Elemento más largo de un grupo de Coxeter

Elemento único de longitud máxima en un grupo de Coxeter finito

En matemáticas , el elemento más largo de un grupo de Coxeter es el único elemento de longitud máxima en un grupo de Coxeter finito con respecto al conjunto generador elegido que consiste en reflexiones simples. A menudo se denota por w ₀ . Véase (Humphreys 1992, Sección 1.8: Transitividad simple y el elemento más largo, págs. 15-16) y (Davis 2007, Sección 4.6, págs. 51-53).

Propiedades

• Un grupo de Coxeter tiene un elemento más largo si y solo si es finito; "solo si" se debe a que el tamaño del grupo está limitado por el número de palabras de longitud menor o igual al máximo.
• El elemento más largo de un grupo de Coxeter es el único elemento maximal con respecto al orden de Bruhat .
• El elemento más largo es una involución (tiene orden 2: ), por unicidad de longitud máxima (el inverso de un elemento tiene la misma longitud que el elemento). ^[1] ${\displaystyle w_{0}^{-1}=w_{0}}$
• Para cualquier longitud satisface ^[1] ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle \ell (w_{0}w)=\ell (w_{0})-\ell (w).}$
• Una expresión reducida para el elemento más largo no es en general única.
• En una expresión reducida para el elemento más largo, cada reflexión simple debe ocurrir al menos una vez. ^[1]
• Si el grupo de Coxeter es finito, entonces la longitud de w ₀ es el número de raíces positivas . ^[1]
• La celda abierta Bw ₀ B en la descomposición de Bruhat de un grupo algebraico semisimple G es densa en la topología de Zariski ; topológicamente, es la celda de dimensión superior de la descomposición y representa la clase fundamental .
• El elemento más largo es el elemento central –1 excepto para ( ), para n impar, y para p impar, cuando es –1 multiplicado por el automorfismo de orden 2 del diagrama de Coxeter . ^[2] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$

Véase también

• Elemento Coxeter , un elemento diferente y distinguido
• Número de Coxeter
• Función de longitud

Referencias

1. (Humphreys 1992, pág. 16)
2. (Davis 2007, Observación 13.1.8, pág. 259)

• Davis, Michael W. (2007), La geometría y topología de los grupos de Coxeter (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2
• Humphreys, James E. (1992), Grupos de reflexión y grupos de Coxeter , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43613-7