Este es un glosario de algunos términos utilizados en la geometría de Riemann y la geometría métrica ; no cubre la terminología de la topología diferencial .
Los siguientes artículos también pueden ser útiles; contienen vocabulario especializado o proporcionan exposiciones más detalladas de las definiciones que se dan a continuación.
Ver también:
A menos que se indique lo contrario, las letras X , Y , Z a continuación denotan espacios métricos, M , N denotan variedades de Riemann, | xy | o denota la distancia entre los puntos x e y en X. La palabra en cursiva denota una autorreferencia a este glosario.
Una advertencia : muchos términos de la geometría riemanniana y métrica, como función convexa , conjunto convexo y otros, no tienen exactamente el mismo significado que en el uso matemático general.
Espacio de Alexandrov: una generalización de las variedades de Riemann con límites de curvatura superior, inferior o integral (este último funciona solo en dimensión 2)
La isometría de arco es la misma que la isometría de trayectoria .
Autoparalelo es lo mismo que totalmente geodésico
Baricentro , ver centro de masa .
Mapa bi-Lipschitz. Un mapa se llama bi-Lipschitz si hay constantes positivas c y C tales que para cualquier x e y en X
Función de Busemann dado un rayo , γ : [0, ∞)→ X , la función de Busemann se define por
El teorema de Cartan-Hadamard es la afirmación de que una variedad riemanniana completa, conexa y simplemente conexa, con curvatura seccional no positiva es difeomorfa a R n a través de la función exponencial; para espacios métricos, la afirmación de que un espacio métrico geodésico completo, conexo y simplemente conexo, con curvatura no positiva en el sentido de Alexandrov es un espacio CAT(0) (globalmente) .
Cartan extendió la relatividad general de Einsteina la teoría de Einstein-Cartan , utilizando la geometría de Riemann-Cartan en lugar de la geometría de Riemann. Esta extensión proporciona torsión afín , que permite tensores de curvatura no simétricos y la incorporación del acoplamiento espín-órbita .
Centro de masas . Un punto q ∈ M se denomina centro de masas de los puntos si es un punto de mínimo global de la función
Un punto así es único si todas las distancias son menores que el radio de convexidad .
Un mapa conforme es un mapa que conserva los ángulos.
Conformemente plana: una variedad M es conformemente plana si es localmente conformemente equivalente a un espacio euclidiano, por ejemplo, la esfera estándar es conformemente plana.
Los puntos conjugados de dos puntos p y q sobre una geodésicase denominan conjugados si existe un campo de Jacobi enel que hay un cero en p y q .
Función convexa . Una función f en una variedad de Riemann es convexa si para cualquier geodésicala funciónes convexa . Una función f se llama-convexa si para cualquier geodésicacon parámetro natural, la funciónes convexa .
Convexo Un subconjunto K de una variedad de Riemann M se llama convexo si para dos puntos cualesquiera en K existe un camino más corto que los conecta y que se encuentra enteramente en K , véase también totalmente convexo .
El diámetro de un espacio métrico es el supremo de las distancias entre pares de puntos.
La superficie desarrollable es una superficie isométrica al plano.
La dilatación de una función entre espacios métricos es el ínfimo de números L tales que la función dada es L - Lipschitz .
Mapa exponencial : Mapa exponencial (teoría de Lie) , Mapa exponencial (geometría de Riemann)
La primera forma fundamental de una incrustación o inmersión es el retroceso del tensor métrico .
La geodésica es una curva que minimiza localmente la distancia .
El flujo geodésico es un flujo en un fibrado tangente TM de una variedad M , generado por un campo vectorial cuyas trayectorias son de la formadondees una geodésica .
Convergencia de Gromov-Hausdorff
El espacio métrico geodésico es un espacio métrico donde dos puntos cualesquiera son los puntos finales de una geodésica minimizada .
El espacio de Hadamard es un espacio completo simplemente conexo con curvatura no positiva.
Horósfera: un conjunto de niveles de la función de Busemann .
Radio de inyectividad El radio de inyectividad en un punto p de una variedad de Riemann es el radio más grande para el cual la función exponencial en p es un difeomorfismo . El radio de inyectividad de una variedad de Riemann es el ínfimo de los radios de inyectividad en todos los puntos. Véase también lugar geométrico de corte .
Para variedades completas, si el radio de inyectividad en p es un número finito r , entonces existe una geodésica de longitud 2 r que comienza y termina en p o existe un punto q conjugado a p (ver punto conjugado arriba) y en la distancia r desde p . Para una variedad riemanniana cerrada , el radio de inyectividad es la mitad de la longitud mínima de una geodésica cerrada o la distancia mínima entre puntos conjugados en una geodésica.
Infranilvariedad Dado un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo N que actúa sobre sí mismo por multiplicación izquierda y un grupo finito de automorfismos F de N se puede definir una acción del producto semidirecto sobre N . Un espacio de órbitas de N por un subgrupo discreto de que actúa libremente sobre N se llama infranilvariedad . Una infranilvariedad está cubierta finitamente por una nilvariedad .
