Teorema de Radó-Kneser-Choquet

Las integrales de Poisson de homeomorfismos son difeomorfismos

En matemáticas , el teorema de Radó-Kneser-Choquet , llamado así por Tibor Radó , Hellmuth Kneser y Gustave Choquet , establece que la integral de Poisson de un homeomorfismo del círculo unitario es un difeomorfismo armónico del disco unitario abierto . El resultado fue planteado como un problema por Radó y resuelto poco después por Kneser en 1926. Choquet, sin conocer el trabajo de Radó y Kneser, redescubrió el resultado con una prueba diferente en 1945. Choquet también generalizó el resultado a la integral de Poisson de un homeomorfismo del círculo unitario a una curva de Jordan simple que delimita una región convexa.

Declaración

Sea f un homeomorfismo que preserva la orientación del círculo unitario | z | = 1 en C y defina la integral de Poisson de f por

${\displaystyle \displaystyle {F_{f}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi )\cdot {1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\varphi ,}}$

para r < 1. Las propiedades estándar de la integral de Poisson muestran que F _f es una función armónica en | z | < 1 que se extiende por continuidad a f en | z | = 1. Con el supuesto adicional de que f es un homeomorfismo que preserva la orientación de este círculo, F _f es un difeomorfismo que preserva la orientación del disco unitario abierto.

Prueba

Para demostrar que F _f es localmente un difeomorfismo que preserva la orientación, basta con demostrar que el jacobiano en un punto a del disco unitario es positivo. Este jacobiano está dado por

${\displaystyle \displaystyle {J_{f}(a)=|\partial _{z}F_{f}(a)|^{2}-|\partial _{\overline {z}}F_{f}(a)|^{2}.}}$

Por otra parte, que g es una transformación de Möbius que preserva el círculo unitario y el disco unitario,

${\displaystyle \displaystyle {F_{f\circ g}=F_{f}\circ g.}}$

Tomando g de modo que g ( a ) = 0 y tomando el cambio de variable ζ = g ( z ), la regla de la cadena da

${\displaystyle \displaystyle {(F_{f}\circ g)_{z}=[(F_{f})_{\zeta }\circ g]\cdot g_{z},\,\,(F_{f}\circ g)_{\overline {z}}=[(F_{f})_{\overline {\zeta }}\circ g]\cdot {\overline {g_{z}}}.}}$

Resulta que

${\displaystyle \displaystyle {J_{f\circ g}(a)=J_{f}(0)\cdot |g_{z}(a)|^{2}.}}$

Por lo tanto, es suficiente demostrar la positividad del jacobiano cuando a = 0. En ese caso

${\displaystyle \displaystyle {J_{f}(0)=|a_{1}|^{2}-|a_{-1}|^{2},}}$

donde a _n son los coeficientes de Fourier de f :

${\displaystyle \displaystyle {a_{n}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\theta })e^{-in\theta }\,d\theta .}}$

Siguiendo a Douady y Earle (1986), el jacobiano en 0 se puede expresar como una integral doble

${\displaystyle \displaystyle {|a_{1}|^{2}-|a_{-1}|^{2}={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\Re [f(e^{i\theta }){\overline {f(e^{i\varphi })}}(e^{i(\theta -\varphi )}-e^{-i(\theta -\varphi )})]\,d\theta \,d\varphi .}}$

Escribiendo

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},}}$

donde h es una función continua estrictamente creciente que satisface

${\displaystyle \displaystyle {h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi },}$

La integral doble se puede reescribir como

${\displaystyle \displaystyle {|a_{1}|^{2}-|a_{-1}|^{2}={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin(\theta -\varphi )\sin(h(\theta )-h(\varphi ))\,d\theta \,d\varphi ={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin(\theta )\sin(h(\theta +\varphi )-h(\varphi ))\,d\theta \,d\varphi .}}$

Por eso

${\displaystyle \displaystyle {|a_{1}|^{2}-|a_{-1}|^{2}={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \int _{0}^{\pi }R(\theta ,\varphi )\,d\varphi \,d\theta ,}}$

dónde

${\displaystyle R(\theta ,\varphi )=\sin(h(\varphi +\theta )-h(\varphi ))+\sin(h(\varphi +2\pi )-h(\varphi +\theta +\pi ))+\sin(h(\varphi +\theta +\pi )-h(\varphi +\pi ))+\sin(h(\varphi +\pi )-h(\varphi +\theta )).}$

Esta fórmula da R como la suma de los senos de cuatro ángulos no negativos con suma 2π, por lo que siempre es no negativo. ^[1] Pero entonces el jacobiano en 0 es estrictamente positivo y F _f es por lo tanto localmente un difeomorfismo.

Queda por deducir que F _f es un homeomorfismo. Por continuidad su imagen es compacta, por lo tanto cerrada. La no desaparición del jacobiano implica que F _f es una aplicación abierta en el disco unidad, por lo que la imagen del disco abierto es abierta. Por lo tanto, la imagen del disco cerrado es un subconjunto abierto y cerrado del disco cerrado. Por conectividad, debe ser el disco completo. Para | w | < 1, la imagen inversa de w es cerrada, por lo tanto compacta, y está completamente contenida en el disco abierto. Como F _f es localmente un homeomorfismo, debe ser un conjunto finito. El conjunto de puntos w en el disco abierto con exactamente n preimágenes es abierto. Por conectividad, cada punto tiene el mismo número N de preimágenes. Como el disco abierto es simplemente conexo , N = 1. De hecho, tomando cualquier preimagen del origen, cada línea radial tiene una elevación única a una preimagen, y por lo tanto hay un subconjunto abierto del disco unidad que se aplica homeomórficamente al disco abierto. Si N > 1, su complemento también tendría que ser abierto, contradiciendo la conectividad.

Notas

1. Este hecho elemental se cumple de manera más general para cualquier número de ángulos no negativos con suma 2π. Si todos los ángulos son menores o iguales a π, todos los senos son no negativos. Si uno es mayor que π, el resultado indica que el seno de la suma de los otros ángulos es menor que el seno de su suma. Esto se deduce por inducción del resultado para dos ángulos, que es en sí mismo una consecuencia directa de la fórmula trigonométrica para el seno de la suma.

Referencias

• Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41" (PDF) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 35 : 123-124
• Choquet, Gustave (1945), "Sur un type de transformion analytique généralisant la représentation conforme et définie au moyen de fonctions harmoniques", Bull. Ciencia. Matemáticas. , 69 : 156-165
• Douady, Adrien ; Earle, Clifford J. (1986), "Extensión natural conforme de homeomorfismos del círculo", Acta Math. , 157 : 23–48, doi : 10.1007/bf02392590
• Duren, Peter (2004), Aplicaciones armónicas en el plano , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• Sheil-Small, T. (1985), Sobre la serie de Fourier de una curva convexa descrita finitamente y una conjetura de HS Shapiro , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 98, págs. 513–527