definida: de hecho, el lado derecho por encima de , tiende puntualmente al lado izquierdo de compacta, ya que está acotado por encima por y no es creciente ya que, si , $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}$ $Estilo de visualización B_{\gamma}(x)+t}$ $F_{t}(x){\stackrel {\text{def}}{=}}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t$ $td(\gamma(t),x)=d(\gamma(t),\gamma(0))-d(\gamma(t),x)$ $d(\gamma (0),x)$ ${\estilo de visualización s\leq t}$

$t-s+d(x,\gamma (s))-d(x,\gamma (t))\geq tsd(\gamma (s),\gamma (t))=0.$

De la desigualdad triangular se desprende inmediatamente que

$|B_{\gamma}(x)-B_{\gamma}(y)|\leq d(x,y),$

De modo que es uniformemente continua. Más específicamente, la estimación anterior muestra que $B_{\gamma}$

Las funciones de Busemann son funciones de Lipschitz con constante 1. ^[1 ]

Por el teorema de Dini , las funciones tienden a uniformemente en conjuntos compactos cuando t tiende a infinito. $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ $Estilo de visualización B_{\gamma}(x)}$

Ejemplo: Disco de Poincaré

Sea el disco unitario en el plano complejo con la métrica de Poincaré ${\estilo de visualización D}$

$ds^{2}={4\,|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}.$

Entonces, para y , la función de Busemann está dada por ^[2] $|z|<1$ $|\zeta |=1$

$B_{\zeta }(z)=-\log \left({1-|z|^{2} \over |z-\zeta |^{2}}\right),$

donde el término entre paréntesis en el lado derecho es el núcleo de Poisson para el disco unitario y corresponde a la geodésica radial desde el origen hacia , . El cálculo de se puede reducir al de , ya que la métrica es invariante bajo las transformaciones de Möbius en ; las geodésicas a través de tienen la forma donde es el subgrupo de 1 parámetro de , ${\estilo de visualización \zeta}$ ${\estilo de visualización \gamma}$ ${\estilo de visualización \zeta}$ $\gamma (t)=\zeta \tanh(t/2)$ $d(x,y)$ $d(z,0)=d(|z|,0)=2\operatorname {artanh} (|z|)=\log \left({\tfrac {1+|z|}{1-|z|}}\right)$ $SU(1,1)$ $0$ $\zeta g_{t}(0)$ $g_{t}$ $SU(1,1)$

$g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh(t/2)&\sinh(t/2)\\\sinh(t/2)&\cosh(t/2)\end{pmatrix}}$

La fórmula anterior también determina completamente la función de Busemann mediante la invariancia de Möbius.

Funciones de Busemann en un espacio de Hadamard

En un espacio de Hadamard , donde dos puntos cualesquiera están unidos por un único segmento geodésico, la función es convexa , es decir, convexa en segmentos geodésicos . Explícitamente, esto significa que si es el punto que divide en la razón $s$ $: (1 -$ $s$ $)$ , entonces . Para fijos, la función es convexa y, por lo tanto, también lo son sus traslaciones; en particular, si es un rayo geodésico en , entonces es convexa. Dado que la función de Busemann es el límite puntual de , $F=F_{t}$ $[x,y]$ $z(s)$ $[x,y]$ $F(z(s))\leq sF(x)+(1-s)F(y)$ $a$ $d(x,a)$ $\gamma$ $X$ $F_{t}$ $B_{\gamma }$ $F_{t}$

Las funciones de Busemann son convexas en los espacios de Hadamard . ^[3]
En un espacio de Hadamard, las funciones convergen de manera uniforme a uniformemente en cualquier subconjunto acotado de . $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ $B_{\gamma }$ $X$ ^[4]^[5]

Sea $h (t) = d (y,γ(t)) - t = F t (y)$ . Como está parametrizada por la longitud de arco, el primer teorema de comparación de Alexandrov para espacios de Hadamard implica que la función $g$ $($ $t$ $) =$ $d$ $($ $y$ $,γ($ $t$ $))$ $2$ $-$ $t$ $2$ es convexa. Por lo tanto, para $0 <$ $s$ $<$ $t$ $\gamma (t)$

$g(s)\leq (1-{s \over t})g(0)+{s \over t}g(t).$

De este modo

$2sh(s)\leq (h(s)+s)^{2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h(t)^{2})\leq d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},$

de modo que

$|F_{s}(y)-F_{t}(y)|=|h(s)-h(t)|\leq {1 \over 2}(s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.$

Si t tiende a ∞, se sigue que

$|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x,y)^{2} \over 2s},$

Por lo tanto, la convergencia es uniforme en conjuntos acotados.

Nótese que la desigualdad anterior para (junto con su prueba) también es válida para segmentos geodésicos: si $γ($ $t$ $)$ es un segmento geodésico que comienza en $x$ y está parametrizado por la longitud del arco, entonces $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$

$|d(y,\Gamma (s))-s-d(y,\Gamma (t))+t|\leq (s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.$

Supongamos ahora que $x, y$ son puntos en un espacio de Hadamard, y sea $δ(s)$ la geodésica que pasa por $x$ con $δ(0) = y$ y $δ(t) = x$ , donde $t = d (x, y)$ . Esta geodésica corta el límite de la esfera cerrada $B (y, r)$ en el punto $δ(r)$ . Por lo tanto, si $d (x, y) > r$ , existe un punto $v$ con $d (y, v) = r$ tal que $d (x, v) = d (x, y) - r$ .

Esta condición persiste para las funciones de Busemann. El enunciado y la demostración de la propiedad para las funciones de Busemann se basan en un teorema fundamental sobre subconjuntos convexos cerrados de un espacio de Hadamard, que generaliza la proyección ortogonal en un espacio de Hilbert : si $C$ es un conjunto convexo cerrado en un espacio de Hadamard $X$ , entonces cada punto $x$ en $X$ tiene un único punto más cercano $P (x) \equiv P C (x)$ en $C$ y $d (P (x), P (y)) \leq d (x, y)$ ; además, $a = P (x)$ está determinado de forma única por la propiedad de que, para $y$ en $C$ ,

$d(x,y)^{2}\geq d(x,a)^{2}+d(a,y)^{2},$

de modo que el ángulo en $a$ en el triángulo de comparación euclidiano para $a, x, y$ es mayor o igual a $π /2$ .

Si $h$ es una función de Busemann en un espacio de Hadamard, entonces, dado $y$ en $X$ y $r > 0$ , existe un único punto $v$ con $d(y,v) = r$ tal que $h(v) = h(y) - r . Para$ $r > 0$ fijo , el punto $v$ es el punto más cercano de $y$ al conjunto convexo cerrado $C de puntos$ $u$ tal que $h(u) \leq h(y) - r$ y por lo tanto depende continuamente de $y$ . ^[6]

Sea $v$ el punto más cercano a $y$ en $C$ . Entonces $h (v) = h (y) - r$ y por lo tanto $h$ es minimizada por $v$ en $B (y, R)$ donde $R = d (y, v) y v$ es el único punto donde $h$ es minimizada. Por la condición de Lipschitz $r = | h (y) - h (v)| \leq R$ . Para probar la afirmación, basta con mostrar que $R = r$ , es decir, $d (y, v) = r$ . Por otra parte, $h$ es el límite uniforme en cualquier bola cerrada de funciones $h n$ . En $B (y, r)$ , estas son minimizadas por los puntos $v n$ con $h n (v n) = h n (y) - r$ . Por lo tanto, el ínfimo de $h$ en $B (y, r)$ es $h (y) - r$ y $h (v n)$ tiende a $h (y) - r$ . Por lo tanto, $h (v n) = h (y) - r n$ con $r n \leq r$ y $r n$ tendiendo hacia $r$ . Sea $u n$ el punto más cercano a $y$ con $h (u n) \leq h (y) - r n$ . Sea $R n = d (y, u n) \leq r$ . Entonces $h (u n) = h (y) - r n$ , y, por la condición de Lipschitz en $h$ , $R n \geq r n$ . En particular, $R n$ tiende a $r$ . Pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que $r n$ y $R n$ son ambos crecientes (a $r$ ). La desigualdad para la optimización convexa implica que para $n > m$ .

$d(u_{n},u_{m})^{2}\leq R_{n}^{2}-R_{m}^{2}\leq 2r|R_{n}-R_{m}|,$

de modo que $u n$ es una sucesión de Cauchy. Si $u$ es su límite, entonces $d (y, u) = r$ y $h (u) = h (y) - r$ . Por unicidad se sigue que $u = v$ y, por tanto, $d (y, v) = r$ , como se requiere.

Límites uniformes. El argumento anterior prueba de manera más general que si $d (x n, x 0)$ tiende a infinito y las funciones $h n (x) = d (x, x n) - d (x n, x 0)$ tienden uniformemente en conjuntos acotados a $h (x)$ , entonces $h$ es convexa, Lipschitz con constante de Lipschitz 1 y, dado $y$ en $X$ y $r > 0$ , hay un único punto $v$ con $d (y, v) = r$ tal que $h (v) = h (y) - r$ . Si, por otra parte, la secuencia $(x n)$ está acotada, entonces todos los términos se encuentran en alguna bola cerrada y la convergencia uniforme implica que $(x n)$ es una secuencia de Cauchy, por lo que converge a algún $x \infty$ en $X$ . Por lo tanto, $h n$ tiende uniformemente a $h \infty (x) = d (x, x \infty) - d (x \infty, x 0)$ , una función de la misma forma. El mismo argumento también muestra que la clase de funciones que satisfacen las mismas tres condiciones (ser convexas, Lipschitz y tener mínimos en bolas cerradas) es cerrada bajo límites uniformes en conjuntos acotados.

Comentario. Nótese que, puesto que cualquier subconjunto convexo cerrado de un subconjunto de Hadamard de un espacio de Hadamard es también un espacio de Hadamard, cualquier bola cerrada en un espacio de Hadamard es un espacio de Hadamard. En particular, no es necesario que cada segmento geodésico esté contenido en una geodésica definida en la totalidad de $R$ o incluso en un intervalo semiinfinito $[0,\infty)$ . La bola unitaria cerrada de un espacio de Hilbert ofrece un ejemplo explícito de que no es un espacio métrico propio.

