Continuidad de Lipschitz

Forma fuerte de continuidad uniforme

Para una función continua de Lipschitz, existe un cono doble (blanco) cuyo origen se puede mover a lo largo del gráfico de modo que todo el gráfico siempre quede fuera del cono doble.

En análisis matemático , la continuidad de Lipschitz , llamada así por el matemático alemán Rudolf Lipschitz , es una forma fuerte de continuidad uniforme para funciones . Intuitivamente, una función continua de Lipschitz está limitada en la velocidad a la que puede cambiar: existe un número real tal que, para cada par de puntos en el gráfico de esta función, el valor absoluto de la pendiente de la línea que los conecta no es mayor que este número real; el límite más pequeño de este tipo se llama constante de Lipschitz de la función (y está relacionado con el módulo de continuidad uniforme ). Por ejemplo, toda función que esté definida en un intervalo y tenga una primera derivada acotada es continua de Lipschitz. ^[1]

En la teoría de ecuaciones diferenciales , la continuidad de Lipschitz es la condición central del teorema de Picard-Lindelöf , que garantiza la existencia y unicidad de la solución a un problema de valor inicial . Un tipo especial de continuidad de Lipschitz, llamada contracción , se utiliza en el teorema de punto fijo de Banach . ^[2]

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo no trivial cerrado y acotado de la recta real:

Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continua ⊂ - Hölder continua , ${\displaystyle \alpha }$

donde también tenemos ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Lipschitz continuo ⊂ absolutamente continuo ⊂ uniformemente continuo .

Definiciones

Dados dos espacios métricos ( X , d _X ) y ( Y , d _Y ), donde d _X denota la métrica en el conjunto X y d _Y es la métrica en el conjunto Y , una función f  : X → Y se llama Lipschitz continua si existe una constante real K ≥ 0 tal que, para todo x ₁ y x ₂ en X ,

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

Cualquier K de este tipo se denomina constante de Lipschitz para la función f y f también puede denominarse K-Lipschitz . La constante más pequeña a veces se denomina constante de Lipschitz (mejor) ^[4] de f o la dilatación o dilatación ^{[5] : p. 9, Definición 1.4.1  [6] [7]} de f . Si K = 1 la función se denomina función de mapa corto , y si 0 ≤ K < 1 y f mapea un espacio métrico a sí misma, la función se denomina contracción .

En particular, una función de valor real f  : R → R se llama Lipschitz continua si existe una constante real positiva K tal que, para todos los x ₁ y x ₂ reales ,

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

En este caso, Y es el conjunto de números reales R con la métrica estándar d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ |, y X es un subconjunto de R .

En general, la desigualdad se satisface (trivialmente) si x ₁ = x ₂ . De lo contrario, se puede definir de manera equivalente una función como Lipschitz continua si y solo si existe una constante K ≥ 0 tal que, para todo x ₁ ≠ x ₂ ,

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

Para funciones de valores reales de varias variables reales, esto se cumple si y solo si el valor absoluto de las pendientes de todas las líneas secantes está acotado por K. El conjunto de líneas de pendiente K que pasan por un punto en el gráfico de la función forma un cono circular, y una función es Lipschitz si y solo si el gráfico de la función en todas partes se encuentra completamente fuera de este cono (ver figura).

Una función se denomina localmente Lipschitz continua si para cada x en X existe un entorno U de x tal que f restringida a U es Lipschitz continua. De manera equivalente, si X es un espacio métrico localmente compacto , entonces f es localmente Lipschitz si y solo si es Lipschitz continua en cada subconjunto compacto de X. En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria pero no suficiente.

De manera más general, se dice que una función f definida en X es continua de Hölder o que satisface una condición de Hölder de orden α > 0 en X si existe una constante M ≥ 0 tal que

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }}$

para todos los x e y en X . A veces, una condición de Hölder de orden α también se denomina condición de Lipschitz uniforme de orden α > 0.

Para un número real K ≥ 1, si

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

entonces f se llama K -bilipschitz (también escrito K -bi-Lipschitz ). Decimos que f es bilipschitz o bi-Lipschitz para indicar que existe tal K. Una función bilipschitz es inyectiva y, de hecho, es un homeomorfismo sobre su imagen. Una función bilipschitz es lo mismo que una función Lipschitz inyectiva cuya función inversa también es Lipschitz.

Ejemplos

Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes

• La función definida para todos los números reales es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz K  = 1, porque es diferenciable en todas partes y el valor absoluto de la derivada está acotado superiormente por 1. Véase la primera propiedad que aparece a continuación en "Propiedades". ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$
• Del mismo modo, la función seno es Lipschitz continua porque su derivada, la función coseno, está acotada superiormente por 1 en valor absoluto.

