Ampliación de Douady-Earle

En matemáticas , la extensión de Douady-Earle , llamada así por Adrien Douady y Clifford Earle , es una forma de extender homeomorfismos del círculo unitario en el plano complejo a homeomorfismos del disco unitario cerrado, de modo que la extensión es un difeomorfismo del disco abierto. La extensión es analítica en el disco abierto. La extensión tiene una propiedad de equivariancia importante: si el homeomorfismo se compone en ambos lados con una transformación de Möbius que preserva el círculo unitario, la extensión también se obtiene por composición con la misma transformación de Möbius. Si el homeomorfismo es cuasisimétrico , el difeomorfismo es cuasiconformal . Lars Ahlfors y Arne Beurling habían dado previamente una extensión para homeomorfismos cuasisimétricos ; Pekka Tukia había dado una construcción equivariante diferente en 1985. Las extensiones equivariantes tienen aplicaciones importantes en la teoría de Teichmüller ; Por ejemplo, conducen a una prueba rápida de la contractibilidad del espacio de Teichmüller de un grupo fuchsiano .

Definición

Por el teorema de Radó–Kneser–Choquet , la integral de Poisson

${\displaystyle F_{f}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi )\cdot {1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\varphi ,}$

de un homeomorfismo f del círculo define un difeomorfismo armónico del disco unidad que extiende f . Si f es cuasisimétrica , la extensión no es necesariamente cuasiconforme, es decir, la dilatación compleja

${\displaystyle \mu (z)={\partial _{\overline {z}}F_{f} \over \partial _{z}F_{f}},}$

no necesariamente satisface

${\displaystyle \sup _{|z|<1}|\mu (z)|<1.}$

Sin embargo, F puede utilizarse para definir otra extensión analítica H _f de f ⁻¹ que sí satisface esta condición. De ello se deduce que

${\displaystyle E(f)=H_{f^{-1}}}$

es la extensión requerida.

Para | a | < 1 define la transformación de Möbius

${\displaystyle g_{a}(z)={z-a \over 1-{\overline {a}}z}.}$

Conserva el círculo unitario y el disco unitario enviando a a 0.

Si g es cualquier transformación de Möbius que preserva el círculo unitario y el disco, entonces

${\displaystyle F_{f\circ g}=F_{f}\circ g.}$

Para | a | < 1 definir

${\displaystyle w=H_{f}(a)}$

ser el único w con | w | < 1 y

${\displaystyle F_{g_{a}\circ f}(w)=0.}$

Para | a | = 1 conjunto

${\displaystyle H_{f}(a)=f^{-1}(a).}$

Propiedades

• Compatibilidad con las transformaciones de Möbius. Por construcción

${\displaystyle H_{g\circ f\circ h}=h^{-1}\circ H_{f}\circ g^{-1}}$

para cualquier transformación de Möbius g y h conservando el círculo unitario y el disco.

• Ecuación funcional. Si | a |, | b | < 1 y

${\displaystyle \Phi (a,b)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({f(e^{i\theta })-b \over 1-{\overline {b}}f(e^{i\theta })}\right){1-|a|^{2} \over |a-e^{i\theta }|^{2}}\,d\theta ,}$

entonces ${\displaystyle \Phi (a,b)=0.}$

• Continuidad. Si | a |, | b | < 1, define

${\displaystyle \Phi (a,b)=F_{g_{a}\circ f}(b)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }g_{a}\circ f\circ g_{-b}(e^{i\theta })\,d\theta ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({f(e^{i\theta })-b \over 1-{\overline {b}}f(e^{i\theta })}\right){1-|a|^{2} \over |a-e^{i\theta }|^{2}}\,d\theta }$

Si z _n y w _n se encuentran en el disco unitario y tienden a z y w y los homeomorfismos del círculo se definen por

${\displaystyle f_{n}=g_{z_{n}}\circ f\circ g_{-w_{n}},}$

entonces f _n tiende casi en todas partes a

• g _z ∘ f ∘ g _{− w} si | z |, | w | < 1;
• g _z ∘ f ( w ) si | z | < 1 y | w | = 1;
• − z si | z | = 1 y | w | ≤ 1 con w ≠ f ⁻¹ ( z ).