Si $h$ es una función convexa, Lipschitz con constante 1 y $h$ asume su mínimo en cualquier bola cerrada centrada en $y$ con radio $r$ en un único punto $v$ en el límite con $h(v) = h(y) - r$ , entonces para cada $y$ en $X$ hay un único rayo geodésico $δ$ tal que $δ(0) = y$ y $δ$ corta cada conjunto convexo cerrado $h \leq h(y) - r$ con $r > 0$ en $δ(r)$ , de modo que $h(δ(t)) = h(y) - t$ . En particular, esto se cumple para cada función de Busemann. ^[7]

La tercera condición implica que $v$ es el punto más cercano a $y$ en el conjunto convexo cerrado $C r$ de puntos tales que $h$ $($ $u$ $) \leq$ $h$ $($ $y$ $) -$ $r$ . Sea $δ($ $t$ $)$ para $0 \leq$ $t$ $\leq$ $r$ la geodésica que une $y$ con $v$ . Entonces $k$ $($ $t$ $) =$ $h$ $(δ($ $t$ $)) -$ $h$ $($ $y$ $)$ es una función de Lipschitz convexa en $[0,$ $r$ $]$ con constante de Lipschitz 1 que satisface $k$ $($ $t$ $) \leq -$ $t$ y $k$ $(0) = 0$ y $k$ $($ $r$ $) = -$ $r$ . Por lo tanto, $k$ se desvanece en todas partes, ya que si $0 <$ $s$ $<$ $r$ $,$ $k$ $($ $s$ $) \leq -$ $s$ y $|$ $k$ $(s)| \leq$ $s$ . Por lo tanto $h$ $(δ($ $t$ $)) =$ $h$ $($ $y$ $) -$ $t$ . Por unicidad se deduce que $δ($ $t$ $)$ es el punto más cercano a $y$ en $C$ $t$ y que es el único punto que minimiza $h$ en $B$ $($ $y$ $,$ $t$ $)$ . La unicidad implica que estos segmentos geodésicos coinciden para un valor arbitrario $de r$ y, por lo tanto, que $δ$ se extiende a un rayo geodésico con la propiedad establecida. $u$

Si $h = h γ$ , entonces el rayo geodésico $δ$ que comienza en $y$ satisface . Si $δ$ $1$ es otro rayo que comienza en $y$ con entonces $δ$ $1$ $= δ$ . $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$

Para demostrar la primera afirmación, basta con comprobarlo para $un valor t$ suficientemente grande. En ese caso, $γ(t)$ y $δ(t - h (y))$ son las proyecciones de $x$ $e y$ sobre el conjunto convexo cerrado $h \leq - t$ . Por lo tanto, $d (γ(t),δ(t - h (y))) \leq d (x, y)$ . Por lo tanto , $d (γ(t),δ(t)) \leq d (γ(t),δ(t - h (y))) + d (δ(t - h (y)),δ(t)) \leq d (x, y) + | h (y)|$ . La segunda afirmación se sigue porque $d (δ 1 (t),δ(t))$ es convexa y está acotada en $[0,\infty)$ , por lo que, si se desvanece en $t = 0$ , debe desvanecerse en todas partes.

Supóngase que $h$ es una función convexa continua y para cada $y$ en $X$ hay un único rayo geodésico $δ$ tal que $δ(0) = y$ y $δ$ corta cada conjunto convexo cerrado $h \leq h(y) - r con r > 0$ en $δ(r)$ , de modo que $h(δ(t)) = h(y) - t$ ; entonces $h$ es una función de Busemann. $h - h δ$ es una función constante. ^[7]

Sea $C r$ el conjunto cerrado y convexo de puntos $z$ con $h (z) \leq - r$ . Puesto que $X$ es un espacio de Hadamard para cada punto $y$ en $X$ hay un único punto más cercano $P r (y)$ a $y$ en $C r$ . Depende continuamente de $y$ y si $y$ se encuentra fuera de $C r$ , entonces $P r (y)$ se encuentra en la hipersuperficie $h (z) = - r$ —el límite ∂ $C r$ de $C r$ —y $P r (y)$ satisface la desigualdad de optimización convexa. Sea $δ(s)$ el rayo geodésico que comienza en $y$ .

Fijemos $x$ en $X.$ Sea $γ(s)$ el rayo geodésico que comienza en $x$ . Sea $g (z) = h γ (z)$ , la función de Busemann para $γ$ con punto base $x$ . En particular $g (x) = 0$ . Basta con demostrar que $g = h - h (y)1$ . Ahora tomemos $y$ con $h (x) = h (y)$ y sea $δ(t)$ el rayo geodésico que comienza en $y$ correspondiente a $h$ . Entonces

$d(x,y)\geq d(\gamma (t),\delta (t)),\,\,\,d(x,\delta (t))^{2}\geq d(x,\gamma (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2},\,\,\,d(y,\gamma (t))^{2}\geq d(y,\delta (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2}.$

Por otra parte, para cuatro puntos cualesquiera $a$ , $b$ , $c$ , $d$ en un espacio de Hadamard, se cumple la siguiente desigualdad cuadrilátera de Reshetnyak :

$|d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).$

Fijando $a = x$ , $b = y$ , $c = γ(t)$ , $d = δ(t)$ , se deduce que

$|d(y,\gamma (t))^{2}-d(x,\delta (t))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},$

de modo que

$|d(y,\gamma (t))-d(x,\gamma (t))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\gamma (t))+d(x,\gamma (t))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.$

Por lo tanto, $h γ (y) = 0$ . De manera similar, $h δ (x) = 0$ . Por lo tanto, $h γ (y) = 0$ en la superficie de nivel de $h$ que contiene $a x$ . Ahora, para $t \geq 0$ y $z$ en $X$ , sea $α t (z) = γ 1 (t)$ el rayo geodésico que comienza en $z$ . Entonces $α s + t = α s \circ α t$ y $h \circ α t = h - t$ . Además, por acotación, $d (α t (u),α t (v)) \leq d (u, v)$ . El flujo $α s$ se puede utilizar para transportar este resultado a todas las superficies de nivel de $h$ . Para $y 1$ general , si $h (y 1) < h (x)$ , tome $s > 0$ tal que $h ( α s (x)) = h (y 1)$ y haga $x 1 = α s (x)$ . Entonces $h γ 1 (y 1) = 0$ , donde $γ 1 (t) = α t (x 1) = γ(s + t)$ . Pero entonces $h γ 1 = h γ - s$ , de modo que $h γ (y 1) = s$ . Por lo tanto $g (y 1) = s = h (( α s (x)) - h (x) = h (y 1) - h (x)$ , como se requiere. De manera similar, si $h (y 1) > h (x)$ , tome $s > 0$ tal que $h ( α s (y 1)) = h (x)$ . Sea $y = α s (y 1)$ . Entonces $h γ (y) = 0$ , por lo que $h γ (y 1) = - s$ . Por lo tanto $g (y 1) = - s = h (y 1) - h (x)$ , como se requiere.

Finalmente existen condiciones necesarias y suficientes para que dos geodésicas definan la misma función de Busemann hasta constante:

En un espacio de Hadamard, las funciones de Busemann de dos rayos geodésicos y difieren en una constante si y sólo si . $\gamma _{1}$ $\gamma _{2}$ $\sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty$ ^[8]

Supongamos en primer lugar que $γ$ y $δ$ son dos rayos geodésicos con funciones de Busemann que difieren en una constante. Desplazando el argumento de una de las geodésicas por una constante, se puede suponer que $B γ = B δ = B$ , por ejemplo. Sea $C$ el conjunto convexo cerrado en el que $B (x) \leq - r$ . Entonces $B (γ(t)) = B γ (γ(t)) = - t$ y, de manera similar, $B (δ(t)) = - t$ . Entonces, para $s \leq r$ , los puntos $γ(s)$ y $δ(s)$ tienen puntos más cercanos $γ(r)$ y $δ(r)$ en $C$ , de modo que $d (γ(r), δ(r)) \leq d (γ(s), δ(s))$ . Por lo tanto, $sup t \geq 0 d (γ(t), δ(t)) < \infty$ .

Ahora supongamos que $sup t \geq 0 d (γ 1 (t), γ 2 (t)) < \infty$ . Sea $δ i (t)$ el rayo geodésico que comienza en $y$ asociado con $h γ i$ . Entonces $sup t \geq 0 d (γ i (t), δ i (t)) < \infty$ . Por lo tanto $sup t \geq 0 d (δ 1 (t), δ 2 (t)) < \infty$ . Como $δ 1$ y $δ 2$ comienzan ambos en $y$ , se sigue que $δ 1 (t) \equiv δ 2 (t)$ . Por el resultado anterior $h γ i$ y $h δ i$ difieren en una constante; por lo que $h γ 1$ y $h γ 2$ difieren en una constante.

En resumen, los resultados anteriores dan la siguiente caracterización de las funciones de Busemann en un espacio de Hadamard: ^[7]

TEOREMA. En un espacio de Hadamard, las siguientes condiciones sobre una función $f$ son equivalentes:

$h$ es una función de Busemann.
$h$ es una función convexa, Lipschitz con constante $1$ y $h$ asume su mínimo en cualquier bola cerrada centrada en $y$ con radio $r$ en un único punto $v$ en el límite con $h(v) = h(y) - r$ .
$h$ es una función convexa continua y para cada $y$ en $X$ hay un único rayo geodésico $δ$ tal que $δ(0) = y$ y, para cualquier $r > 0$ , el rayo $δ$ corta cada conjunto convexo cerrado $h \leq h(y) - r$ en $δ(r)$ .

Bordificación de un espacio de Hadamard

En la sección anterior se demostró que si $X$ es un espacio de Hadamard y $x 0$ es un punto fijo en $X$ entonces la unión del espacio de funciones de Busemann que se anulan en $x 0$ y el espacio de funciones $h y (x) = d (x, y) - d (x 0, y)$ es cerrada tomando límites uniformes sobre conjuntos acotados. Este resultado puede formalizarse en la noción de bordificación de $X$ . ^[9] En esta topología, los puntos $x n$ tienden a un rayo geodésico $γ$ que comienza en $x 0$ si y solo si $d (x 0, x n)$ tiende a $\infty$ y para $t > 0$ arbitrariamente grande la secuencia obtenida tomando el punto en cada segmento $[x 0, x n]$ a una distancia $t$ de $x 0$ tiende a $γ(t)$ .