Funciones continuas de Lipschitz que no son diferenciables en todas partes

• La función definida en los números reales es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz igual a 1, por la desigualdad del triángulo inverso . De manera más general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a la métrica asociada, con la constante de Lipschitz igual a 1. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes pero no continuamente diferenciables

• La función , cuya derivada existe pero tiene una discontinuidad esencial en . ${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle x=0}$

Funciones continuas que no son (globalmente) Lipschitz continuas

• La función f ( x ) =  √ x definida en [0, 1] no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve infinitamente empinada a medida que x se acerca a 0, ya que su derivada se vuelve infinita. Sin embargo, es uniformemente continua, ^[8] y continua de Hölder de clase C ^{0, α} para α ≤ 1/2 y también absolutamente continua en [0, 1] (ambas implican lo primero).

Funciones diferenciables que no son (localmente) Lipschitz continuas

• La función f definida por f (0) = 0 y f ( x ) =  x ^3/2 sen(1/ x ) para 0< x ≤1 da un ejemplo de una función que es diferenciable en un conjunto compacto pero no localmente Lipschitz porque su función derivada no está acotada. Véase también la primera propiedad a continuación.

Funciones analíticas que no son (globalmente) Lipschitz continuas

• La función exponencial se vuelve arbitrariamente empinada cuando x → ∞ y, por lo tanto, no es globalmente Lipschitz continua, a pesar de ser una función analítica .
• La función f ( x ) =  x ² con dominio de todos los números reales no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve arbitrariamente empinada a medida que x tiende al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz continua.

Propiedades

• Una función diferenciable en todas partes g  :  R  →  R es Lipschitz continua (con K  = sup | g ′( x )|) si y solo si tiene una primera derivada acotada ; una dirección se deduce del teorema del valor medio . En particular, cualquier función continuamente diferenciable es localmente Lipschitz, ya que las funciones continuas están localmente acotadas, por lo que su gradiente también lo está.
• Una función de Lipschitz g  :  R  →  R es absolutamente continua y, por lo tanto, es diferenciable casi en todas partes , es decir, diferenciable en todo punto fuera de un conjunto de medida de Lebesgue cero. Su derivada está esencialmente limitada en magnitud por la constante de Lipschitz, y para a  < b , la diferencia g ( b ) −  g ( a ) es igual a la integral de la derivada g ′ en el intervalo [ a ,  b ].
  • Por el contrario, si f  : I  → R es absolutamente continua y, por lo tanto, diferenciable casi en todas partes, y satisface | f′ ( x )| ≤ K para casi todos los x en I , entonces f es Lipschitz continua con constante de Lipschitz como máximo K .
  • En términos más generales, el teorema de Rademacher extiende el resultado de diferenciabilidad a las aplicaciones de Lipschitz entre espacios euclidianos: una aplicación de Lipschitz f  :  U  →  R ^m , donde U es un conjunto abierto en R ⁿ , es diferenciable casi en todas partes . Además, si K es la mejor constante de Lipschitz de f , entonces siempre que exista la derivada total Df . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$
• Para una función Lipschitz diferenciable, la desigualdad se cumple para la mejor constante Lipschitz de . Si el dominio es convexo, entonces, de hecho , . ^{[ se necesita más explicación ]} ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K}$
• Supóngase que { f _n } es una secuencia de aplicaciones continuas de Lipschitz entre dos espacios métricos, y que todas las f _n tienen una constante de Lipschitz acotada por algún K . Si f _n converge a una aplicación f uniformemente , entonces f también es Lipschitz, con una constante de Lipschitz acotada por el mismo K . En particular, esto implica que el conjunto de funciones de valor real en un espacio métrico compacto con un límite particular para la constante de Lipschitz es un subconjunto cerrado y convexo del espacio de Banach de funciones continuas. Sin embargo, este resultado no se cumple para secuencias en las que las funciones pueden tener constantes de Lipschitz no acotadas . De hecho, el espacio de todas las funciones de Lipschitz en un espacio métrico compacto es una subálgebra del espacio de Banach de funciones continuas, y por lo tanto denso en él, una consecuencia elemental del teorema de Stone-Weierstrass (o como una consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass , porque cada polinomio es localmente Lipschitz continuo).
• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . En términos más generales, un conjunto de funciones con constante Lipschitz acotada forma un conjunto equicontinuo . El teorema de Arzelà-Ascoli implica que si { f _n } es una sucesión uniformemente acotada de funciones con constante Lipschitz acotada, entonces tiene una subsucesión convergente. Por el resultado del párrafo anterior, la función límite también es Lipschitz, con el mismo límite para la constante Lipschitz. En particular, el conjunto de todas las funciones Lipschitz de valor real en un espacio métrico compacto X que tiene constante Lipschitz ≤  K   es un subconjunto convexo localmente compacto del espacio de Banach C ( X ).
• Para una familia de funciones continuas de Lipschitz f _α con constante común, la función (y ) también es continua de Lipschitz, con la misma constante de Lipschitz, siempre que asuma un valor finito al menos en un punto. ${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$
• Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f  : U  → R es una función continua de Lipschitz, siempre existen funciones continuas de Lipschitz M  → R que extienden f y tienen la misma constante de Lipschitz que f (véase también el teorema de Kirszbraun ). Una extensión la proporciona

