Notación de índice abstracto

Notación matemática para tensores y espinores.

La notación de índice abstracta (también conocida como notación de índice de nombres de ranuras) ^[1] es una notación matemática para tensores y espinores que utiliza índices para indicar sus tipos, en lugar de sus componentes en una base particular. ^[2] Los índices son meros marcadores de posición, no están relacionados con ninguna base y, en particular, no son numéricos. Por tanto, no debe confundirse con el cálculo de Ricci . La notación fue introducida por Roger Penrose como una forma de utilizar los aspectos formales de la convención de suma de Einstein para compensar la dificultad de describir las contracciones y la diferenciación covariante en la notación tensorial abstracta moderna, preservando al mismo tiempo la covarianza explícita de las expresiones involucradas. ^[3]

Sea un espacio vectorial y su espacio dual . Considere, por ejemplo, un tensor covariante de orden 2 . Entonces se puede identificar con una forma bilineal en . En otras palabras, es una función de dos argumentos que se puede representar como un par de ranuras : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle h=h(-,-).}$

La notación de índice abstracta es simplemente un etiquetado de las ranuras con letras latinas, que no tienen ningún significado aparte de su designación como etiquetas de las ranuras (es decir, no son numéricas):

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

Una contracción tensorial (o traza) entre dos tensores está representada por la repetición de una etiqueta de índice, donde una etiqueta es contravariante (un índice superior correspondiente al factor ) y una etiqueta es covariante (un índice inferior correspondiente al factor ). Así, por ejemplo, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

es la traza de un tensor sobre sus dos últimas ranuras. Esta manera de representar las contracciones tensoriales mediante índices repetidos es formalmente similar a la convención de suma de Einstein . Sin embargo, como los índices no son numéricos, no implica suma: más bien corresponde a la operación de traza abstracta independiente de la base (o emparejamiento natural ) entre factores tensoriales de tipo y aquellos de tipo . ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Índices abstractos y espacios tensoriales.

Un tensor homogéneo general es un elemento de un tensor producto de copias de y , como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Etiquete cada factor en este producto tensorial con una letra latina en una posición elevada para cada factor contravariante y en una posición baja para cada posición covariante. De esta manera, escribe el producto como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

o simplemente

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

Las dos últimas expresiones denotan el mismo objeto que la primera. Los tensores de este tipo se denotan mediante notación similar, por ejemplo:

${\displaystyle h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Contracción

En general, siempre que ocurren un factor contravariante y un factor covariante en un producto tensorial de espacios, hay un mapa de contracción (o traza ) asociado. Por ejemplo,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

es la traza en los dos primeros espacios del producto tensorial.

$${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$

Estas operaciones de rastreo se indican en los tensores mediante la repetición de un índice. Así, el primer mapa de trazas viene dado por

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}}$

y el segundo por

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.}$

Trenza

A cualquier producto tensorial en un único espacio vectorial, existen mapas de trenzado asociados . Por ejemplo, el mapa de trenzado.

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

intercambia los dos factores tensoriales (de modo que su acción sobre tensores simples viene dada por ). En general, los mapas de trenzado están en correspondencia uno a uno con elementos del grupo simétrico , actuando permutando los factores tensoriales. Aquí, usamos para denotar el mapa de trenzado asociado a la permutación (representado como un producto de permutaciones cíclicas disjuntas ). ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$ ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Los mapas trenzados son importantes en geometría diferencial , por ejemplo, para expresar la identidad de Bianchi . Aquí denotamos el tensor de Riemann , considerado como un tensor en . La primera identidad de Bianchi afirma entonces que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

La notación de índice abstracta maneja el trenzado de la siguiente manera. En un producto tensorial particular, se fija un orden de los índices abstractos (normalmente se trata de un orden lexicográfico ). Luego, la trenza se representa en notación permutando las etiquetas de los índices. Así, por ejemplo, con el tensor de Riemann

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

la identidad Bianchi se convierte

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

Antisimetrización y simetrización.

Un tensor general puede estar antisimetrizado o simetrizado, y existe una notación correspondiente.

Demostramos la notación con el ejemplo. Antisimetrizamos el tensor de tipo (0,3) , donde está el grupo simétrico de tres elementos. ${\displaystyle \omega _{abc}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

De manera similar, podemos simetrizar:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Ver también

• Notación gráfica de Penrose
• Notación de Einstein
• Notación de índice
• Tensor
• tensor antisimétrico
• Subir y bajar índices
• Covarianza y contravarianza de vectores.

Referencias

1. Kip S. Thorne y Roger D. Blandford (2017). Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-69115902-7.
2. Roger Penrose (2007). El camino hacia la realidad: una guía completa de las leyes del universo . Antiguo. ISBN 978-0-67977631-4.
3. Roger Penrose y Wolfgang Rindler (1984). Spinors y espacio-tiempo, volumen 1: cálculo de dos espinores y campos relativistas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-52133707-6.