Si $X$ es un espacio métrico, la borificación de Gromov puede definirse como sigue. Fijemos un punto $x 0$ en $X$ y sea $X N = B (x 0, N)$ . Sea $Y = C (X)$ el espacio de funciones continuas de Lipschitz en $X$ , es decir, aquellas para las que $| f (x) - f (y) | \leq A d (x, y)$ para alguna constante $A > 0$ . El espacio $Y$ puede topogizarse mediante las seminormas $‖ f ‖ N = sup X N | f |$ , la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados. Las seminormas son finitas por las condiciones de Lipschitz. Esta es la topología inducida por la función natural de $C (X)$ en el producto directo de los espacios de Banach $C b (X N)$ de funciones continuas acotadas en $X N$ . Se da por la métrica $D (f, g) = Σ 2 - N ‖ f - g ‖ N (1 +‖ f - g ‖ N) -1$ .

El espacio $X$ se incrusta en $Y$ enviando $x$ a la función $f x (y) = d (y, x) - d (x 0, x)$ . Sea $X$ la clausura de $X$ en $Y$ . Entonces $X$ es metrisable, ya que $Y$ lo es, y contiene $a X$ como un subconjunto abierto; además, las bordificaciones que surgen de diferentes elecciones de punto base son naturalmente homeomorfas. Sea $h (x) = (d (x, x 0) + 1) -1$ . Entonces $h$ se encuentra en $C 0 (X)$ . No es cero en $X$ y se anula solo en $\infty$ . Por lo tanto, se extiende a una función continua en $X$ con el conjunto cero $X \ X$ . Se sigue que $X \ X$ es cerrado en $X$ , como se requiere. Para comprobar que $X = X (x 0)$ es independiente del punto base, basta con mostrar que $k (x) = d (x, x 0) - d (x, x 1)$ se extiende a una función continua en $X$ . Pero $k (x) = f x (x 1)$ , por lo que, para $g$ en $X$ , $k (g) = g (x 1)$ . Por lo tanto, la correspondencia entre las compactificaciones para $x 0$ y $x 1$ se da enviando $g$ en $X (x 0)$ a $g + g (x 1)1$ en $X (x 1)$ .

Cuando $X$ es un espacio de Hadamard, el límite ideal de Gromov $∂ X = X \ X$ se puede realizar explícitamente como "límites asintóticos" de rayos geodésicos usando funciones de Busemann. Si $x n$ es una secuencia no acotada en $X$ con $h n (x) = d (x, x n) - d (x n, x 0)$ que tiende a $h$ en $Y$ , entonces $h$ se anula en $x 0$ , es convexa, Lipschitz con constante de Lipschitz $1$ y tiene mínimo $h (y) - r$ en cualquier bola cerrada $B (y, r)$ . Por lo tanto $h$ es una función de Busemann $B γ$ correspondiente a un único rayo geodésico $γ$ que comienza en $x 0$ .

Por otra parte, $h n$ tiende a $B γ$ uniformemente en conjuntos acotados si y solo si $d (x 0, x n)$ tiende a $\infty$ y para $t > 0$ arbitrariamente grande la sucesión obtenida tomando el punto en cada segmento $[x 0, x n]$ a una distancia $t$ de $x 0$ tiende a $γ(t)$ . Para $d (x 0, x n) \geq t$ , sea $x n (t)$ el punto en $[x 0, x n]$ con $d (x 0, x n (t)) = t$ . Supóngase primero que $h n$ tiende a $B γ$ uniformemente en $B (x 0, R)$ . Entonces para $t \leq R$ , $| h n (γ(t)) - B γ (γ(t))|= d (γ(t), x n) - d (x n, x 0) + t$ . Esta es una función convexa. Se desvanece cuando $t = 0$ y, por lo tanto, es creciente. Por lo tanto, se maximiza en $t = R$ . Por lo tanto, para cada $t$ , $| d (γ(t), x n) - d (x n, x 0) - t |$ tiende hacia 0. Sea $a = X 0$ , $b = γ(t)$ y $c = x n$ . Entonces $d (c, a) - d (c, b)$ está cerca de $d (a, b)$ con $d (c, a)$ grande. Por lo tanto, en el triángulo de comparación euclidiano $CA - CB$ está cerca de $AB$ con $CA$ grande. Por lo tanto, el ángulo en $A$ es pequeño. Por lo tanto, el punto $D$ en $AC$ a la misma distancia que $AB$ se encuentra cerca de $B$ . Por lo tanto, por el primer teorema de comparación para triángulos geodésicos, $d (x n (t),γ(t)) es pequeño. A la inversa, supongamos que para$ $t$ fijoy $n$ suficientemente grande $, d (x n (t),γ(t))$ tiende a 0. Entonces, de lo anterior, $F s (y) = d (y,γ(s)) - s$ satisface

$|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over 2s},$

Por lo tanto, basta con demostrar que en cualquier conjunto acotado $h n (y) = d (y, x n) - d (x 0, x n)$ es uniformemente cercano a $F s (y)$ para $n$ suficientemente grande. ^[10]

Para una bola fija $B (x 0, R)$ , fije $s$ de modo que $R 2 / s \leq ε$ . La afirmación es entonces una consecuencia inmediata de la desigualdad para segmentos geodésicos en un espacio de Hadamard, ya que

$|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over s}\leq \varepsilon .$

Por lo tanto, si $y$ en $B (x 0, R)$ y $n$ es suficientemente grande como para que $d (x n (s),γ(s)) \leq ε$ , entonces

$|h_{n}(y)-B_{\gamma }(y)|=|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-B_{\gamma }(y)|\leq |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|+d(x_{n}(s),\gamma (s))+|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq 3\varepsilon .$

Funciones de Busemann en un colector Hadamard

Supóngase que $x, y$ son puntos en una variedad de Hadamard y sea $γ (s)$ la geodésica que pasa por $x$ con $γ (0) = y$ . Esta geodésica corta el límite de la esfera cerrada $B (y, r)$ en los dos puntos $γ(\pm r)$ . Por lo tanto, si $d (x, y) > r$ , existen puntos $u, v$ con $d (y, u) = d (y, v) = r$ tales que $| d (x, u) - d (x, v) | = 2 r$ . Por continuidad, esta condición persiste para las funciones de Busemann:

Si $h$ es una función de Busemann en una variedad de Hadamard, entonces, dado $y$ en $X$ y $r > 0$ , hay puntos únicos $u$ , $v$ con $d(y,u) = d(y,v) = r$ tales que $h(u) = h(y) + r$ y $h(v) = h(y) - r . Para$ $r > 0$ fijo , los puntos $u$ y $v$ dependen continuamente de $y$ . ^[3]

Tomando una sucesión $t n$ que tiende a $\infty$ y $h n = F t n$ , hay puntos $u n$ y $v n$ que satisfacen estas condiciones para $h n$ para $n$ suficientemente grande. Pasando a una subsucesión si es necesario, se puede suponer que $u n$ y $v n$ tienden a $u$ y $v$ . Por continuidad estos puntos satisfacen las condiciones para $h$ . Para probar la unicidad, note que por compacidad $h$ supone su máximo y mínimo en $B (y, r)$ . La condición de Lipschitz muestra que los valores de $h$ allí difieren en a lo sumo $2 r$ . Por lo tanto $h$ se minimiza en $v$ y se maximiza en $u$ . Por otro lado, $d (u, v) = 2 r$ y para $u$ y $v$ los puntos $v$ y $u$ son los únicos puntos en $B (y, r)$ que maximizan esta distancia. La condición de Lipschitz en $h$ entonces implica inmediatamente que $u$ y $v$ deben ser los únicos puntos en $B (y, r)$ que maximizan y minimizan $h$ . Supongamos ahora que $y n$ tiende a $y$ . Entonces los puntos correspondientes $u n$ y $v n$ se encuentran en una bola cerrada, por lo que admiten subsucesiones convergentes. Pero por unicidad de $u$ y $v,$ cualquiera de esas subsucesiones debe tender a $u$ y $v$ , de modo que $u n$ y $v n$ deben tender a $u$ y $v$ , estableciendo continuidad.

El resultado anterior se aplica de forma más general a un espacio de Hadamard. ^[11]

Si $h$ es una función de Busemann en una variedad de Hadamard, entonces $h$ es continuamente diferenciable con $‖ dh(y) ‖ = 1$ para todo $y$ . ^[3]

De las propiedades anteriores de $h$ , para cada $y$ hay una geodésica única γ( t ) parametrizada por la longitud de arco con $γ(0) = y$ tal que $h \circ γ(t) = h (y) + t$ . Tiene la propiedad de que corta $a \partial B (y, r)$ en $t = \pm r$ : en la notación anterior $γ(r) = u$ y $γ(- r) = v$ . El campo vectorial $V h$ definido por el vector unitario en $y$ es continuo, porque $u$ es una función continua de $y$ y la función que envía $($ $x$ $,$ $v$ $)$ a $($ $x$ $,exp$ $x$ $v$ $)$ es un difeomorfismo de $TX$ sobre $X$ $\times$ $X$ por el teorema de Cartan-Hadamard . Sea $δ($ $s$ $)$ otra geodésica parametrizada por la longitud de arco que pasa por $y$ con $δ(0) =$ $y$ . Entonces $dh$ $\circ δ (0)/$ $ds$ $=$ . En efecto, sea $H$ $($ $x$ $) =$ $h$ $($ $x$ $) -$ $h$ $($ $y$ $)$ , de modo que $H$ $($ $y$ $) = 0$ . Entonces ${\dot {\gamma }}(0)$ $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$

$|H(\delta (s))-H(x)|\leq d(\delta (s),x).$

Aplicando esto con $x = u$ y $v$ , se deduce que para $s > 0$

$(r-d(\delta (s),u))/s\leq (h(\delta (s))-h(y))/s\leq (d(\delta (s),v)-r)/s.$

Los términos externos tienden a cuando $s$ tiende a 0, por lo que el término medio tiene el mismo límite, como se afirma. Un argumento similar se aplica para $s$ $< 0$ . $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$

La afirmación sobre los términos externos se desprende de la primera fórmula de variación para la longitud de arco, pero se puede deducir directamente de la siguiente manera. Sean y , ambos vectores unitarios. Entonces, para los vectores tangentes $p$ y $q$ en $y$ en la bola unitaria ^[12] $a={\dot {\delta }}(0)$ $b={\dot {\gamma }}(0)$

$d(\exp _{y}p,\exp _{y}q)=\|p-q\|+\varepsilon \max \|p\|^{2},\|q\|^{2}$

con $ε$ uniformemente acotado. Sea $s = t 3$ y $r = t 2$ . Entonces

$(d(\delta (s),v)-r)/s=(d(\exp _{y}(t^{3}a),\exp _{y}(-t^{2}b))-t^{2})/t^{3}=(\|t^{3}a+t^{2}b\|-t^{2})/t^{3}+\varepsilon |t|=(\|ta+b\|-1)/t+\varepsilon |t|.$

El lado derecho aquí tiende a $(a, b)$ cuando $t$ tiende a 0 ya que

${d \over dt}\|b+ta\||_{t=0}={1 \over 2}\,{d \over dt}\|b+ta\|^{2}|_{t=0}=(a,b).$

El mismo método funciona para los demás términos.

