Símbolos de Christoffel

Matriz de números que describen una conexión métrica

En matemáticas y física , los símbolos de Christoffel son una matriz de números que describen una conexión métrica . ^[1] La conexión métrica es una especialización de la conexión afín a superficies u otras variedades dotadas de una métrica , lo que permite medir distancias en esa superficie. En geometría diferencial , una conexión afín se puede definir sin referencia a una métrica, y siguen muchos conceptos adicionales: transporte paralelo , derivadas covariantes , geodésicas , etc. tampoco requieren el concepto de una métrica. ^{[2] [3]} Sin embargo, cuando hay una métrica disponible, estos conceptos se pueden vincular directamente a la "forma" de la propia variedad; esa forma está determinada por cómo el espacio tangente está unido al espacio cotangente por el tensor métrico . ^[4] De manera abstracta, se diría que la variedad tiene un fibrado de marcos asociado ( ortonormal ) , siendo cada " marco " una posible elección de un marco de coordenadas . Una métrica invariante implica que el grupo de estructura del fibrado de marcos es el grupo ortogonal O( p , q ) . Como resultado, dicha variedad es necesariamente una variedad ( pseudo- ) riemanniana . ^{[5] [6]} Los símbolos de Christoffel proporcionan una representación concreta de la conexión de la geometría (pseudo-) riemanniana en términos de coordenadas en la variedad. Conceptos adicionales, como transporte paralelo, geodésicas, etc., pueden expresarse entonces en términos de símbolos de Christoffel.

En general, hay un número infinito de conexiones métricas para un tensor métrico dado ; sin embargo, hay una única conexión que está libre de torsión , la conexión de Levi-Civita . Es común en física y relatividad general trabajar casi exclusivamente con la conexión de Levi-Civita, al trabajar en sistemas de coordenadas (llamados coordenadas holonómicas ) donde la torsión se anula. Por ejemplo, en espacios euclidianos , los símbolos de Christoffel describen cómo las bases de coordenadas locales cambian de un punto a otro.

En cada punto de la variedad n -dimensional subyacente, para cualquier sistema de coordenadas local alrededor de ese punto, los símbolos de Christoffel se denotan Γ ⁱ _jk para i , j , k = 1, 2, ..., n . Cada entrada de esta matriz n × n × n es un número real . Bajo transformaciones de coordenadas lineales en la variedad, los símbolos de Christoffel se transforman como los componentes de un tensor , pero bajo transformaciones de coordenadas generales ( difeomorfismos ) no lo hacen. La mayoría de las propiedades algebraicas de los símbolos de Christoffel se derivan de su relación con la conexión afín; solo unas pocas se derivan del hecho de que el grupo de estructura es el grupo ortogonal O( m , n ) (o el grupo de Lorentz O(3, 1) para la relatividad general).

Los símbolos de Christoffel se utilizan para realizar cálculos prácticos. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se puede expresar completamente en términos de los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales . En la relatividad general , la conexión desempeña el papel del campo de fuerza gravitacional , siendo el potencial gravitacional correspondiente el tensor métrico. Cuando el sistema de coordenadas y el tensor métrico comparten cierta simetría, muchos de los Γ ⁱ _jk son cero .

Los símbolos de Christoffel reciben su nombre de Elwin Bruno Christoffel (1829-1900). ^[7]

Nota

Las definiciones que se dan a continuación son válidas tanto para variedades riemannianas como para variedades pseudoriemannianas , como las de la relatividad general , y se hace una distinción cuidadosa entre índices superiores e inferiores ( índices contravariantes y covariantes ). Las fórmulas son válidas para ambas convenciones de signos , a menos que se indique lo contrario.

En este artículo se utiliza la convención de suma de Einstein , con los vectores indicados en negrita. Los coeficientes de conexión de la conexión de Levi-Civita (o conexión pseudo-riemanniana) expresados ​​en una base de coordenadas se denominan símbolos de Christoffel .