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

donde k es una constante de Lipschitz para f en U .

Variedades de Lipschitz

Una estructura de Lipschitz sobre una variedad topológica se define utilizando un atlas de cartas cuyas funciones de transición son bilipschitz; esto es posible porque las funciones bilipschitz forman un pseudogrupo . Una estructura de este tipo permite definir localmente funciones de Lipschitz entre dichas variedades, de forma similar a cómo se definen funciones suaves entre variedades suaves : si M y N son variedades de Lipschitz, entonces una función es localmente Lipschitz si y solo si para cada par de cartas de coordenadas y , donde U y V son conjuntos abiertos en los espacios euclidianos correspondientes, la composición es localmente Lipschitz. Esta definición no se basa en la definición de una métrica en M o N . ^[9] ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \phi :U\to M}$ ${\displaystyle \psi :V\to N}$ $${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$

Esta estructura es intermedia entre la de una variedad lineal por partes y una variedad topológica : una estructura PL da lugar a una estructura Lipschitz única. ^[10] Si bien las variedades Lipschitz están estrechamente relacionadas con las variedades topológicas, el teorema de Rademacher permite realizar análisis, lo que produce varias aplicaciones. ^[9]

Lipschitz unilateral

Sea F ( x ) una función semicontinua superior de x , y que F ( x ) es un conjunto cerrado y convexo para todo x . Entonces F es Lipschitz unilateral ^[11] si

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

para algún C y para todos x ₁ y x ₂ .

Es posible que la función F tenga una constante de Lipschitz muy grande pero una constante de Lipschitz unilateral de tamaño moderado o incluso negativo. Por ejemplo, la función

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

tiene una constante de Lipschitz K = 50 y una constante de Lipschitz unilateral C = 0. Un ejemplo que es Lipschitz unilateral pero no Lipschitz continuo es F ( x ) = e ^{− x} , con C = 0.

Véase también

• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Continuidad de Dini
• Módulo de continuidad
• Cuasi-isometría
• Lema de Johnson-Lindenstrauss : para cualquier entero n ≥0, cualquier subconjunto finito X ⊆ R ⁿ y cualquier número real 0<ε<1, existe una función (1+ε)-bi-Lipschitz donde ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$

Referencias

1. Sohrab, HH (2003). Análisis real básico. Vol. 231. Birkhäuser. pág. 142. ISBN 0-8176-4211-0.
2. Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Análisis real elemental. Prentice-Hall. pág. 623. ISBN 978-0-13-019075-8.
3. Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Funciones de Lipschitz", Espacios métricos , Springer undergraduate mathematics series, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84628-369-7
4. Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). Análisis funcional no lineal geométrico . American Mathematical Society. pág. 11. ISBN 0-8218-0835-4.
5. Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). Un curso de geometría métrica . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2129-6.
6. Mahroo, Omar A; Shalchi, Zaid; Hammond, Christopher J (2014). "'Dilatación' y 'dilatación': tendencias en su uso en ambos lados del Atlántico". British Journal of Ophthalmology . 98 (6): 845–846. doi :10.1136/bjophthalmol-2014-304986. PMID  24568871.
7. Gromov, Mikhael (1999). "Teoría de la homotopía cuantitativa". En Rossi, Hugo (ed.). Perspectivas en matemáticas: charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton, 17-21 de marzo de 1996, Princeton University . American Mathematical Society. pág. 46. ISBN 0-8218-0975-X.
8. Robbin, Joel W., Continuidad y continuidad uniforme (PDF)
9. Rosenberg, Jonathan (1988). "Aplicaciones del análisis en variedades de Lipschitz". Miniconferencias sobre análisis armónico y álgebras de operadores (Canberra, 1987) . Canberra: Universidad Nacional Australiana . págs. 269–283. Sr. 954004
10. "Topología de variedades", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
11. Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Estabilidad y aproximación de Euler de inclusiones diferenciales de Lipschitz unilaterales". Revista SIAM sobre control y optimización . 36 (2): 780–796. doi :10.1137/S0363012995293694.