De aquí se sigue que $h$ es una función $C 1 con$ $dh$ dual del campo vectorial $V h$ , de modo que $‖ dh (y) ‖ = 1$ . El campo vectorial $V h$ es, por tanto, el campo vectorial gradiente para $h$ . Las geodésicas que pasan por cualquier punto son las líneas de flujo para el flujo $α t$ para $V h$ , de modo que $α t$ es el flujo gradiente para $h$ .

TEOREMA. En una variedad de Hadamard $X$ las siguientes condiciones sobre una función continua $h$ son equivalentes: ^[3]

$h$ es una función de Busemann.
$h$ es una función de Lipschitz convexa con constante 1, y para cada $y$ en $X$ hay puntos $u \pm$ a una distancia $r$ de $y$ tales que $h(u \pm) = h(y) \pm r$ .
$h$ es una función convexa $C 1$ $con ‖ dh(x) ‖ \equiv 1$ .

Ya se ha demostrado que (1) implica (2).

Los argumentos anteriores muestran mutatis mutandis que (2) implica (3).

Por lo tanto, queda por demostrar que (3) implica (1). Fijemos $x$ en $X$ . Sea $α t$ el flujo de gradiente para $h$ . De ello se deduce que $h \circ α t (x) = h (x) + t$ y que $γ(t) = α t (x)$ es una geodésica que pasa por $x$ parametrizada por la longitud de arco con $γ(0) = x$ . De hecho, si $s < t$ , entonces

$|s-t|=|h(\alpha _{s}(x))-h(\alpha _{t}(x))|\leq d(\alpha _{s}(x),\alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\|d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \|\,d\tau =\int _{s}^{t}\|dh(\alpha _{\tau }(x))\|\,d\tau =|s-t|,$

de modo que $d (γ(s),γ(t)) = | s - t |$ . Sea $g (y) = h γ (y)$ , la función de Busemann para $γ$ con punto base $x$ . En particular $g (x) = 0$ . Para demostrar (1), basta con mostrar que $g = h - h (x)1$ .

Sea $C (- r)$ el conjunto cerrado y convexo de puntos $z$ con $h (z) \leq - r$ . Puesto que $X$ es un espacio de Hadamard para cada punto $y$ en $X$ hay un único punto más cercano $P r (y)$ a $y$ en $C (- r)$ . Depende continuamente de $y$ y si $y$ se encuentra fuera de $C (- r)$ , entonces $P r (y)$ se encuentra en la hipersuperficie $h (z) = - r$ —el límite $\partial C (- r)$ de $C (- r)$ —y la geodésica de $y$ a $P r (y)$ es ortogonal a $\partial C (- r)$ . En este caso la geodésica es simplemente $α t (y)$ . De hecho, el hecho de que $α t$ sea el flujo de gradiente de $h$ y las condiciones $‖ dh (y) ‖ \equiv 1$ implican que las líneas de flujo $α t (y)$ son geodésicas parametrizadas por la longitud de arco y cortan las curvas de nivel de $h$ ortogonalmente. Tomando $y$ con $h (y) = h (x)$ y $t > 0$ ,

$d(x,y)\geq d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y)),\,\,\,d(x,\alpha _{t}(y))^{2}\geq d(x,\alpha _{t}(x))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2},\,\,\,d(y,\alpha _{t}(x))^{2}\geq d(y,\alpha _{t}(y))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2}.$

Por otra parte, para cuatro puntos cualesquiera $a$ , $b$ , $c$ , $d$ en un espacio de Hadamard, se cumple la siguiente desigualdad cuadrilátera de Reshetnyak :

$|d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).$

Fijando $a = x$ , $b = y$ , $c = α t (x)$ , $d = α t (y)$ , se deduce que

$|d(y,\alpha _{t}(x))^{2}-d(x,\alpha _{t}(x))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},$

de modo que

$|d(y,\alpha _{t}(x))-d(x,\alpha _{t}(x))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\alpha _{t}(x))+d(x,\alpha _{t}(x))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.$

Por lo tanto, $h γ (y) = 0$ en la superficie de nivel de $h$ que contiene $x$ . El flujo $α s$ se puede utilizar para transportar este resultado a todas las superficies de nivel de $h$ . Para $y 1$ general, tome $s$ tal que $h (α s (x)) = h (y 1)$ y haga $x 1 = α s (x)$ . Entonces $h γ 1 (y 1) = 0$ , donde $γ 1 (t) = α t (x 1) = γ(s + t)$ . Pero entonces $h γ 1 = h γ - s$ , de modo que $h γ (y 1) = s$ . Por lo tanto $g (y 1) = s = h ((α s (x)) - h (x) = h (y 1) - h (x)$ , como se requiere.

Nótese que este argumento podría acortarse utilizando el hecho de que dos funciones de Busemann $h γ$ y $h δ$ difieren por una constante si y solo si los rayos geodésicos correspondientes satisfacen $sup t \geq 0 d (γ(t),δ(t)) < \infty$ . De hecho, todas las geodésicas definidas por el flujo $α t$ satisfacen la última condición, por lo que difieren por constantes. Dado que a lo largo de cualquiera de estas geodésicas $h$ es lineal con derivada 1, $h$ debe diferir de estas funciones de Busemann por constantes.

Compactificación de un espacio de Hadamard adecuado

Eberlein y O'Neill (1973) definieron una compactificación de una variedad de Hadamard $X$ que utiliza funciones de Busemann. Su construcción, que puede extenderse de manera más general a espacios de Hadamard propios (es decir, localmente compactos) , proporciona una realización geométrica explícita de una compactificación definida por Gromov (al agregar un "límite ideal") para la clase más general de espacios métricos propios $X$ , aquellos para los cuales toda bola cerrada es compacta. Nótese que, dado que cualquier sucesión de Cauchy está contenida en una bola cerrada, cualquier espacio métrico propio es automáticamente completo. ^[13] El límite ideal es un caso especial del límite ideal para un espacio métrico. En el caso de los espacios de Hadamard, esto concuerda con el espacio de rayos geodésicos que emanan de cualquier punto fijo descrito utilizando funciones de Busemann en la borificación del espacio.

Si $X$ es un espacio métrico propio, la compactificación de Gromov puede definirse como sigue. Fijemos un punto $x 0$ en $X$ y sea $X N = B (x 0, N)$ . Sea $Y = C (X)$ el espacio de funciones continuas de Lipschitz en $X$ , es decir, aquellas para las que $| f (x) - f (y) | \leq A d (x, y)$ para alguna constante $A > 0$ . El espacio $Y$ puede topogizarse mediante las seminormas $‖ f ‖ N = sup X N | f |$ , la topología de convergencia uniforme en compacta. Esta es la topología inducida por la función natural de C ( X ) en el producto directo de los espacios de Banach $C (X N)$ . Se da por la métrica $D (f, g) = Σ 2 - N ‖ f - g ‖ N (1 + ‖ f - g ‖ N) -1$ .

El espacio $X$ se incrusta en $Y$ enviando $x$ a la función $f x (y) = d (y, x) - d (x 0, x)$ . Sea $X$ la clausura de $X$ en $Y$ . Entonces $X$ es compacto (metrisable) y contiene $a X$ como un subconjunto abierto; además, las compactificaciones que surgen de diferentes elecciones de punto base son naturalmente homeomorfas. La compacidad se sigue del teorema de Arzelà-Ascoli ya que la imagen en $C (X N)$ es equicontinua y uniformemente acotada en norma por $N$ . Sea $x n$ una secuencia en $X \subset X$ que tiende a $y$ en $X \ X$ . Entonces todos los términos, excepto un número finito, deben estar fuera de $X N$ ya que $X N$ es compacto, de modo que cualquier subsecuencia convergería a un punto en $X N$ ; por lo que la secuencia $x n$ debe ser ilimitada en $X$ . Sea $h (x) = (d (x, x 0) + 1) -1$ . Entonces $h$ se encuentra en $C 0 (X)$ . No es cero en $X$ y se anula sólo en $\infty$ . Por lo tanto, se extiende a una función continua en $X$ con conjunto cero $X \ X$ . Se sigue que $X \ X$ es cerrado en $X$ , como se requiere. Para comprobar que la compactificación $X = X (x 0)$ es independiente del punto base, basta con mostrar que $k (x) = d (x, x 0) - d (x, x 1)$ se extiende a una función continua en $X$ . Pero $k (x) = f x (x 1)$ , por lo tanto, para $g$ en $X$ , $k (g) = g (x 1)$ . Por lo tanto, la correspondencia entre las compactificaciones para $x 0$ y $x 1$ se da enviando $g$ en $X (x 0)$ a $g + g (x 1)1$ en $X (x 1)$ .

Cuando $X$ es una variedad de Hadamard (o más generalmente un espacio de Hadamard propio), el límite ideal de Gromov $∂ X = X \ X$ se puede realizar explícitamente como "límites asintóticos" de geodésicas utilizando funciones de Busemann. Fijando un punto base $x 0$ , existe una geodésica única $γ(t)$ parametrizada por la longitud de arco tal que $γ(0) = x 0$ y es un vector unitario dado. Si $B$ $γ$ es la función de Busemann correspondiente, entonces $B$ $γ$ se encuentra en $\partial$ $X$ $($ $x$ $0$ $)$ e induce un homeomorfismo de la unidad $($ $n$ $- 1)$ -esfera sobre $\partial$ $X$ $($ $x$ $0$ $)$ , enviando a $B$ $γ$ . ${\dot {\gamma }}(0)$ ${\dot {\gamma }}(0)$

Cuasigeodésicas en el disco de Poincaré, CAT(-1) y espacios hiperbólicos

Lema de Morse-Mostow

En el caso de espacios de curvatura negativa, como el disco de Poincaré, CAT(-1) y los espacios hiperbólicos, existe una estructura métrica en su frontera de Gromov. Esta estructura se conserva por el grupo de cuasi-isometrías que llevan rayos geodésicos a rayos cuasigeodésicos. Las cuasigeodésicas fueron estudiadas por primera vez para superficies negativamente curvadas (en particular el semiplano superior hiperbólico y el disco unitario) por Morse y generalizadas a espacios simétricos negativamente curvados por Mostow , para su trabajo sobre la rigidez de grupos discretos . El resultado básico es el lema de Morse-Mostow sobre la estabilidad de las geodésicas. ^[14]^[15]^[16]^[17]

Por definición, una Γ cuasigeodésica definida en un intervalo $[a, b]$ con $-\infty \leq a < b \leq \infty$ es una función $Γ(t)$ en un espacio métrico, no necesariamente continuo, para el que hay constantes $λ \geq 1$ y $ε > 0$ tales que para todo $s$ y $t$ :

$\lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|+\varepsilon .$

El siguiente resultado se debe esencialmente a Marston Morse (1924).