Definiciones preliminares

Dada una variedad , un atlas consta de una colección de gráficos para cada cubierta abierta . Dichos gráficos permiten que la base vectorial estándar en se retraiga a una base vectorial en el espacio tangente de . Esto se hace de la siguiente manera. Dada una función real arbitraria , el gráfico permite definir un gradiente : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{for }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

Este gradiente se denomina comúnmente pullback porque "retrae" el gradiente en a un gradiente en . El pullback es independiente del gráfico . De esta manera, la base del vector estándar en retrocede a una base del vector estándar ("coordenada") en . Esto se denomina "base de coordenadas", porque depende explícitamente de las coordenadas en . A veces se denomina "base local". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Esta definición permite un abuso común de la notación . Los se definieron como en correspondencia uno a uno con los vectores base en . La notación sirve como recordatorio de que los vectores base en el espacio tangente provienen de una construcción de gradiente. A pesar de esto, es común "olvidar" esta construcción y simplemente escribir (o más bien, definir) vectores en tales que . La gama completa de notación de uso común incluye el uso de flechas y negrita para denotar vectores: ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}$

donde se utiliza como recordatorio de que se trata de una notación equivalente para el mismo concepto. La elección de la notación depende del estilo y el gusto, y varía de un texto a otro. ${\displaystyle \equiv }$

La base de coordenadas proporciona una base vectorial para los campos vectoriales en . La notación comúnmente utilizada para los campos vectoriales en incluye ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

La letra mayúscula , sin la flecha vectorial, es particularmente popular para la notación sin índice , porque minimiza el desorden y recuerda que los resultados son independientes de la base elegida y, en este caso, independientes del atlas. ${\displaystyle X}$

El mismo abuso de notación se utiliza para hacer avanzar las formas unitarias de a . Esto se hace escribiendo o o . La forma unitaria es entonces . Esta se suelda a los vectores base como . Nótese el uso cuidadoso de los índices superior e inferior para distinguir los vectores contravariantes y covariantes. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$ ${\displaystyle x=\varphi }$ ${\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}=d\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}$

El pullback induce (define) un tensor métrico en . Se utilizan comúnmente varios estilos de notación: donde tanto el punto central como el corchete angular denotan el producto escalar . La última forma utiliza el tensor , que se entiende como el tensor métrico del "espacio plano". Para las variedades de Riemann , es el delta de Kronecker . Para las variedades pseudo-riemannianas , es la matriz diagonal que tiene signatura . La notación sirve como recordatorio de que el pullback es realmente una transformación lineal, dada como el gradiente, arriba. Las letras índice viven en mientras que las letras índice viven en la variedad tangente. ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}$$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle e_{i}^{a}}$ ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle i,j,k,\cdots }$

La matriz inversa del tensor métrico viene dada por Esto se utiliza para definir la base dual: ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ $${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$$

Algunos textos escriben para , de modo que el tensor métrico adopta la forma particularmente seductora . Esto se hace comúnmente para que el símbolo pueda usarse sin ambigüedades para el vierbein . ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Definición en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano , la definición general que se da a continuación para los símbolos de Christoffel del segundo tipo puede demostrarse que es equivalente a: $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}$$

Los símbolos de Christoffel del primer tipo se pueden encontrar mediante la reducción del índice : $${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$$

Reordenando, vemos que (asumiendo que la derivada parcial pertenece al espacio tangente, lo que no puede ocurrir en un espacio curvo no euclidiano ): $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$$

En palabras, las matrices representadas por los símbolos de Christoffel rastrean cómo cambia la base de un punto a otro. Si la derivada no se encuentra en el espacio tangente, la expresión correcta es la proyección de la derivada sobre el espacio tangente (ver derivada covariante a continuación). Los símbolos del segundo tipo descomponen el cambio con respecto a la base, mientras que los símbolos del primer tipo lo descomponen con respecto a la base dual. De esta forma, es fácil ver la simetría de los dos índices inferiores o últimos: y de la definición de y del hecho de que las derivadas parciales conmutan (siempre que la variedad y el sistema de coordenadas se comporten bien ). $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}$$ ${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Los mismos valores numéricos para los símbolos de Christoffel del segundo tipo también se relacionan con las derivadas de la base dual, como se ve en la expresión: que podemos reorganizar como: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},}$$ $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$$

Definición general

Los símbolos de Christoffel se presentan en dos formas: el primer tipo y el segundo. La definición del segundo tipo es más básica, por lo que se presenta primero.

