En matemáticas, el teorema de Cartan-Hadamard es un enunciado de la geometría de Riemann que se refiere a la estructura de variedades de Riemann completas de curvatura seccional no positiva . El teorema establece que el recubrimiento universal de dicha variedad es difeomórfico a un espacio euclidiano a través de la función exponencial en cualquier punto. Fue demostrado por primera vez por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superficies en 1881, e independientemente por Jacques Hadamard en 1898. Élie Cartan generalizó el teorema a las variedades de Riemann en 1928 (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). El teorema fue generalizado aún más a una amplia clase de espacios métricos por Mikhail Gromov en 1987; Pruebas detalladas fueron publicadas por Ballmann (1990) para espacios métricos de curvatura no positiva y por Alexander y Bishop (1990) para espacios métricos locales convexos generales.
El teorema de Cartan-Hadamard en la geometría riemanniana convencional afirma que el espacio de recubrimiento universal de una variedad riemanniana completa conexa de curvatura seccional no positiva es difeomorfo a R n . De hecho, para variedades completas de curvatura no positiva, la función exponencial basada en cualquier punto de la variedad es una función de recubrimiento.
El teorema se aplica también a las variedades de Hilbert en el sentido de que la función exponencial de una variedad geodésicamente completa conexa y no positivamente curvada es una función envolvente (McAlpin 1965; Lang 1999, IX, §3). La completitud se entiende aquí en el sentido de que la función exponencial se define en todo el espacio tangente de un punto.
En geometría métrica , el teorema de Cartan-Hadamard es la afirmación de que la cobertura universal de un espacio métrico completo no positivamente curvado y conexo X es un espacio de Hadamard . En particular, si X es simplemente conexo , entonces es un espacio geodésico en el sentido de que dos puntos cualesquiera están conectados por una geodésica minimizadora única y, por lo tanto, son contráctiles .
Se dice que un espacio métrico X no es curvado positivamente si cada punto p tiene un entorno U en el que dos puntos cualesquiera están unidos por una geodésica , y para cualquier punto z en U y geodésica de velocidad constante γ en U , se tiene
Esta desigualdad puede ser útil en términos de un triángulo geodésico Δ = z γ(0)γ(1). El lado izquierdo es la distancia al cuadrado desde el vértice z hasta el punto medio del lado opuesto. El lado derecho representa la distancia al cuadrado desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto en un triángulo euclidiano que tiene las mismas longitudes de lado que Δ. Esta condición, llamada condición CAT(0) , es una forma abstracta del teorema de comparación de triángulos de Toponogov .
La suposición de curvatura no positiva puede debilitarse (Alexander y Bishop 1990), aunque con una conclusión correspondientemente más débil. Llamemos convexo a un espacio métrico X si, para dos geodésicas a ( t ) y b ( t ) que minimizan la velocidad constante, la función
es una función convexa de t . Un espacio métrico es entonces localmente convexo si cada punto tiene un entorno que es convexo en este sentido. El teorema de Cartan-Hadamard para espacios localmente convexos establece:
En particular, la cobertura universal de dicho espacio es contráctil. La convexidad de la función de distancia a lo largo de un par de geodésicas es una consecuencia bien conocida de la curvatura no positiva de un espacio métrico, pero no es equivalente (Ballmann 1990).
El teorema de Cartan-Hadamard proporciona un ejemplo de una correspondencia local-global en la geometría riemanniana y métrica: es decir, una condición local (curvatura no positiva) y una condición global (conectividad simple) implican juntas una propiedad global fuerte (contractilidad); o en el caso riemanniano, difeomorfismo con R n .
La forma métrica del teorema demuestra que un complejo de celdas poliédricas no curvadas positivamente es asférico . Este hecho es de importancia crucial para la teoría de grupos geométricos moderna .