Lema de Morse sobre la estabilidad de las geodésicas. En el disco hiperbólico existe una constante $R$ que depende de $λ$ y $ε$ tal que cualquier segmento cuasigeodésico $Γ$ definido en un intervalo finito $[a, b]$ está dentro de una distancia de Hausdorff $R$ del segmento geodésico $[Γ(a),Γ(b)]$ . ^[18]^[19]

Demostración clásica del disco de Poincaré

La prueba clásica del lema de Morse para el disco unitario de Poincaré o semiplano superior se realiza de manera más directa mediante el uso de la proyección ortogonal sobre el segmento geodésico. ^[20]^[21]^[22]

Se puede suponer que Γ satisface la condición "pseudo-geodésica" más fuerte: ^[23]

$\lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|.$

$Γ$ puede reemplazarse por una curva geodésica continua por partes Δ con los mismos puntos finales que se encuentran a una distancia finita de Hausdorff desde $Γ$ menor que $c = (2λ 2 + 1)ε$ : descomponer el intervalo en el que $Γ$ está definido en subintervalos iguales de longitud $2λε$ y tomar las geodésicas entre las imágenes bajo $Γ$ de los puntos finales de los subintervalos. Dado que $Δ$ es geodésica por partes, $Δ$ es continua de Lipschitz con constante $λ 1$ , $d (Δ(s),Δ(t)) \leq λ 1 | s - t |$ , donde $λ 1 \leq λ + ε$ . El límite inferior es automático en los puntos finales de los intervalos. Por construcción, los otros valores difieren de estos por un límite uniforme que depende solo de $λ$ y $ε$ ; La desigualdad del límite inferior se cumple al aumentar ε sumando el doble de este límite uniforme.

Si $γ$ es un segmento de curva suave por partes que se encuentra fuera de una vecindad $s$ de una línea geodésica y $P$ es la proyección ortogonal sobre la línea geodésica, entonces: ^[24]

$\ell (P\circ \gamma )\leq {\ell (\gamma ) \over \cosh s}.$

Aplicando una isometría en el semiplano superior, se puede suponer que la línea geodésica es el eje imaginario positivo en cuyo caso la proyección ortogonal sobre ella viene dada por $P (z) = i | z |$ y $| z | / Im z = cosh d (z, Pz)$ . Por lo tanto, la hipótesis implica $| γ(t) | \geq cosh(s) Im γ(t)$ , de modo que

$\ell (P\circ \gamma )=\int _{a}^{b}{|d\gamma | \over |\gamma |}\leq \int _{a}^{b}{|d\gamma | \over \cosh(s)\,\Im \gamma }={\ell (\gamma ) \over \cosh(s)}.$

Hay una constante $h > 0$ que depende únicamente de $λ$ y $ε$ tal que $Γ[a, b]$ se encuentra dentro de un vecindario $h$ del segmento geodésico $[Γ(a),Γ(b)]$ . ^[25]

Sea $γ(t)$ la línea geodésica que contiene el segmento geodésico $[Γ(a),Γ(b)]$ . Entonces hay una constante $h > 0$ que depende solo de $λ$ y $ε$ tal que la vecindad $h$ $Γ[a, b]$ se encuentra dentro de una vecindad $h$ $de γ(R)$ . De hecho, para cualquier $s > 0$ , el subconjunto de $[a, b]$ para el cual $Γ(t)$ se encuentra fuera de la clausura de la vecindad $s$ de $γ(R)$ es abierto, por lo que es una unión contable de intervalos abiertos $(c, d)$ . Entonces

$\ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{1}\equiv \lambda ^{2}(2s+\varepsilon )\left(1-{\lambda ^{2} \over \cosh(s)}\right),$

ya que el lado izquierdo es menor o igual a

λ | c - d |

${|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2s+d(P\circ \Gamma |_{[c,d]})\leq 2s+{\lambda |c-d| \over \cosh(s)}.$

Por lo tanto, cada punto se encuentra a una distancia menor o igual a

s + s 1

γ(R)

. Para deducir la afirmación, nótese que el subconjunto de

[a, b]

para el cual

Γ(t)

se encuentra fuera de la clausura de la vecindad

s

[Γ(a),Γ(b)] \subset γ(R)

es abierto, por lo que una unión de intervalos

(c, d)

con

Γ(c)

Γ(d)

ambos a una distancia

s + s 1

Γ(a)

Γ(b)

. Entonces

$\ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{2}\equiv \lambda ^{2}(2(s+s_{1})+\varepsilon ),$

desde

${|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2(s+s_{1}).$

Por lo tanto, la afirmación se sigue tomando cualquier

h

mayor que

s + s 1 + s 2

Hay una constante $h > 0$ que depende únicamente de $λ$ y $ε$ tal que el segmento geodésico $[Γ(a),Γ(b)]$ se encuentra dentro de un vecindario $h$ de $Γ[a, b]$ . ^[26]

Cada punto de $Γ[a, b]$ se encuentra dentro de una distancia $h$ de $[Γ(a),Γ(b)]$ . Por lo tanto, la proyección ortogonal $P$ lleva cada punto de $Γ[a, b]$ a un punto en el conjunto convexo cerrado $[Γ(a),Γ(b)]$ a una distancia menor que $h$ . Como $P$ es continua y $Γ[a, b]$ conexa, la función $P$ debe ser suprayacente ya que la imagen contiene los puntos finales de $[Γ(a),Γ(b)]$ . Pero entonces cada punto de $[Γ(a),Γ(b)]$ está dentro de una distancia $h$ de un punto de $Γ[a, b]$ .

Prueba de Gromov para el disco de Poincaré

La generalización del lema de Morse a los espacios CAT(-1) se suele denominar lema de Morse-Mostow y se puede demostrar mediante una generalización directa de la prueba clásica. También existe una generalización para la clase más general de espacios métricos hiperbólicos debido a Gromov. La prueba de Gromov se da a continuación para el disco unitario de Poincaré; las propiedades de los espacios métricos hiperbólicos se desarrollan en el curso de la prueba, de modo que se aplica mutatis mutandis a los espacios métricos hiperbólicos o CAT(-1). ^[14]^[15]

Como se trata de un fenómeno a gran escala, basta con comprobar que cualquier aplicación $Δ$ de ${0, 1, 2, ..., N}$ para cualquier $N > 0$ al disco que satisface las desigualdades está dentro de una distancia de Hausdorff $R 1$ del segmento geodésico $[Δ(0),Δ(N)]$ . Para ello, traduciéndolo, se puede suponer sin pérdida de generalidad $que Γ$ está definido en $[0, r]$ con $r > 1$ y, entonces, tomando $N = [r]$ (la parte entera de $r$ ), el resultado se puede aplicar a $Δ$ definido por $Δ(i) = Γ(i)$ . La distancia de Hausdorff entre las imágenes de $Γ$ y $Δ$ está evidentemente limitada por una constante $R 2$ que depende únicamente de $λ$ y $ε$ .

Ahora bien, el incírculo de un triángulo geodésico tiene un diámetro menor que

δ

donde

δ = 2 log 3

; de hecho, está estrictamente maximizado por el de un triángulo ideal donde es igual a

2 log 3

. En particular, dado que el incírculo divide el triángulo en tres triángulos isósceles con el tercer lado opuesto al vértice del triángulo original que tiene una longitud menor que

δ

, se deduce que cada lado de un triángulo geodésico está contenido en una vecindad

δ

de los otros dos lados. Un argumento de inducción simple muestra que un polígono geodésico con

2 k + 2

vértices para

k \geq 0

tiene cada lado dentro de una vecindad

(k + 1) δ

de los otros lados (tal polígono se forma combinando dos polígonos geodésicos con

2 k -1 + 1

lados a lo largo de un lado común). Por lo tanto, si

M \leq 2 k + 2

, la misma estimación se cumple para un polígono con

M

lados.

Para

y i = Δ(i),

sea

f (x) = min d (x, y i)

, el radio más grande para una esfera cerrada centrada en

x

que no contiene

y i

en su interior. Esta es una función continua distinta de cero en

[Δ(0),Δ(N)] , por lo que alcanza su

h

máxima en algún punto

x

en este segmento. Entonces

[Δ(0),Δ(N)]

se encuentra dentro de un vecindario

h 1

de la imagen de

Δ

para cualquier

h 1 > h

. Por lo tanto, basta con encontrar un límite superior para

h

independiente de

N

Elija

y

z

en el segmento

[Δ(0),Δ(N)]

antes y después de

x

con

d (x, y) = 2 h

d (x, z) = 2 h

(o un punto final si está dentro de una distancia de menos de

2 h

desde

x

). Entonces hay

i, j

con

d (y, Δ(i))

d (z, Δ(j)) \leq h

. Por lo tanto

d (Δ(i), Δ(j)) \leq 6 h

, de modo que

| i - j | \leq 6λ h + λε

. Por la desigualdad triangular todos los puntos en los segmentos

[y, Δ(i)]

[z, Δ(j)]

están a una distancia

\geq h

desde

x

. Por lo tanto, existe una secuencia finita de puntos que empiezan en

y

y terminan en

z

, que se encuentran primero en el segmento

[y, Δ(i)]

, y luego pasan por los puntos

Δ(i), Δ(i +1), ..., Δ(j)

, antes de tomar el segmento

[Δ(j), z]

. Los puntos sucesivos

Δ(i), Δ(i +1), ..., Δ(j)

están separados por una distancia no mayor que

λ + ε

y también se pueden elegir puntos sucesivos en los segmentos geodésicos para satisfacer esta condición. El número mínimo

K

de puntos en dicha secuencia satisface

K \leq | i - j | + 3 + 2(λ + ε) -1 h

. Estos puntos forman un polígono geodésico, con

[y, z]

como uno de los lados. Tome

L = [h /δ]

, de modo que la vecindad

(L - 1)δ

[y, z]

no contiene todos los demás lados del polígono. Por lo tanto, del resultado anterior, se deduce que

K > 2 L - 1 + 2

. Por lo tanto

$3+2(\lambda +\varepsilon )^{-1}h+6\lambda h+\varepsilon >2^{h/\delta }+2.$

Esta desigualdad implica que

h

está uniformemente acotado, independientemente de

N

, como se afirma.