La isometría es un mapa que conserva las distancias.
Campo de Jacobi Un campo de Jacobi es un campo vectorial sobre una geodésica γ que se puede obtener de la siguiente manera: Tómese una familia de geodésicas de un parámetro suavecon, entonces el campo de Jacobi se describe mediante
La métrica de longitud es la misma que la métrica intrínseca .
La conexión de Levi-Civita es una forma natural de diferenciar campos vectoriales en variedades de Riemann.
Convergencia de Lipschitz: la convergencia definida por la métrica de Lipschitz.
La distancia de Lipschitz entre espacios métricos es el ínfimo de los números r tales que existe una función bi-Lipschitz biyectiva entre estos espacios con constantes exp(- r ), exp( r ).
El mapa logarítmico es un inverso correcto del mapa exponencial.
Bola métrica
La superficie mínima es una subvariedad con (vector de) curvatura media cero.
La parametrización natural es la parametrización por longitud.
Red . Un subconjunto S de un espacio métrico X se denomina -red si para cualquier punto de X hay un punto de S en la distancia . Esto es distinto de las redes topológicas que generalizan límites.
Variedad nula : Elemento del conjunto mínimo de variedades que incluye un punto y tiene la siguiente propiedad: cualquierfibrado orientado sobre una variedad nula es una variedad nula. También puede definirse como un factor de un grupo de Lie nilpotente conexo por un retículo .
Fibrado normal : asociado a una incrustación de una variedad M en un espacio euclidiano ambiente, el fibrado normal es un fibrado vectorial cuya fibra en cada punto p es el complemento ortogonal (en) del espacio tangente.
Mapa no expandible igual que mapa corto
Espacio poliédrico complejo simplicial con unamétrica tal que cada símplex con métrica inducida es isométrico a un símplex en el espacio euclidiano .
La curvatura principal es la curvatura normal máxima y mínima en un punto de una superficie.
La dirección principal es la dirección de las curvaturas principales.
El espacio métrico propio es un espacio métrico en el que cada bola cerrada es compacta . De manera equivalente, si cada subconjunto cerrado y acotado es compacto. Todo espacio métrico propio es completo .
Cuasigeodésica tiene dos significados; aquí damos el más común. Una función (donde es un subsegmento) se llama cuasigeodésica si hay constantes y tales que para cada
Tenga en cuenta que una cuasigeodésica no es necesariamente una curva continua.
Cuasi-isometría . Una funciónse denomina cuasi-isometría si existen constantesytales que
y cada punto en Y tiene distancia como máximo C desde algún punto de f ( X ). Nótese que no se supone que una cuasi-isometría sea continua. Por ejemplo, cualquier función entre espacios métricos compactos es una cuasi-isometría. Si existe una cuasi-isometría de X a Y, entonces se dice que X e Y son cuasi-isométricas .
El radio del espacio métrico es el ínfimo de los radios de las bolas métricas que contienen el espacio por completo.
El radio de convexidad en un punto p de una variedad de Riemann es el radio más grande de una bola que es un subconjunto convexo .
Ray es una geodésica infinita de un lado que se minimiza en cada intervalo.
Tensor de curvatura de Riemann
La inmersión riemanniana es una función entre variedades riemannianas que es inmersión y submetría al mismo tiempo.
La segunda forma fundamental es una forma cuadrática en el espacio tangente de la hipersuperficie, usualmente denotada por II, una forma equivalente de describir el operador de forma de una hipersuperficie,
También se puede generalizar a una codimensión arbitraria, en cuyo caso es una forma cuadrática con valores en el espacio normal.
El operador de forma para una hipersuperficie M es un operador lineal en espacios tangentes, S p : T p M → T p M . Si n es un campo normal unitario a M y v es un vector tangente, entonces
(no existe un acuerdo estándar sobre si utilizar + o − en la definición).
El mapa corto es un mapa que no aumenta la distancia.
La variedad Sol es un factor de un grupo de Lie resoluble conexopor una red .
Submetría una aplicación corta f entre espacios métricos se llama submetría si existe R > 0 tal que para cualquier punto x y radio r < R tenemos que la imagen de la métrica r -bola es una r -bola, es decir
Sístole . La k -sístole de M ,, es el volumen mínimo del k -ciclo no homólogo a cero.
Totalmente convexo. Un subconjunto K de una variedad riemanniana M se denomina totalmente convexo si para dos puntos cualesquiera de K cualquier geodésica que los conecte se encuentra enteramente en K , véase también convexo .
Una subvariedad totalmente geodésica es una subvariedad tal que todas las geodésicas en la subvariedad son también geodésicas de la variedad circundante.
Un espacio métrico geodésico único es un espacio métrico donde dos puntos cualesquiera son los puntos finales de una geodésica minimizadora única .
La métrica de palabra de un grupo es una métrica del gráfico de Cayley construido utilizando un conjunto de generadores.
