Base holonómica

En matemáticas y física matemática , una base de coordenadas o base holonómica para una variedad diferenciable M es un conjunto de campos vectoriales base { e ₁ , ..., e _n } definidos en cada punto P de una región de la variedad como

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

donde δ s es el vector de desplazamiento entre el punto P y un punto cercano Q cuya separación de coordenadas desde P es δx ^α a lo largo de la curva de coordenadas x ^α (es decir, la curva en la variedad que pasa por P para la cual la coordenada local x ^α varía y todas las demás coordenadas son constantes). ^[1]

Es posible hacer una asociación entre dicha base y los operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada C en la variedad definida por x ^α ( λ ) con el vector tangente u = u ^α e _α , donde u ^α = ⁠dxα^​/dλ⁠ , y una función f ( x ^α ) definida en un entorno de C , la variación de f a lo largo de C se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.}$

Como tenemos que u = u ^α e _α , la identificación se hace a menudo entre un vector base de coordenadas e _α y el operador de derivada parcial ⁠∂/∂ x ^α⁠ , bajo la interpretación de los vectores como operadores que actúan sobre funciones. ^[2]

Una condición local para que una base { e ₁ , ..., e _n } sea holonómica es que todas las derivadas de Lie mutuas se anulen: ^[3]

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.}$

Una base que no es holonómica se denomina base anholonómica, ^[4] no holonómica o no coordinada.

Dado un tensor métrico g en una variedad M , en general no es posible encontrar una base de coordenadas que sea ortonormal en cualquier región abierta U de M . ^[5] Una excepción obvia es cuando M es el espacio de coordenadas real R ⁿ considerado como una variedad con g siendo la métrica euclidiana δ _ij e ⁱ ⊗ e ^j en cada punto. 

Referencias

1. MP Hobson; GP Efstathiou; AN Lasenby (2006), Relatividad general: una introducción para físicos , Cambridge University Press , pág. 57
2. T. Padmanabhan (2010), Gravitación: fundamentos y fronteras , Cambridge University Press , pág. 25
3. Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields (Espinores y espacio-tiempo: volumen 1, cálculo de dos espinores y campos relativistas) , Cambridge University Press , págs. 197-199
4. Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1970), Gravitación , pág. 210
5. Bernard F. Schutz (1980), Métodos geométricos de la física matemática , Cambridge University Press , págs. 47-49, ISBN 978-0-521-29887-2

Véase también

• Paquete de chorro
• Formalismo de tétrada
• Cálculo de Ricci