Si todos los puntos

Δ(i)

están dentro de

h 1

[Δ(0),Δ(N)]

, se sigue el resultado. De lo contrario, los puntos que no caen en subconjuntos maximales

S = {r, ..., s}

con

r < s

. Por lo tanto, los puntos en

[Δ(0),Δ(N)]

tienen un punto

Δ(i)

con

i

en el complemento de

S

dentro de una distancia de

h 1

. Pero el complemento de

S = S 1 ∐ S 2

, una unión disjunta con

S 1 = {0, ..., r - 1}

S 2 = {s + 1, ..., N}

. La conectividad de

[Δ(0),Δ(N)]

implica que hay un punto

x

en el segmento que está dentro de una distancia

h 1

de los puntos

Δ(i)

Δ(j)

con

i < r

j > s

. Pero entonces

d (Δ(i),Δ(j)) < 2 h 1

, por lo que

| i - j | \leq 2λ h 1 + λε

. Por lo tanto, los puntos

Δ(k)

para

k

S

se encuentran dentro de una distancia de

[Δ(0),Δ(N)]

menor que

h 1 + λ | i - j | + ε \leq h 1 + λ (2λ h 1 + λε) + ε \equiv h 2

Extensión a rayos y líneas cuasigeodésicos

Recordemos que en un espacio de Hadamard si $[a 1, b 1]$ y $[a 2, b 2]$ son dos segmentos geodésicos y los puntos intermedios $c 1 (t)$ y $c 2 (t)$ los dividen en la razón $t :(1 - t)$ , entonces $d (c 1 (t), c 2 (t))$ es una función convexa de $t$ . En particular, si $Γ 1 (t)$ y $Γ 2 (t)$ son segmentos geodésicos de velocidad unitaria definidos en $[0, R]$ que comienzan en el mismo punto, entonces

$d(\Gamma _{1}(t),\Gamma _{2}(t))\leq {t \over R}d(\Gamma _{1}(R),\Gamma _{2}(R)).$

En particular esto implica lo siguiente:

En un espacio CAT(–1) $X$ , existe una constante $h > 0$ que depende únicamente de $λ$ y $ε,$ de modo que cualquier rayo cuasi-geodésico se encuentra dentro de una distancia de Hausdorff acotada $h$ de un rayo geodésico. Un resultado similar se aplica a las líneas cuasi-geodésicas y geodésicas.

Si $Γ(t)$ es una geodésica, digamos con $λ$ y $ε$ constantes , sea $Γ N (t)$ la geodésica de velocidad unitaria para el segmento $[Γ(0),Γ(N)]$ . La estimación anterior muestra que para $R fijo > 0$ y $N$ suficientemente grande, $(Γ N)$ es una secuencia de Cauchy en $C ([0, R], X)$ con la métrica uniforme. Por lo tanto, $Γ N$ tiende a un rayo geodésico $γ$ uniformemente en compacta; el límite de las distancias de Hausdorff entre $Γ$ y los segmentos $Γ N$ se aplica también a la geodésica límite $γ$ . La afirmación para las líneas cuasigeodésicas se deduce tomando $Γ N$ correspondiente al segmento geodésico $[Γ(- N),Γ(N)]$ .

Teorema de Efremovich-Tikhomirova

Antes de analizar los espacios CAT(-1), en esta sección se describirá el teorema de Efremovich-Tikhomirova para el disco unitario $D$ con la métrica de Poincaré. En él se afirma que las cuasi-isometrías de $D$ se extienden a los homeomorfismos cuasi-Möbius del disco unitario con la métrica euclidiana. El teorema constituye el prototipo de la teoría más general de los espacios CAT(-1). Su teorema original fue demostrado en una forma ligeramente menos general y menos precisa en Efremovich y Tikhomirova (1964) y aplicado a los homeomorfismos bi-Lipschitz del disco unitario para la métrica de Poincaré; ^[27] Anteriormente, en el artículo póstumo Mori (1957), el matemático japonés Akira Mori había demostrado un resultado relacionado dentro de la teoría de Teichmüller asegurando que todo homeomorfismo cuasiconforme del disco es continuo de Hölder y por lo tanto se extiende continuamente a un homeomorfismo del círculo unitario (se sabe que esta extensión es cuasi-Möbius). ^[28]

Extensión de las cuasi-isometrías al límite

Si $X$ es el disco unitario de Poincaré, o más generalmente un espacio CAT(-1), el lema de Morse sobre la estabilidad de las cuasigeodésicas implica que cada cuasiisometría de $X$ se extiende únicamente hasta el límite. Por definición, dos autoaplicaciones $f, g$ de $X$ son cuasiivalentes si $sup X d (f (x), g (x)) < \infty$ , de modo que los puntos correspondientes están a una distancia uniformemente acotada entre sí. Una cuasiisometría $f 1$ de $X$ es una autoaplicación de $X$ , no necesariamente continua, que tiene una cuasiiversa $f 2$ tal que $f 1 \circ f 2$ y $f 2 \circ f 1$ son cuasiivalentes a las aplicaciones identidad apropiadas y tales que hay constantes $λ \geq 1$ y $ε > 0$ tales que para todas $las x, y$ en $X$ y ambas aplicaciones

$\lambda ^{-1}d(x,y)-\varepsilon \leq d(f_{k}(x),f_{k}(y))\leq \lambda d(x,y)+\varepsilon .$

Nótese que las cuasi-inversas son únicas hasta la cuasi-equivalencia; que se podría dar una definición equivalente utilizando posiblemente diferentes cuasi-inversas derechas e izquierdas, pero necesariamente serían cuasi-equivalentes; que las cuasi-isometrías están cerradas bajo composición que hasta la cuasi-equivalencia depende solo de las clases de cuasi-equivalencia; y que, módulo cuasi-equivalencia, las cuasi-isometrías forman un grupo. ^[29]

Fijando un punto $x$ en $X$ , dado un rayo geodésico $γ$ que comienza en $x$ , la imagen $f \circ γ$ bajo una cuasi-isometría $f$ es un rayo cuasi-geodésico. Por el lema de Morse-Mostow está dentro de una distancia acotada de un único rayo geodésico $δ$ que comienza en $x$ . Esto define una aplicación $\partial f$ en el límite $\partial X$ de $X$ , independiente de la clase de cuasi-equivalencia de $f$ , tal que $\partial(f \circ g) = \partial f \circ \partial g$ . Por lo tanto, hay un homomorfismo del grupo de cuasi-isometrías en el grupo de auto-aplicaciones de $\partial X$ .

Para comprobar que $\partial f$ es continua, nótese que si $γ 1$ y $γ 2$ son rayos geodésicos que están uniformemente próximos en $[0, R]$ , dentro de una distancia $η$ , entonces $f \circ γ 1$ y $f \circ γ 2$ se encuentran dentro de una distancia $λη + ε$ en $[0, R]$ , de modo que $δ 1$ y $δ 2$ se encuentran dentro de una distancia $λη + ε + 2 h (λ,ε)$ ; por lo tanto, en un intervalo más pequeño $[0, r]$ , $δ 1$ y $δ 2$ se encuentran dentro de una distancia $(r / R)\cdot[λη + ε + 2 h (λ,ε)]$ por convexidad. ^[30]

En los espacios CAT(-1), una versión más refinada de la continuidad afirma que $\partial f$ es una aplicación cuasi-Möbius con respecto a una clase natural de métrica en $\partial X$ , las "métricas visuales" que generalizan la métrica euclidiana en el círculo unitario y sus transformaciones bajo el grupo de Möbius. Estas métricas visuales se pueden definir en términos de funciones de Busemann. ^[31]

En el caso del disco unitario, la teoría de Teichmüller implica que el homomorfismo transporta homeomorfismos cuasiconformales del disco al grupo de homeomorfismos cuasiconformales del círculo (usando por ejemplo la extensión de Ahlfors–Beurling o Douady–Earle ): se deduce que el homomorfismo del grupo cuasisométrico al grupo cuasisométrico es sobreyectivo.

En la otra dirección, es sencillo demostrar que el homomorfismo es inyectivo. ^[32] Supóngase que $f$ es una cuasi-isometría del disco unidad tal que $\partial f$ es la identidad. El supuesto y el lema de Morse implican que si $γ(R)$ es una línea geodésica, entonces $f (γ(R))$ se encuentra en una $h$ -vecindario de $γ(R)$ . Ahora tomemos una segunda línea geodésica $δ$ tal que $δ$ y $γ$ se intersecan ortogonalmente en un punto dado en $a$ . Entonces $f (a)$ se encuentra en la intersección de $h$ -vecindarios de $δ$ y $γ$ . Aplicando una transformación de Möbius, se puede suponer que $a$ está en el origen del disco unidad y las geodésicas son los ejes real e imaginario. Por convexidad, los $h$ -vecindarios de estos ejes se intersecan en un $3 h$ -vecindario del origen: si $z$ se encuentra en ambos vecindades, sean $x$ e $y$ las proyecciones ortogonales de $z$ sobre los ejes $x$ e $y$ ; entonces $d (z, x) \leq h$ por lo que tomando proyecciones sobre el eje $y$ , $d (0, y) \leq h$ ; por lo tanto $d (z,0) \leq d (z, y) + d (y,0) \leq 2 h$ . Por lo tanto $d (a, f (a)) \leq 2 h$ , por lo que $f$ es cuasi-equivalente a la identidad, como se afirma.

