En matemáticas y física matemática , una base coordinada o base holonómica para una variedad diferenciable M es un conjunto de campos vectoriales de base { e 1 ,..., e n } definidos en cada punto P de una región de la variedad como
donde δ s es el vector de desplazamiento entre el punto P y un punto cercano Q cuya separación de coordenadas de P es δx α a lo largo de la curva de coordenadas x α (es decir, la curva en la variedad que pasa por P para la cual la coordenada local x α varía y todas las demás las coordenadas son constantes). [1]
Es posible realizar una asociación entre dicha base y operadores de derivados direccionales. Dada una curva parametrizada C en la variedad definida por x α ( λ ) con el vector tangente u = u α e α , donde u α =dx α/dλ, y una función f ( x α ) definida en una vecindad de C , la variación de f a lo largo de C se puede escribir como
Como tenemos que u = u α e α , la identificación a menudo se realiza entre un vector base de coordenadas e α y el operador de derivada parcial∂/∂xα, bajo la interpretación de los vectores como operadores que actúan sobre funciones. [2]
Una condición local para que una base { e 1 , ..., e n } sea holonómica es que todas las derivadas mutuas de Lie desaparezcan: [3]
Una base que no es holonómica se llama base anholonómica, [4] no holonómica o no coordinada.
Dado un tensor métrico g en una variedad M , en general no es posible encontrar una base de coordenadas que sea ortonormal en cualquier región abierta U de M. [5] Una excepción obvia es cuando M es el espacio de coordenadas real R n considerado como una variedad, siendo g la métrica euclidiana δ ij e i ⊗ e j en cada punto.