Por el teorema de convergencia dominada, se sigue que Φ( z _n , w _n ) tiene un límite distinto de cero si w ≠ H _f ( z ). Esto implica que H _f es continua en el disco unitario cerrado. De hecho, de lo contrario, por compacidad, habría una secuencia z _n que tiende a z en el disco cerrado, con w _n = H _f ( z _n ) que tiende a un límite w ≠ H _f ( z ). Pero entonces Φ( z _n , w _n ) = 0 por lo que tiene límite cero, una contradicción, ya que w ≠ H _f ( z ).

• Suavidad y jacobiano no nulo en disco abierto. H _f es suave y no tiene jacobiano nulo en | z | < 1. De hecho, debido a la compatibilidad con las transformaciones de Möbius, basta con comprobar que H _f es suave cerca de 0 y tiene derivada no nula en 0.

Si f tiene serie de Fourier

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{m}a_{m}e^{im\theta },}$

entonces las derivadas de F _f en 0 están dadas por

${\displaystyle \partial _{z}F_{f}(0)=a_{1},\qquad \partial _{\overline {z}}F_{f}(0)=a_{-1}.}$

Por lo tanto, el jacobiano de F _f en 0 está dado por

${\displaystyle |\partial _{z}F_{f}(0)|^{2}-|\partial _{\overline {z}}F_{f}(0)|^{2}=|a_{1}|^{2}-|a_{-1}|^{2}.}$

Dado que F _f es un difeomorfismo que preserva la orientación, su jacobiano es positivo:

${\displaystyle |a_{1}|^{2}-|a_{-1}|^{2}>0.}$

La función Φ( z , w ) es analítica y, por lo tanto, suave. Sus derivadas en (0,0) están dadas por

${\displaystyle \Phi _{z}(0,0)=a_{-1},\quad \Phi _{\overline {z}}(0,0)=a_{1},\quad \Phi _{w}(0,0)=-1,\quad \Phi _{\overline {w}}(0,0)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\theta })^{2}\,d\theta =b.}$

El cálculo directo muestra que

${\displaystyle |\Phi _{w}(0,0)|^{2}-|\Phi _{\overline {w}}(0,0)|^{2}=1-\left|{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\theta })^{2}\,d\theta \right|^{2}\geq 0.}$

por la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Si el lado derecho se anulara, entonces se produciría igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que obligaría a

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\zeta {\overline {f(e^{i\theta })}}}$

para algún ζ en T y para todo θ, una contradicción ya que f asume todos los valores en T. Por lo tanto, el lado izquierdo es estrictamente positivo y | b | < 1.

En consecuencia, se puede aplicar el teorema de la función implícita , que implica que H _f ( z ) es suave cerca de o. Su jacobiano se puede calcular mediante diferenciación implícita:

${\displaystyle |\partial _{z}H_{f}(0)|^{2}-|\partial _{\overline {z}}H_{f}(0)|^{2}={|\Phi _{z}(0,0)|^{2}-|\Phi _{\overline {z}}(0,0)|^{2} \over |\Phi _{w}(0,0)|^{2}-|\Phi _{\overline {w}}(0,0)|^{2}}>0.}$

Además

${\displaystyle {\partial _{\overline {z}}H_{f}(0) \over \partial _{z}H_{f}(0)}=g_{b}\left(-{a_{-1} \over {\overline {a}}_{1}}\right).}$

• Homeomorfismo en disco cerrado y difeomorfismo en disco abierto. Basta con mostrar que H _f es un homeomorfismo. Por continuidad su imagen es compacta, por lo tanto cerrada. La no desaparición del jacobiano implica que H _f es una aplicación abierta en el disco unidad, por lo que la imagen del disco abierto es abierta. Por lo tanto, la imagen del disco cerrado es un subconjunto abierto y cerrado del disco cerrado. Por conectividad, debe ser el disco entero. Para | w | < 1, la imagen inversa de w es cerrada, por lo tanto compacta, y está completamente contenida en el disco abierto. Como H _f es localmente un homeomorfismo, debe ser un conjunto finito. El conjunto de puntos w en el disco abierto con exactamente n preimágenes es abierto. Por conectividad, cada punto tiene el mismo número N de preimágenes. Dado que el disco abierto está simplemente conexo , N = 1. (De hecho, tomando cualquier preimagen del origen, cada línea radial tiene una elevación única a una preimagen, y por lo tanto hay un subconjunto abierto del disco unidad que se mapea homeomórficamente sobre el disco abierto. Si N > 1, su complemento también tendría que ser abierto, contradiciendo la conectividad).