Relación cruzada y distancia entre líneas geodésicas que no se intersecan

Dados dos puntos distintos $z, w$ en el círculo unitario o eje real existe una geodésica hiperbólica única $[z, w]$ que los une. Está dada por el círculo (o línea recta) que corta al círculo unitario o eje real ortogonalmente en esos dos puntos. Dados cuatro puntos distintos $a, b, c, d$ en el plano complejo extendido, su razón cruzada está definida por

$(a,b;c,d)={(a-c)(b-d) \over (a-d)(b-c)}.$

Si $g$ es una transformación compleja de Möbius , entonces deja la razón cruzada invariante: $(g (a), g (b); g (c), g (d)) = (a, b : c, d)$ . Dado que el grupo de Möbius actúa simplemente de manera transitiva sobre ternas de puntos, la razón cruzada puede describirse alternativamente como el número complejo $z$ en $C \{0,1}$ tal que $g (a) = 0, g (b) = 1, g (c) = λ, g (d) = \infty$ para una transformación de Möbius $g$ .

Como $a$ , $b$ , $c$ y $d$ aparecen todos en el numerador que define la razón cruzada, para entender el comportamiento de la razón cruzada bajo permutaciones de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , basta considerar permutaciones que fijan $d$ , por lo que solo se permutan $a$ , $b$ y $c$ . La razón cruzada se transforma de acuerdo con el grupo anarmónico de orden 6 generado por las transformaciones de Möbius enviando $λ$ a $1 - λ$ y $λ -1$ . Las otras tres transformaciones envían $λ$ a $1 - λ -1$ , a $λ(λ - 1) -1$ y a $(1 - λ) -1$ . ^[33]

Ahora sean $a, b, c, d$ puntos en el círculo unitario o eje real en ese orden. Entonces las geodésicas $[a, b]$ y $[c, d]$ no se intersecan y la distancia entre estas geodésicas está bien definida: hay una única línea geodésica que corta estas dos geodésicas ortogonalmente y la distancia está dada por la longitud del segmento geodésico entre ellas. Es evidentemente invariante bajo transformaciones reales de Möbius. Para comparar la razón cruzada y la distancia entre geodésicas, la invariancia de Möbius permite reducir el cálculo a una configuración simétrica. Para $0 < r < R$ , tome $a = - R, b = - r, c = r, d = R$ . Entonces $λ = (a, b; c, d) = (R + r) 2 /4 rR = (t + 1) 2 /4 t$ donde $t = R / r > 1$ . Por otra parte, las geodésicas $[a, d]$ y $[b, c]$ son los semicírculos en el semiplano superior de radio $r$ y $R$ . La geodésica que las corta ortogonalmente es el eje imaginario positivo, por lo que la distancia entre ellas es la distancia hiperbólica entre $ir$ e $iR$ , $d (ir, iR) = log R / r = log t$ . Sea $s = log t$ , entonces $λ = cosh 2 (s /2)$ , de modo que existe una constante $C > 0$ tal que, si $(a, b; c, d) > 1$ , entonces

$d([a,d];[b,c])-C\leq \log(a,b;c,d)\leq d([a,d];[b,c])+C,$

ya que $log[cosh(x)/exp x)] = log (1 + exp(-2 x))/2$ está acotado superior e inferiormente en $x \geq 0$ . Nótese que $a, b, c, d$ están en orden alrededor del círculo unitario si y solo si $(a, b; c, d) > 1$ .

Se puede dar una interpretación geométrica más general y precisa de la relación cruzada utilizando proyecciones de puntos ideales sobre una línea geodésica; no depende del orden de los puntos en el círculo y, por lo tanto, de si las líneas geodésicas se intersecan o no. ^[34]

Si $p$ y $q$ son los pies de las perpendiculares desde $c$ y $d$ a la línea geodésica $ab$ , entonces $d(p,q) = | log | (a,b;c,d) ||$ .

Como ambos lados son invariantes bajo las transformaciones de Möbius, basta con comprobarlo en el caso de que $a = 0$ , $b = \infty$ , $c = x$ y $d = 1$ . En este caso la línea geodésica es el eje imaginario positivo, el lado derecho es igual $a | log | x ||$ , $p = | x | i$ y $q = i$ . Por lo tanto, el lado izquierdo es igual a $| log | x ||$ . Nótese que $p$ y $q$ son también los puntos donde los incírculos de los triángulos ideales $abc$ y $abd$ tocan $ab$ .

Prueba del teorema

Un homeomorfismo $F$ del círculo es cuasisimétrico si existen constantes $a, b > 0$ tales que

$\displaystyle {{|F(z_{1})-F(z_{2})| \over |F(z_{1})-F(z_{3})|}\leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}.}$

Es cuasi-Möbius si hay constantes $c, d > 0$ tales que

$\displaystyle {|(F(z_{1}),F(z_{2});F(z_{3}),F(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}$

dónde

$\displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}$

denota la relación cruzada .

Es inmediato que los homeomorfismos cuasisimétricos y cuasi-Möbius se cierran bajo las operaciones de inversión y composición.

Si $F$ es cuasisimétrico entonces también es cuasimetrónico, con $c = a 2$ y $d = b$ : esto se deduce multiplicando la primera desigualdad para $(z 1, z 3, z 4)$ y $(z 2, z 4, z 3)$ . A la inversa, cualquier homeomorfismo cuasimetrónico $F$ es cuasimetrónico. Para ver esto, primero se puede comprobar que $F$ (y por tanto $F -1$ ) es continua de Hölder . Sea $S$ el conjunto de raíces cúbicas de la unidad, de modo que si $a \neq b$ en $S$ , entonces $| a - b | = 2 sen π /3 = \sqrt 3$ . Para demostrar una estimación de Hölder, se puede suponer que $x - y$ es uniformemente pequeño. Entonces, tanto $x$ como $y$ son mayores que una distancia fija de $a, b$ en $S$ con $a \neq b$ , por lo que la estimación se obtiene aplicando la desigualdad cuasi-Möbius a $x, a, y, b$ . Para verificar que $F$ es cuasisimétrica, basta con encontrar un límite superior uniforme para $| F (x) - F (y) | / | F (x) - F (z) |$ en el caso de una tripleta con $| x - z | = | x - y |$ , uniformemente pequeña. En este caso hay un punto $w$ a una distancia mayor que 1 de $x$ , $y$ y $z$ . Aplicando la desigualdad cuasi-Möbius a $x$ , $w$ , $y$ y $z$ se obtiene el límite superior requerido. Para resumir:

Un homeomorfismo del círculo es cuasi-Möbius si y sólo si es cuasisimétrico. En este caso, él y su inverso son continuos en el sentido de Hölder. Los homeomorfismos cuasi-Möbius forman un grupo bajo composición. ^[35]

Para demostrar el teorema basta demostrar que si $F = \partial f$ entonces existen constantes $A, B > 0$ tales que para $a, b, c, d$ hay puntos distintos en el círculo unitario ^[36]

$\displaystyle {|(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}.}$

Ya se ha comprobado que $F$ (y es inversa) son continuas. Si se compone $f$ , y por tanto $F$ , con conjugación compleja si es necesario, se puede suponer además que $F$ conserva la orientación del círculo. En este caso, si $a, b, c, d$ están en orden en el círculo, también hay imágenes bajo $F$ ; por tanto, tanto $(a, b; c, d)$ como $(F (a), F (b); F (c), F (d))$ son reales y mayores que uno. En este caso

$(F(a),F(b);F(c),F(d))\leq A(a,b;c,d)^{B}.$

Para probar esto, basta con mostrar que $log (F (a), F (b); F (c), F (d)) \leq B log (a, b; c, d) + C$ . De la sección anterior basta con mostrar $que d ([F (a), F (b)],[F (c), F (d)]) \leq P d ([a, b],[c, d]) + Q$ . Esto se sigue del hecho de que las imágenes bajo $f$ de $[a, b]$ y $[c, d]$ se encuentran dentro de $h$ -vecindarios de $[F (a), F (b)]$ y $[F (c), F (d)]$ ; La distancia mínima se puede estimar utilizando las constantes de cuasi-isometría para $f$ aplicadas a los puntos en $[a, b]$ y $[c, d]$ realizando $d ([a, b],[c, d])$ .

Ajustando $A$ y $B$ si es necesario, la desigualdad anterior se aplica también a $F -1$ . Reemplazando $a$ , $b$ , $c$ y $d$ por sus imágenes bajo $F$ , se deduce que

$A^{-1}|(a,b;c,d)|^{-B}\leq |(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}$

si $a$ , $b$ , $c$ y $d$ están en orden en el círculo unitario. Por lo tanto, las mismas desigualdades son válidas para los tres cíclicos del cuádruple $a, b, c, d$ . Si $a$ y $b$ se intercambian, las razones cruzadas se envían a sus inversas, por lo que se encuentran entre 0 y 1; de manera similar, si $c$ y $d$ se intercambian. Si ambos pares se intercambian, la razón cruzada permanece inalterada. Por lo tanto, las desigualdades también son válidas en este caso. Finalmente, si $b$ y $c$ se intercambian, la razón cruzada cambia de $λ$ a $λ -1 (λ - 1) = 1 - λ -1$ , que se encuentra entre 0 y 1. Por lo tanto, nuevamente las mismas desigualdades son válidas. Es fácil verificar que utilizando estas transformaciones las desigualdades son válidas para todas las permutaciones posibles de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , de modo que $F$ y su inversa son homeomorfismos cuasi-Möbius.

