stringtranslate.com

Mapeo cuasiconformal

En el análisis matemático complejo , una aplicación cuasiconforme , introducida por Grötzsch (1928) y nombrada por Ahlfors (1935), es un homeomorfismo (débilmente diferenciable) entre dominios planos que en primer orden lleva desde círculos pequeños hasta elipses pequeñas de excentricidad acotada .

Intuitivamente, sea f  : D  →  D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconformal si la derivada de f en cada punto convierte círculos en elipses con excentricidad acotada por K.

Definición

Supóngase f  : D  →  D ′ donde D y D ′ son dos dominios en C . Hay una variedad de definiciones equivalentes, dependiendo de la suavidad requerida de f . Si se supone que f tiene derivadas parciales continuas , entonces f es cuasiconforme siempre que satisfaga la ecuación de Beltrami

para algún valor complejo de Lebesgue medible μ que satisfaga (Bers 1977). Esta ecuación admite una interpretación geométrica. Equipar D con el tensor métrico

donde Ω( z ) > 0. Entonces f satisface ( 1 ) precisamente cuando es una transformación conforme de D equipado con esta métrica al dominio D ′ equipado con la métrica euclidiana estándar. La función f se llama entonces μ-conforme . De manera más general, la diferenciabilidad continua de f puede reemplazarse por la condición más débil de que f esté en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) de funciones cuyas derivadas distribucionales de primer orden están en L 2 ( D ) . En este caso, se requiere que f sea una solución débil de ( 1 ). Cuando μ es cero en casi todas partes, cualquier homeomorfismo en W 1,2 ( D ) que sea una solución débil de ( 1 ) es conforme.

Sin recurrir a una métrica auxiliar, consideremos el efecto del retroceso bajo f de la métrica euclidiana habitual. La métrica resultante viene dada por

que, en relación con la métrica euclidiana de fondo , tiene valores propios

Los valores propios representan, respectivamente, la longitud al cuadrado del eje mayor y menor de la elipse obtenida al tirar hacia atrás a lo largo del círculo unitario en el plano tangente.

En consecuencia, la dilatación de f en un punto z se define por

El supremo (esencial) de K ( z ) está dado por

y se llama dilatación de  f .

Una definición basada en la noción de longitud extremal es la siguiente: si existe una K finita tal que para cada conjunto Γ de curvas en D la longitud extremal de Γ es como máximo K veces la longitud extremal de { f  o γ : γ ∈  Γ }, entonces f es K -cuasiconformal.

Si f es K -cuasiconformal para algún K finito , entonces f es cuasiconformal.

Propiedades

Si K > 1 entonces las funciones x + iyKx + iy y x + iyx + iKy son ambas cuasiconformales y tienen dilatación constante K.

Si s > −1, entonces la función es cuasiconformal (aquí z es un número complejo ) y tiene dilatación constante . Cuando s ≠ 0, este es un ejemplo de un homeomorfismo cuasiconformal que no es suave. Si s = 0, este es simplemente el mapa identidad.

Un homeomorfismo es 1-cuasiconformal si y solo si es conforme. Por lo tanto, la función identidad es siempre 1-cuasiconformal. Si f  : DD ′ es K -cuasiconformal y g  : D ′ → D ′′ es K ′-cuasiconformal, entonces g  o  f es KK ′-cuasiconformal. La inversa de un homeomorfismo K -cuasiconformal es K -cuasiconformal. El conjunto de funciones 1-cuasiconformales forma un grupo bajo composición.

El espacio de aplicaciones K-cuasiconformales desde el plano complejo a sí mismo, que asigna tres puntos distintos a tres puntos dados, es compacto.

Teorema de mapeo de Riemann medible

De importancia central en la teoría de aplicaciones cuasiconformales en dos dimensiones es el teorema de aplicación medible de Riemann , demostrado por Lars Ahlfors y Lipman Bers. El teorema generaliza el teorema de aplicación de Riemann de homeomorfismos conformes a cuasiconformales, y se enuncia de la siguiente manera. Supóngase que D es un dominio simplemente conexo en C que no es igual a C , y supóngase que μ : DC es medible según Lebesgue y satisface . Entonces hay un homeomorfismo cuasiconforme f de D al disco unidad que está en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) y satisface la ecuación de Beltrami correspondiente ( 1 ) en el sentido distribucional . Al igual que con el teorema de aplicación de Riemann, esta f es única hasta 3 parámetros reales.

Geometría cuasi-conforme computacional

Recientemente, la geometría cuasiconforme ha atraído la atención de diferentes campos, como las matemáticas aplicadas, la visión por computadora y las imágenes médicas. Se ha desarrollado la geometría cuasiconforme computacional, que extiende la teoría cuasiconforme a un entorno discreto. Ha encontrado varias aplicaciones importantes en el análisis de imágenes médicas, la visión por computadora y los gráficos.

Véase también

Referencias