Símbolos de Christoffel del segundo tipo (definición simétrica)

Los símbolos de Christoffel de segundo tipo son los coeficientes de conexión, en base a coordenadas, de la conexión de Levi-Civita . En otras palabras, los símbolos de Christoffel de segundo tipo ^{[8] [9]} Γ ^k _ij (a veces Γ^yo
_ijo {^yo
_ij} ) ^{[7] [8]} se definen como los coeficientes únicos tales que donde ∇ _i es la conexión de Levi-Civita en M tomada en la dirección de coordenadas e _i (es decir, ∇ _i ≡ ∇ _{e i} ) y donde e _i = ∂ _i es una base de coordenadas local ( holonómica ). Dado que esta conexión tiene torsión cero , y los campos vectoriales holonómicos conmutan (es decir,) tenemos Por lo tanto, en esta base los coeficientes de conexión son simétricos: ^[8] Por esta razón, una conexión sin torsión a menudo se denomina simétrica . $${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$$ ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$ $${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$$ $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$$

Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la desaparición de la derivada covariante del tensor métrico g _ik : $${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$$

Como notación abreviada, el símbolo nabla y los símbolos de derivadas parciales se omiten con frecuencia y, en su lugar, se utilizan un punto y coma y una coma para indicar el índice que se utiliza para la derivada. Por lo tanto, lo anterior a veces se escribe como $${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Utilizando que los símbolos son simétricos en los dos índices inferiores, se pueden resolver explícitamente los símbolos de Christoffel como una función del tensor métrico permutando los índices y resumiendo: ^[10] $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$$

donde ( g ^jk ) es la inversa de la matriz ( g _jk ) , definida como (usando la delta de Kronecker y la notación de Einstein para la suma) g ^ji g _ik = δ  ^j _k . Aunque los símbolos de Christoffel se escriben en la misma notación que los tensores con notación de índice , no se transforman como tensores bajo un cambio de coordenadas.

Contracción de índices

Al contraer el índice superior con cualquiera de los índices inferiores (que son simétricos), se obtiene donde es el determinante del tensor métrico. Esta identidad se puede utilizar para evaluar la divergencia de los vectores. $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$$ ${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

Símbolos de Christoffel del primer tipo

Los símbolos de Christoffel del primer tipo pueden derivarse tanto de los símbolos de Christoffel del segundo tipo como de la métrica, ^[11] $${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$$

o de la métrica sola, ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}}$$

Como notación alternativa también se encuentra ^{[7] [12] [13]}

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$$Vale la pena señalar que [ ab , c ] = [ ba , c ] . ^[10]

Coeficientes de conexión en una base no holonómica

Los símbolos de Christoffel se definen normalmente en una base de coordenadas, que es la convención que se sigue aquí. En otras palabras, el nombre de símbolos de Christoffel se reserva solo para sistemas de coordenadas (es decir, holonómicos ). Sin embargo, los coeficientes de conexión también se pueden definir en una base arbitraria (es decir, no holonómica) de vectores tangentes u _i mediante $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$$

Explícitamente, en términos del tensor métrico, esto es ^[9] $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$$

donde c _klm = g _mp c _kl ^p son los coeficientes de conmutación de la base; es decir, $${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$$

donde u _k son los vectores base y [ , ] es el corchete de Lie . Los vectores unitarios estándar en coordenadas esféricas y cilíndricas proporcionan un ejemplo de una base con coeficientes de conmutación que no se anulan. La diferencia entre la conexión en dicho marco y la conexión de Levi-Civita se conoce como tensor de contorsión .