Extensión de homeomorfismos cuasi-Möbius

En esta sección se establece que la extensión de un homeomorfismo cuasisimétrico es cuasiconformal . Se hace un uso fundamental de la noción de homeomorfismo cuasimebriano .

Un homeomorfismo f del círculo es cuasisimétrico si existen constantes a , b > 0 tales que

${\displaystyle {|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}.}$

Es cuasi-Möbius si hay constantes c , d > 0 tales que

${\displaystyle |(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}$

dónde

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}$

denota la relación cruzada .

Si f es cuasisimétrica entonces también es cuasi-Möbius, con c = a ² y d = b : esto se deduce de la multiplicación de la primera desigualdad por ( z ₁ , z ₃ , z ₄ ) y ( z ₂ , z ₄ , z ₃ ).

Es inmediato que los homeomorfismos cuasi-Möbius se cierran bajo las operaciones de inversión y composición.

La dilatación compleja μ de un difeomorfismo F del disco unitario se define por

${\displaystyle \mu _{F}(z)={\partial _{\overline {z}}F(z) \over \partial _{z}F(z)}.}$

Si F y G son difeomorfismos del disco, entonces

${\displaystyle \mu _{G\circ F^{-1}}\circ F={F_{z} \over {\overline {F}}_{z}}{\mu _{G}-\mu _{F} \over 1-{\overline {\mu }}_{F}\mu _{G}}.}$

En particular, si G es holomorfo, entonces

${\displaystyle \mu _{F\circ G^{-1}}\circ G={G_{z} \over {\overline {G}}_{z}}\mu _{F},\,\,\,\mu _{G^{-1}\circ F}=\mu _{F}.}$

Cuando F = H _f ,

${\displaystyle \mu _{F}(0)=g_{b}\left(-{a_{-1} \over {\overline {a}}_{1}}\right),}$

dónde

${\displaystyle a_{\pm 1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\theta })e^{\mp i\theta }\,d\theta ,\qquad b={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}$

Probar que F = H _f es cuasiconforme equivale a demostrar que

${\displaystyle \|\mu _{F}\|_{\infty }<1.}$

Puesto que f es un homeomorfismo cuasi-Möbius, las composiciones g ₁ ∘ f ∘ g ₂ con transformaciones de Möbius g _i satisfacen exactamente las mismas estimaciones, puesto que las transformaciones de Möbius preservan la razón cruzada. Por lo tanto, para demostrar que H _f es cuasiconforme, basta con demostrar que si f es cualquier homeomorfismo cuasi-Möbius que fija 1, i y − i , con c y d fijos , entonces las cantidades

${\displaystyle \Lambda (f)=\left|g_{b}\left(-{a_{-1} \over {\overline {a}}_{1}}\right)\right|}$

tener un límite superior estrictamente menor que uno.

Por otra parte, si f es cuasi-Möbius y fija 1, i y − i , entonces f satisface una condición de continuidad de Hölder :

${\displaystyle |f(z)-f(w)|\leq C|z-w|^{d},}$

para otra constante positiva C independiente de f . Lo mismo es cierto para los f ⁻¹ 's. Pero entonces el teorema de Arzelà–Ascoli implica que estos homeomorfismos forman un subconjunto compacto en C( T ). El funcional no lineal Λ es continuo en este subconjunto y por lo tanto alcanza su límite superior en algún f ₀ . Por otro lado, Λ( f ₀ ) < 1, por lo que el límite superior es estrictamente menor que 1.

