En geometría diferencial , los puntos conjugados o puntos focales [1] [2] son, aproximadamente, puntos que casi se pueden unir mediante una familia de geodésicas de 1 parámetro . Por ejemplo, en una esfera , el polo norte y el polo sur están conectados por cualquier meridiano . Otro punto de vista es que los puntos conjugados indican cuándo las geodésicas no minimizan la longitud. Todas las geodésicas minimizan la longitud localmente , pero no globalmente. Por ejemplo, en una esfera, cualquier geodésica que pase por el polo norte se puede extender para alcanzar el polo sur y, por lo tanto, cualquier segmento geodésico que conecte los polos no minimiza la longitud (únicamente) globalmente . Esto nos dice que cualquier par de puntos antípodas en la 2-esfera estándar son puntos conjugados. [3]
Supóngase que p y q son puntos en una variedad pseudo-riemanniana y es una geodésica que conecta p y q . Entonces p y q son puntos conjugados a lo largo de si existe un campo de Jacobi distinto de cero a lo largo de que se anula en p y q .
Recordemos que cualquier cuerpo de Jacobi puede escribirse como la derivada de una variación geodésica (véase el artículo sobre cuerpos de Jacobi ). Por lo tanto, si p y q son conjugados a lo largo de , se puede construir una familia de geodésicas que comienzan en p y casi terminan en q . En particular, si es la familia de geodésicas cuya derivada en s en genera el cuerpo de Jacobi J , entonces el punto final de la variación, es decir , es el punto q solo hasta el primer orden en s . Por lo tanto, si dos puntos son conjugados, no es necesario que existan dos geodésicas distintas que los unan.
En las geometrías de Riemann, más allá de un punto conjugado, la geodésica ya no es localmente el camino más corto entre puntos, ya que hay caminos cercanos que son más cortos. Esto es análogo a la superficie de la Tierra, donde la geodésica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo es la ruta más corta solo hasta el punto antípoda; más allá de eso, hay caminos más cortos.
Más allá de un punto conjugado, una geodésica en geometría lorentziana puede no maximizar el tiempo propio (para geodésicas temporales), y la geodésica puede ingresar en una región donde ya no es única ni está bien definida. Para geodésicas nulas, los puntos más allá del punto conjugado ahora están separados temporalmente.
Hasta el primer punto conjugado, una geodésica entre dos puntos es única. Más allá de esto, pueden existir múltiples geodésicas que conecten dos puntos.
Supongamos que tenemos una variedad lorentziana con una congruencia geodésica . Entonces, en un punto conjugado, el parámetro de expansión θ en la ecuación de Raychaudhuri se vuelve negativo infinito en una cantidad finita de tiempo propio, lo que indica que las geodésicas se están enfocando en un punto. Esto se debe a que el área de la sección transversal de la congruencia se vuelve cero y, por lo tanto, la tasa de cambio de esta área (que es lo que representa θ) diverge negativamente.
