En teoría de grupos , una palabra métrica en un grupo discreto es una forma de medir la distancia entre dos elementos cualesquiera de . Como sugiere el nombre, la palabra métrica es una métrica en , que asigna a dos elementos cualesquiera , una distancia que mide la eficiencia con la que su diferencia puede expresarse como una palabra cuyas letras provienen de un conjunto generador para el grupo. La palabra métrica en G está muy relacionada con el gráfico de Cayley de G : la palabra métrica mide la longitud del camino más corto en el gráfico de Cayley entre dos elementos de G .
Primero se debe elegir un conjunto generador para antes de especificar una métrica de palabras. Diferentes opciones de un conjunto generador normalmente darán como resultado diferentes métricas de palabras. Si bien esto parece ser en un principio una debilidad en el concepto de la métrica de palabras, se puede aprovechar para demostrar teoremas sobre propiedades geométricas de grupos, como se hace en la teoría de grupos geométricos .
El grupo de los números enteros se genera a partir del conjunto {-1,+1}. El número entero -3 se puede expresar como -1-1-1+1-1, una palabra de longitud 5 en estos generadores. Pero la palabra que expresa -3 de forma más eficiente es -1-1-1, una palabra de longitud 3. La distancia entre 0 y -3 en la métrica de la palabra es, por tanto, igual a 3. De forma más general, la distancia entre dos números enteros m y n en la métrica de la palabra es igual a | m - n |, porque la palabra más corta que representa la diferencia m - n tiene una longitud igual a | m - n |.
Para un ejemplo más ilustrativo, los elementos del grupo pueden considerarse como vectores en el plano cartesiano con coeficientes enteros. El grupo se genera mediante los vectores unitarios estándar , y sus inversos , . El gráfico de Cayley de es la llamada geometría del taxi . Puede representarse en el plano como una cuadrícula infinita de calles de la ciudad, donde cada línea horizontal y vertical con coordenadas enteras es una calle, y cada punto de se encuentra en la intersección de una calle horizontal y una vertical. Cada segmento horizontal entre dos vértices representa el vector generador o , dependiendo de si el segmento se recorre en dirección hacia adelante o hacia atrás, y cada segmento vertical representa o . Un automóvil que parte de y viaja por las calles hasta puede hacer el viaje por muchas rutas diferentes. Pero no importa qué ruta tome, el automóvil debe viajar al menos |1 - (-2)| = 3 bloques horizontales y al menos |2 - 4| = 2 bloques verticales, para una distancia total de viaje de al menos 3 + 2 = 5. Si el automóvil se desvía de su ruta, el viaje puede ser más largo, pero la distancia mínima recorrida por el automóvil, igual en valor a la palabra métrica entre y es, por lo tanto, igual a 5.
En general, dados dos elementos y de , la distancia entre y en la palabra métrica es igual a .
Sea G un grupo, sea S un conjunto generador de G , y supongamos que S está cerrado bajo la operación inversa sobre G . Una palabra sobre el conjunto S es simplemente una secuencia finita cuyas entradas son elementos de S . El entero L se llama longitud de la palabra . Utilizando la operación de grupo en G , las entradas de una palabra se pueden multiplicar en orden, recordando que las entradas son elementos de G . El resultado de esta multiplicación es un elemento en el grupo G , que se llama evaluación de la palabra w . Como caso especial, la palabra vacía tiene longitud cero, y su evaluación es el elemento identidad de G .
Dado un elemento g de G , su norma de palabra | g | con respecto al conjunto generador S se define como la longitud más corta de una palabra sobre S cuya evaluación es igual a g . Dados dos elementos g , h en G , la distancia d(g,h) en la métrica de la palabra con respecto a S se define como . De manera equivalente, d( g , h ) es la longitud más corta de una palabra w sobre S tal que .
La palabra métrica en G satisface los axiomas para una métrica y no es difícil demostrarlo. La prueba del axioma de simetría d( g , h ) = d( h , g ) para una métrica utiliza el supuesto de que el conjunto generador S está cerrado bajo inversa.
La palabra métrica tiene una definición equivalente formulada en términos más geométricos utilizando el gráfico de Cayley de G con respecto al conjunto generador S . Cuando a cada arista del gráfico de Cayley se le asigna una métrica de longitud 1, la distancia entre dos elementos del grupo g , h en G es igual a la longitud más corta de un camino en el gráfico de Cayley desde el vértice g al vértice h .
La palabra métrica en G también se puede definir sin asumir que el grupo electrógeno S está cerrado bajo inversa. Para ello, primero se simetriza S , reemplazándolo por un grupo electrógeno más grande que consta de cada uno de S así como de su inversa . Luego se define la palabra métrica con respecto a S como la palabra métrica con respecto a la simetrización de S .
Supongamos que F es el grupo libre en el conjunto de dos elementos . Se dice que una palabra w en el conjunto generador simétrico está reducida si las letras no aparecen una al lado de la otra en w , ni tampoco las letras . Cada elemento está representado por una única palabra reducida, y esta palabra reducida es la palabra más corta que representa g . Por ejemplo, dado que la palabra está reducida y tiene una longitud de 2, la norma de la palabra de es igual a 2, por lo que la distancia en la norma de la palabra entre y es igual a 2. Esto se puede visualizar en términos del gráfico de Cayley, donde el camino más corto entre b y a tiene una longitud de 2.
El grupo G actúa sobre sí mismo por multiplicación izquierda: la acción de cada uno lleva a cada uno a . Esta acción es una isometría de la palabra métrica. La prueba es sencilla: la distancia entre y es igual a , que es igual a la distancia entre y .
En general, la métrica de la palabra en un grupo G no es única, porque diferentes conjuntos generadores simétricos dan diferentes métricas de palabras. Sin embargo, las métricas de palabras generadas finitamente son únicas hasta la equivalencia de Bilipschitz : si , son dos conjuntos generadores finitos simétricos para G con métricas de palabras correspondientes , , entonces hay una constante tal que para cualquier ,
Esta constante K es simplemente el máximo de las normas de palabras de los elementos de y las normas de palabras de los elementos de . Esta prueba también es fácil: cualquier palabra sobre S puede convertirse por sustitución en una palabra sobre T , expandiendo la longitud de la palabra por un factor de como máximo K , y de manera similar para convertir palabras sobre T en palabras sobre S .
La equivalencia bilipschitziana de las métricas de palabras implica a su vez que la tasa de crecimiento de un grupo finitamente generado es un invariante de isomorfismo bien definido del grupo, independientemente de la elección de un conjunto generador finito. Esto implica a su vez que varias propiedades del crecimiento, como el crecimiento polinomial, el grado de crecimiento polinomial y el crecimiento exponencial, son invariantes de isomorfismo de los grupos. Este tema se analiza más a fondo en el artículo sobre la tasa de crecimiento de un grupo.
En la teoría geométrica de grupos , los grupos se estudian por sus acciones en espacios métricos. Un principio que generaliza la invariancia bilipschitz de las métricas de palabras dice que cualquier métrica de palabra generada finitamente en G es cuasi-isométrica a cualquier espacio métrico geodésico propio en el que G actúa , propiamente de manera discontinua y cocompacta . Los espacios métricos en los que G actúa de esta manera se denominan espacios modelo para G.
De ello se deduce a su vez que cualquier propiedad cuasi-isométricamente invariante satisfecha por la métrica verbal de G o por cualquier espacio modelo de G es un invariante de isomorfismo de G. La teoría moderna de grupos geométricos es en gran parte el estudio de invariantes cuasi-isométricos.