Coeficientes de rotación de Ricci (definición asimétrica)

Cuando elegimos la base X _i ≡ u _i ortonormal: g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩ entonces g _mk,l ≡ η _mk,l = 0 . Esto implica que y los coeficientes de conexión se vuelven antisimétricos en los dos primeros índices: donde $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$$ $${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$$ $${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$$

En este caso, los coeficientes de conexión ω ^a _bc se denominan coeficientes de rotación de Ricci . ^{[14] [15]}

De manera equivalente, se pueden definir los coeficientes de rotación de Ricci de la siguiente manera: ^[9] donde u _i es una base no holonómica ortonormal y u ^k = η ^kl u _l su co-base . $${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$$

Ley de transformación bajo cambio de variable

Bajo un cambio de variable de a , los símbolos de Christoffel se transforman como ${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$ ${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

$${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$$

donde la línea superior denota los símbolos de Christoffel en el sistema de coordenadas. El símbolo de Christoffel no se transforma como un tensor, sino como un objeto en el fibrado jet . Más precisamente, los símbolos de Christoffel pueden considerarse como funciones en el fibrado jet del fibrado de marco de M , independientemente de cualquier sistema de coordenadas local. La elección de un sistema de coordenadas local determina una sección local de este fibrado, que luego puede usarse para recuperar los símbolos de Christoffel y convertirlos en funciones en M , aunque, por supuesto, estas funciones dependen de la elección del sistema de coordenadas local. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

Para cada punto existen sistemas de coordenadas en los que los símbolos de Christoffel desaparecen en el punto. ^[16] Estas se denominan coordenadas normales (geodésicas) y se utilizan a menudo en la geometría de Riemann .

Hay algunas propiedades interesantes que pueden derivarse directamente de la ley de transformación.

• Para la transformación lineal, la parte no homogénea de la transformación (segundo término del lado derecho) se desvanece de manera idéntica y luego se comporta como un tensor. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• Si tenemos dos campos de conexiones, digamos y , entonces su diferencia es un tensor ya que los términos no homogéneos se cancelan entre sí. Los términos no homogéneos dependen únicamente de cómo se modifican las coordenadas, pero son independientes del símbolo de Christoffel en sí. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• Si el símbolo de Christoffel es asimétrico respecto de sus índices inferiores en un sistema de coordenadas, es decir, , entonces permanecen asimétricos ante cualquier cambio de coordenadas. Un corolario de esta propiedad es que es imposible encontrar un sistema de coordenadas en el que todos los elementos del símbolo de Christoffel sean cero en un punto, a menos que los índices inferiores sean simétricos. Esta propiedad fue señalada por Albert Einstein ^[17] y Erwin Schrödinger ^[18] de forma independiente. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

Relación con el transporte paralelo y derivación de los símbolos de Christoffel en el espacio de Riemann

Si un vector se transporta en paralelo sobre una curva parametrizada por algún parámetro en una variedad de Riemann , la tasa de cambio de los componentes del vector está dada por ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$$

Ahora, con solo usar la condición de que el producto escalar formado por dos vectores arbitrarios y no cambia es suficiente para derivar los símbolos de Christoffel. La condición es que por la regla del producto se expande a ${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$ ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle \eta ^{k}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$$

Aplicando la regla de transporte paralelo para los dos vectores arbitrarios y reetiquetando los índices ficticios y recopilando los coeficientes de (arbitrario), obtenemos ${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$$

Esta es la misma ecuación que se obtiene al exigir que la derivada covariante del tensor métrico se anule en la sección de definición general. La derivación a partir de aquí es simple. Al permutar cíclicamente los índices en la ecuación anterior, podemos obtener dos ecuaciones más y luego combinar linealmente estas tres ecuaciones, que podemos expresar en términos del tensor métrico. ${\displaystyle ikl}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

Relación con la notación sin índice

Sean X e Y campos vectoriales con componentes X ⁱ e Y ^k . Entonces el componente k de la derivada covariante de Y con respecto a X está dado por $${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$$

Aquí se utiliza la notación de Einstein , por lo que los índices repetidos indican la suma de los índices y la contracción con el tensor métrico sirve para aumentar y disminuir los índices: $${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$$

Tenga en cuenta que g _ik ≠ g ^ik y que g ⁱ _k = δ  ⁱ _k , el delta de Kronecker . La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices más bajos; la forma correcta de obtener g ^ik a partir de g _ik es resolver las ecuaciones lineales g ^ij g _jk = δ  ⁱ _k .

La afirmación de que la conexión está libre de torsión , es decir que $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$$

es equivalente a la afirmación de que, en una base de coordenadas, el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores: $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$$

Las propiedades de transformación sin índice de un tensor se dan mediante retrocesos para índices covariantes y empujes hacia delante para índices contravariantes. El artículo sobre derivadas covariantes proporciona un análisis adicional de la correspondencia entre la notación sin índice y la notación indexada.