La estimación uniforme de Hölder para f se establece en Väisälä (1984) de la siguiente manera. Tome z , w en T .

• Si | z − 1| ≤ 1/4 y | z − w | ≤ 1/8, entonces | z ± i | ≥ 1/4 y | w ± i | ≥ 1/8. Pero entonces

${\displaystyle |(w,i;z,-i)|\leq 16|z-w|,\,\,\,|(f(w),i;f(z),-i)|\geq |f(z)-f(w)|/8,}$

De modo que existe una estimación de Hölder correspondiente.

• Si | z − w | ≥ 1/8, la estimación de Hölder es trivial ya que | f ( z ) − f ( w )| ≤ 2.
• Si | z − 1| ≥ 1/4, entonces | w − ζ | ≥ 1/4 para ζ = i o − i . Pero entonces

${\displaystyle |(z,\zeta ;w,1)|\leq 8|z-w|,\qquad |(f(z),\zeta ;f(w),1)|\geq |f(z)-f(w)|/8,}$

De modo que existe una estimación de Hölder correspondiente.

Comentario. De hecho, todo homeomorfismo cuasi-Möbius f es también cuasi-simétrico. Esto se deduce utilizando la extensión de Douady-Earle, ya que todo homeomorfismo cuasi-conforme del disco unitario induce un homeomorfismo cuasi-simétrico del círculo unitario. Esto también se puede demostrar directamente, siguiendo a Väisälä (1984)

De hecho, es inmediato que si f es cuasi-Möbius, también lo es su inversa. Entonces se sigue que f (y, por lo tanto, f ^–1 ) es continua de Hölder . Para ver esto, sea S el conjunto de raíces cúbicas de la unidad, de modo que si a ≠ b en S , entonces | a − b | = 2 sen π /3 = √ 3 . Para probar una estimación de Hölder, se puede suponer que x – y es uniformemente pequeño. Entonces, tanto x como y son mayores que una distancia fija de a , b en S con a ≠ b , por lo que la estimación se deduce aplicando la desigualdad cuasi-Möbius a x , a , y , b . Para verificar que f es cuasisimétrica, basta con encontrar una cota superior uniforme para | f ( x ) − f ( y )| / | f ( x ) − f ( z )| en el caso de una tripleta con | x − z | = | x − y |, uniformemente pequeña. En este caso hay un punto w a una distancia mayor que 1 de x , y y z . Aplicando la desigualdad cuasi-Möbius a x , w , y y z se obtiene el límite superior requerido.

Referencias

• Douady, Adrien ; Earle, Clifford J. (1986), "Extensión natural conforme de homeomorfismos del círculo", Acta Math. , 157 : 23–48, doi : 10.1007/bf02392590
• Hubbard, John Hamal (2006), Teoría de Teichmüller y aplicaciones a la geometría, la topología y la dinámica. Vol. 1. Teoría de Teichmüller , Matrix Editions, ISBN 978-0-9715766-2-9
• Kapovich, Michael (2001), Variedades hiperbólicas y grupos discretos , Progress in Mathematics, vol. 183, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3904-7
• Lecko, A.; Partyka, D. (1988), "Una prueba alternativa de un resultado debido a Douady y Earle" (PDF) , Ann. Univ. Mariae Curie-Skłodowska Sect. A , 42 : 59–68
• Partyka, Dariusz (1997), "El operador generalizado de Neumann-Poincaré y su espectro" (PDF) , Dissertationes Math. , 366
• Partyka, Dariusz; Sakan, Ken-Ichi; Zając, Józef (1999), "Los operadores de extensión armónicos y cuasiconformes" (PDF) , Banach Center Publ. , 48 : 141–177, doi : 10.4064/-48-1-141-177
• Sakan, Ken-ichi; Zając, Józef (1996), "La extensión de cuasihomografías de Douady-Earle" (PDF) , Banach Center Publ. , 37 : 35–44, doi : 10.4064/-37-1-35-44
• Väisälä, Jussi (1984), "Mapas Quasi-Möbius", Journal d'Analyse Mathématique , 44 : 218–234, doi :10.1007/bf02790198, S2CID  189767039