Funciones de Busemann y métricas visuales para espacios CAT(-1)

Las funciones de Busemann se pueden utilizar para determinar métricas visuales especiales en la clase de espacios CAT(-1). Estos son espacios métricos geodésicos completos en los que las distancias entre puntos en el límite de un triángulo geodésico son menores o iguales que el triángulo de comparación en el semiplano superior hiperbólico o, equivalentemente, el disco unitario con la métrica de Poincaré. En el caso del disco unitario, la métrica cordal se puede recuperar directamente utilizando funciones de Busemann $B γ$ y la teoría especial para el disco se generaliza completamente a cualquier espacio CAT(-1) propio $X$ . El semiplano superior hiperbólico es un espacio CAT(0), ya que las longitudes en un triángulo geodésico hiperbólico son menores que las longitudes en el triángulo de comparación euclidiano: en particular, un espacio CAT(-1) es un espacio CAT(0), por lo que se aplica la teoría de las funciones de Busemann y el límite de Gromov. De la teoría del disco hiperbólico se sigue en particular que cada rayo geodésico en un espacio CAT(-1) se extiende a una línea geodésica y dados dos puntos del límite hay una geodésica única $γ$ tal que tiene estos puntos como límites $γ(\pm\infty)$ . La teoría se aplica igualmente bien a cualquier espacio CAT( $-κ ) con$ $κ > 0$ ya que estos surgen al escalar la métrica en un espacio CAT(-1) por $κ -1/2$ . En el disco unitario hiperbólico $D,$ las cuasi-isometrías de $D$ inducen homeomorfismos cuasi-Möbius del límite de una manera funcional. Existe una teoría más general de los espacios hiperbólicos de Gromov, que sostiene una afirmación similar, pero con un control menos preciso sobre los homeomorfismos del límite. ^[14]^[15]

Ejemplo: Disco de Poincaré

Aplicaciones en la teoría de la percolación

Más recientemente, los probabilistas han utilizado funciones de Busemann para estudiar propiedades asintóticas en modelos de percolación de primer paso ^[37]^[38] y percolación dirigida de último paso. ^[39]

Notas

^ Busemann 1955, pág. 131
^ Bridson y Haefliger 1999, pág. 273
^ abcd Ballmann, Gromov y Schröder 1985
^ Bridson y Haefliger 1999, págs. 268-269
^ Lurie 2010, pág. 13
^ Bridson y Haefliger 1999, págs. 271-272
^ abc Bridson y Haefliger 1999, págs. 271-272
^ Dal'bo, Peigné y Sambusetti 2012, págs. 94–96
^ Bridson y Haefliger 1999, págs. 260-276
^ Ballmann 1995, págs. 27-30
^ Bridson y Haefliger 1999, págs. 271-272
^ En coordenadas normales geodésicas , la métrica $g (x) = I + ε ‖ x ‖$ . Por convexidad geodésica, una geodésica de $p$ a $q$ se encuentra en la bola de radio $r = max ‖ p ‖, ‖ q ‖$ . El segmento de línea recta da una estimación superior para $d (p, q)$ de la forma establecida. Para obtener una estimación inferior similar, observe que si $c (t)$ es una trayectoria suave de $p$ a $q$ , entonces $L (c) \geq (1 - ε r) \cdot \int ‖ c ‖ dt \geq (1 - ε r) \cdot ‖ p - q ‖$ . (Tenga en cuenta que estas desigualdades se pueden mejorar utilizando la estimación más precisa $g (x) = I + ε ‖ x ‖ 2$ ).
^ Nótese que un espacio métrico $X$ que es completo y localmente compacto no necesita ser propio, por ejemplo $R$ con la métrica $d (x, y) = | x - y | /(1 + | x - y |)$ . Por otra parte, por el teorema de Hopf-Rinow para espacios métricos, si $X$ es completo, localmente compacto y geodésico (cada dos puntos $x$ $e$ y están unidos por una geodésica parametrizada por la longitud de arco), entonces $X$ es propio (véase Bridson y Haefliger 1999, pp. 35-36). De hecho, si no, hay un punto $x$ en $X$ y una bola cerrada $K = B (x, r)$ maximal sujeta a ser compacta; entonces, dado que por hipótesis $B (x, R)$ no es compacta para cada $R > r$ , un argumento diagonal muestra que hay una sucesión $(x n)$ con $d (x, x n)$ decreciente a $r$ pero sin ninguna subsucesión convergente; por otra parte, tomando $y n$ en una geodésica que une $x$ y $x n$ , con $d (x, y n) = r$ , la compacidad de $K$ implica que $(y n)$ , y por lo tanto $(x n)$ , tiene una subsucesión convergente, una contradicción.
^abc Bourdon 1995
^ abc Buyalo y Schröder 2007
^ Mostow 1973
^ Roe 2003
^ Buyalo y Schroeder 2007, págs. 1–6
^ Bridson y Haefliger 1999, págs. 399–405
^ Kapovich 2001, págs. 51-52
^ Morse 1924
^ Ratcliffe 2006, págs. 580–599
^ Kapovich 2001, pág. 51
^ Ratcliffe 2006, pág. 583, Lema 4
^ Ratcliffe 2006, págs. 584-586, Lemas 5-6
^ Kapovich 2001, pág. 52
^ Los homeomorfismos Bi-Lipschitz son aquellos para los cuales ellos y sus inversos son Lipschitz continuos
^
Ver:
- Ahlfors 1966
- Lehto 1987
^
Ver:
- Bordón 1995
- Bridson y Haefliger 1999
- Roe 2003
- Buyalo & Schröder 2007
- Bordón 2009
^ Bridson y Haefliger 1999, págs. 430–431
^
Ver:
- Bordón 1995
- Buyalo & Schröder 2007
- Bordón 2009
^ Roe 2003, pág. 113
^ Beardon 1983, pp. 75–78 Nótese que hay un homomorfismo natural de $S 4$ sobre $S 3$ , que actúa por conjugación sobre $(a, b)(c, d), (a, c)(b, d)$ y $(a, d)(b, c)$ . De hecho, estas permutaciones junto con la identidad forman un subgrupo abeliano normal igual a su propio centralizador: la acción de $S 4$ por conjugación sobre los elementos no triviales produce el homomorfismo sobre $S 3$ .
^
Ver:
- Paulina 1996
- Buyalo & Schröder 2007
^ Väisälä 1984
^ Bourdon 2009
^ Hoffman 2005
^ Damron y Hanson 2014
^ Georgiou, Rassoul-Agha y Seppäläinen 2016

Referencias

Ahlfors, Lars V. (1966), Conferencias sobre aplicaciones cuasiconformales , Van Nostrand
Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor (1985), Múltiples de curvatura no positiva , Progress in Mathematics, vol. 61, Birkhäuser , ISBN 0-8176-3181-X
Ballmann, Werner (1995), Lecciones sobre espacios de curvatura no positiva , DMV Seminar, vol. 25, Birkhäuser, ISBN 3-7643-5242-6
Beardon, Alan F. (1983), La geometría de grupos discretos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90788-2
Bourdon, Marc (1995), "Estructura conforme au bord et flot géodésique d'un CAT(−1)-espace", Enseign. Matemáticas. (en francés), 41 : 63-102
Bourdon, Marc (2009), "Geometría cuasi conforme y rigidez de Mostow", Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et rigidités , Sémin. Congreso, vol. 18, Soc. Matemáticas. Francia, págs. 201-212
Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Springer
Busemann, Herbert (1955), La geometría de las geodésicas , Academic Press
Buyalo, Sergei; Schroeder, Viktor (2007), Elementos de geometría asintótica , Monografías EMS en Matemáticas, Sociedad Matemática Europea , ISBN 978-3-03719-036-4
Dal'bo, Françoise; Peigné, Marc; Sambusetti, Andrea (2012), "Sobre el horolímite y la geometría de rayos de variedades de curvatura negativa" (PDF) , Pacific J. Math. , 259 : 55–100, arXiv : 1010.6028 , doi :10.2140/pjm.2012.259.55, S2CID 7309250, Apéndice
Damron, Michael; Hanson, Jack (2014), "Funciones de Busemann y geodésicas infinitas en la percolación de primer paso bidimensional", Comm. Math. Phys. , 325 (3): 917–963, arXiv : 1209.3036 , Bibcode :2014CMaPh.325..917D, doi :10.1007/s00220-013-1875-y, S2CID 119589291
Eberlein, P.; O'Neill, B. (1973), "Variedades de visibilidad", Pacific J. Math. , 46 : 45–109, doi : 10.2140/pjm.1973.46.45
Efremovich, VA ; Tikhomirova, ES (1964), "Equimorfismos de espacios hiperbólicos", Izv. Akád. Nauk SSSR Ser. Estera. (en ruso), 28 : 1139-1144
Georgiou, Nicos; Rassoul-Agha, Firas; Seppäläinen, Timo (2016), "Fórmulas variacionales y soluciones de cociclo para polímeros dirigidos y modelos de percolación", Comm. Math. Phys. , 346 (2): 741–779, arXiv : 1311.3016 , Bibcode :2016CMaPh.346..741G, doi :10.1007/s00220-016-2613-z, S2CID 5887311
Hoffman, Christopher (2005), "Coexistencia de modelos de crecimiento espacial competitivos de tipo Richardson", Ann. Appl. Probab. , 15 : 739–747, arXiv : math/0405377 , doi :10.1214/105051604000000729, S2CID 15113728
Kapovich, Michael (2001), Variedades hiperbólicas y grupos discretos , Progress in Mathematics, vol. 183, Birkhäuser , ISBN 0-8176-3904-7
Lehto, Olli (1987), Funciones univalentes y espacios de Teichmüller , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 109, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96310-3
Lurie, J. (2010), Notas sobre la teoría de los espacios de Hadamard (PDF) , Universidad de Harvard , archivado desde el original (PDF) el 8 de julio de 2006
Mori, Akira (1957), "Sobre la cuasiconformidad y la pseudoanaliticidad" (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 84 : 56–77, doi : 10.1090/s0002-9947-1957-0083024-5
Morse, HM (1924), "Una clase fundamental de geodésicas sobre cualquier superficie cerrada de género mayor que uno" (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 26 : 25–60, doi : 10.1090/s0002-9947-1924-1501263-9
Mostow, G. Daniel (1973), Rigidez fuerte de espacios localmente simétricos , Annals of Mathematics Studies, vol. 78, Princeton University Press, ISBN 978-0-6910-8136-6, JSTOR j.ctt1bd6kr9
Papadopoulos, Athanase (2014), Espacios métricos, convexidad y curvatura no positiva , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 6 (segunda ed.), European Mathematical Society , ISBN 978-3-03719-132-3
Paulin, Frédéric (1996), "Un groupe hyperbolique est determinado par son bord", J. London Math. Soc. (en francés), 54 : 50–74, doi :10.1112/jlms/54.1.50
Ratcliffe, John G. (2006), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 149 (segunda edición), Springer, ISBN 978-0387-33197-3
Roe, John (2003), Lecciones sobre geometría básica , University Lecture Series, vol. 31, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3332-4
Shiohama, Katsuhiro (1984), "Topología de variedades no compactas completas", Geometría de geodésicas y temas relacionados , Adv. Stud. Pure Math., vol. 3, North-Holland , págs. 423–450
Shioya, T. (2001) [1994], "Función de Busemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Väisälä, Jussi (1984), "Mapas de Quasi-Möbius", Journal d'Analyse Mathématique , 44 : 218–234, doi : 10.1007/bf02790198 , S2CID 189767039