Derivadas covariantes de tensores

La derivada covariante de un campo vectorial con componentes V ^m es $${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$$

Por corolario, la divergencia de un vector se puede obtener como $${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$$

La derivada covariante de un campo covectorial ω _m es $${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$$

La simetría del símbolo de Christoffel ahora implica para cualquier campo escalar, pero en general las derivadas covariantes de campos tensoriales de orden superior no conmutan (ver tensor de curvatura ). $${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$$

La derivada covariante de un campo tensorial de tipo (2, 0) A ^ik es , es decir, $${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$$ $${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$$

Si el campo tensorial es mixto entonces su derivada covariante es y si el campo tensorial es de tipo (0, 2) entonces su derivada covariante es $${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$$ $${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Derivadas contravariantes de tensores

Para encontrar la derivada contravariante de un campo vectorial, primero debemos transformarlo en una derivada covariante utilizando el tensor métrico. $${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$$

Aplicaciones

En relatividad general

Los símbolos de Christoffel se utilizan con frecuencia en la teoría de la relatividad general de Einstein , donde el espacio-tiempo se representa mediante una variedad de Lorentz de cuatro dimensiones curvada con una conexión de Levi-Civita . Las ecuaciones de campo de Einstein —que determinan la geometría del espacio-tiempo en presencia de materia— contienen el tensor de Ricci , por lo que el cálculo de los símbolos de Christoffel es esencial. Una vez determinada la geometría, se calculan las trayectorias de las partículas y los rayos de luz resolviendo las ecuaciones geodésicas en las que aparecen explícitamente los símbolos de Christoffel.

En mecánica clásica (no relativista)

Sean las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas, entonces la energía cinética para una unidad de masa está dada por , donde es el tensor métrico . Si existe , la función potencial, entonces los componentes contravariantes de la fuerza generalizada por unidad de masa son . La métrica (aquí en un dominio puramente espacial) se puede obtener a partir del elemento de línea . Sustituyendo el lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange , obtenemos ^[19] ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$ ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$ ${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$ ${\displaystyle L=T-V}$

$${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$$

Ahora multiplicando por , obtenemos ${\displaystyle g^{ij}}$ $${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$$

Cuando se pueden adoptar coordenadas cartesianas (como en los marcos de referencia inerciales), tenemos una métrica euclidiana, el símbolo de Christoffel desaparece y la ecuación se reduce a la segunda ley del movimiento de Newton . En coordenadas curvilíneas ^[20] (forzosamente en marcos no inerciales, donde la métrica no es euclidiana ni plana), fuerzas ficticias como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis se originan a partir de los símbolos de Christoffel, es decir, de las coordenadas curvilíneas puramente espaciales.

En coordenadas de la superficie de la Tierra

Dado un sistema de coordenadas esféricas , que describe puntos en la superficie de la Tierra (aproximada como una esfera ideal).

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Para un punto x, R es la distancia al núcleo de la Tierra (normalmente aproximadamente el radio de la Tierra ). θ y φ son la latitud y la longitud . θ positivo es el hemisferio norte. Para simplificar las derivadas, los ángulos se dan en radianes (donde d sin(x)/dx = cos(x), los valores en grados introducen un factor adicional de 360 ​​/ 2 pi).

En cualquier ubicación, las direcciones tangentes son (arriba), (norte) y (este); también puedes usar los índices 1, 2, 3. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

El tensor métrico relacionado tiene solo elementos diagonales (las longitudes de los vectores al cuadrado). Esta es una ventaja del sistema de coordenadas y no suele ser cierta.

^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$$

Ahora se pueden calcular las cantidades necesarias. Ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$$

Los símbolos de Christoffel resultantes del segundo tipo son entonces (organizados por el índice "derivado" i en una matriz): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Estos valores muestran cómo cambian las direcciones tangentes (columnas: , , ), vistas desde una perspectiva externa (por ejemplo, desde el espacio), pero dadas en las direcciones tangentes de la ubicación real (filas: R , θ , φ ). ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

Como ejemplo, tomemos las derivadas no nulas de θ en , que corresponden a un movimiento hacia el norte (dθ positivo): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$

• La nueva dirección norte cambia en -R dθ en la dirección ascendente (R). Por lo tanto, la dirección norte rotará hacia abajo, en dirección al centro de la Tierra. ${\displaystyle e_{\theta }}$
• De manera similar, la dirección ascendente se ajustará hacia el norte. Las diferentes longitudes de y dan como resultado un factor de 1/R . ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$
• Moviéndose hacia el norte, el vector tangente este cambia su longitud (-tan(θ) en la diagonal), se contraerá (-tan(θ) dθ < 0) en el hemisferio norte y aumentará (-tan(θ) dθ > 0) en el hemisferio sur. ^[21] ${\displaystyle e_{\varphi }}$

Estos efectos pueden no ser evidentes durante el movimiento, porque son los ajustes que mantienen las mediciones en las coordenadas R , θ , φ . Sin embargo, pueden afectar las distancias, las ecuaciones físicas, etc. Por lo tanto, si, por ejemplo, necesita el cambio exacto de un campo magnético que apunta aproximadamente al "sur", puede ser necesario corregir también su medición mediante el cambio de la dirección norte utilizando los símbolos de Christoffel para obtener el valor "verdadero" ( tensor ).

Los símbolos de Christoffel del primer tipo muestran el mismo cambio utilizando coordenadas corregidas métricas, por ejemplo para la derivada por φ : ${\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Enfoque lagrangiano para encontrar una solución

En coordenadas cilíndricas existen coordenadas cartesianas y polares cilíndricas como:

${\textstyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \\z=h\end{cases}}}$y ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\\h=z\end{cases}}}$

Los puntos cartesianos existen y los símbolos de Christoffel desaparecen a medida que pasa el tiempo, por lo tanto, en coordenadas cilíndricas:

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{r\varphi }^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-\sin \varphi \cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi =0}$

${\displaystyle \Gamma _{\varphi \varphi }^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {x}{r}}-{\frac {y}{r}}=-r}$

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{r\varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {y}{r^{2}}}+\cos \varphi {\frac {x}{r^{2}}}={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\varphi \varphi }^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {x}{r^{2}}}-{\frac {y}{r^{2}}}=0}$

Coordenadas esféricas (utilizando Lagrangiano 2x2x2)

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

El lagrangiano se puede evaluar como:

${\displaystyle L={\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}}$

Por eso,

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\\{\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0\\{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {\theta }}}}=0\end{cases}}}$ se puede reorganizar para ${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\end{cases}}}$

Utilizando la siguiente ecuación geodésica:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0}$

Se puede obtener lo siguiente:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\sin \theta \cos \theta (\Gamma _{12}^{2})=\Gamma _{21}^{2}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

^[21]

Mecánica lagrangiana en geodésicas (principios de mínima acción en símbolos de Christoffel)

Al incorporar la mecánica de Lagrange y usar la ecuación de Euler-Lagrange , los símbolos de Christoffel se pueden sustituir en el Lagrangiano para tener en cuenta la geometría de la variedad. Los símbolos de Christoffel se calculan a partir del tensor métrico , por lo que las ecuaciones se pueden derivar y expresar a partir del principio de mínima acción. Al aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a un sistema de ecuaciones, el Lagrangiano incluirá términos que involucren los símbolos de Christoffel, lo que permitirá que la ecuación actúe para la curvatura que puede determinar las ecuaciones de movimiento correctas para los objetos que se mueven a lo largo de geodésicas.

Utilizando el principio de mínima acción de la ecuación de Euler-Lagrange

La ecuación de Euler-Lagrange se aplica a una función relacionada con la trayectoria de un objeto en un sistema de coordenadas esféricas,

Dado y tal que y ${\displaystyle L\in C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle y\in C^{1}[a,b]}$ ${\displaystyle y(a)=C}$ ${\displaystyle ey(b)=d}$

si

${\displaystyle {\begin{cases}\int _{a}^{b}L(y(x))dx\\\int _{a}^{b}L(y'(x))dx\\\int _{a}^{b}L(x)dx\end{cases}}}$

Alcanza su mínimo , donde  es una solución que se puede encontrar resolviendo la ecuación diferencial: ${\displaystyle min\equiv y_{0}\in C}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial L}{\partial y'}}(y(x),y'(x))\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}(y(x),y'(x))=0}$

La ecuación diferencial proporciona las condiciones matemáticas que deben satisfacerse para esta trayectoria óptima.

^[21]

Véase también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Variedad diferenciable
• Lista de fórmulas de la geometría de Riemann
• Cálculo de Ricci
• Tensor de Riemann-Christoffel
• Ecuaciones de Gauss-Codazzi
• Ejemplo de cálculo de los símbolos de Christoffel

Notas

1. Véase, por ejemplo, (Spivak 1999) y (Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette 1977).
2. Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introducción a la relatividad general (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN  0-07-000423-4 ( Ver sección 2.1 )
3. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitación (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3 ( Ver capítulos 8-11 ) 
4. Misner, Thorne, Wheeler, op. cit. ( Véase el capítulo 13 )
5. Jurgen Jost, Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2 
6. David Bleeker, Teoría de calibre y principios variacionales (1991) Addison-Wesely Publishing Company ISBN 0-201-10096-7 
7. Christoffel, EB (1869), "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 70 : 46–70
8. Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial . pág. 480.
9. "Símbolo de Christoffel del segundo tipo -- de Wolfram MathWorld". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 23 de enero de 2009.
10. Bishop, RL; Goldberg (1968), Análisis tensorial en variedades , pág. 241
11. Ludvigsen, Malcolm (1999), Relatividad general: un enfoque geométrico , pág. 88
12. Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial . pág. 480.
13. Struik, DJ (1961). Lectures on Classical Differential Geometry (publicado por primera vez en 1988, edición de Dover). pág. 114.
14. G. Ricci-Curbastro (1896). "Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque". Memoria. Acc. Lincei . 2 (5): 276–322.
15. H. Levy (1925). "Coeficientes de rotación de Ricci". Bull. Amer. Math. Soc . 31 (3–4): 142–145. doi : 10.1090/s0002-9904-1925-03996-8 .
16. Esto supone que la conexión es simétrica (por ejemplo, la conexión Levi-Civita). Si la conexión tiene torsión , entonces solo la parte simétrica del símbolo de Christoffel puede desaparecer.
17. Einstein, Albert (2005). "El significado de la relatividad (1956, 5.ª edición)". Princeton University Press (2005).
18. Schrödinger, E. (1950). Estructura espacio-temporal. Cambridge University Press.
19. Adler, R., Bazin, M., y Schiffer, M. Introducción a la relatividad general (Nueva York, 1965).
20. David, Kay, Cálculo tensorial (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 ( Ver sección 11.4 ) 
21. "Alexander J. Sesslar". sites.google.com . Consultado el 22 de octubre de 2024 .

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics , Londres: Benjamin/Cummings Publishing, págs. Véase el capítulo 2, párrafo 2.7.1, ISBN 0-8053-0102-X
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1965), Introducción a la relatividad general (Primera edición), McGraw-Hill Book Company
• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, variedades y física , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1951), The Classical Theory of Fields , Curso de física teórica , vol. 2 (cuarta edición revisada en inglés), Oxford: Pergamon Press, págs. Véase el capítulo 10, párrafos 85, 86 y 87, ISBN. 0-08-025072-6
• Kreyszig, Erwin (1991), Geometría diferencial , Dover Publications , ISBN 978-0-486-66721-8
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1970), Gravitation , Nueva York: WH Freeman, págs. Véase el capítulo 8, párrafo 8.5, ISBN 0-7167-0344-0
• Ludvigsen, Malcolm (1999), Relatividad general: un enfoque geométrico , Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial , vol. 2, Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial. Academic Publishers. ISBN 978-93-8059-905-2.
• Struik, DJ (1961). Lectures on Classical Differential Geometry (publicado por primera vez en 1988, edición de Dover). Dover. ISBN 0-486-65609-8.
• P. Grinfeld (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies móviles . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• "Varias ecuaciones tensoriales mostradas en su totalidad". www.tero.co.uk . Consultado el 1 de enero de 2023 .