Teorema de rigidez de Mostow

Theorem in hyperbolic geometry

En matemáticas , el teorema de rigidez de Mostow , o teorema de rigidez fuerte , o teorema de rigidez de Mostow-Prasad , establece esencialmente que la geometría de una variedad hiperbólica completa de volumen finito de dimensión mayor que dos está determinada por el grupo fundamental y, por lo tanto, es única. El teorema fue demostrado para variedades cerradas por Mostow  (1968) y extendido a variedades de volumen finito por Marden (1974) en 3 dimensiones, y por Prasad  (1973) en todas las dimensiones al menos 3. Gromov (1981) dio una prueba alternativa utilizando la norma de Gromov . Besson, Courtois y Gallot (1996) dieron la prueba más simple disponible.

Si bien el teorema muestra que el espacio de deformación de estructuras hiperbólicas (completas) sobre una variedad hiperbólica de volumen finito (para ) es un punto, para una superficie hiperbólica de género existe un espacio de módulos de dimensión que parametriza todas las métricas de curvatura constante (hasta el difeomorfismo ), hecho esencial para la teoría de Teichmüller . También existe una rica teoría de espacios de deformación de estructuras hiperbólicas sobre variedades de volumen infinito en tres dimensiones. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle 6g-6}$

El teorema

El teorema se puede dar en una formulación geométrica (relativa a variedades completas de volumen finito) y en una formulación algebraica (relativa a redes en grupos de Lie ).

Forma geométrica

Sea el espacio hiperbólico de dimensión - . Una variedad hiperbólica completa se puede definir como un cociente de por un grupo de isometrías que actúan libre y propiamente discontinuas (es equivalente a definirla como una variedad riemanniana con curvatura seccional -1 que es completa ). Es de volumen finito si la integral de una forma de volumen es finita (lo que ocurre, por ejemplo, si es compacta). El teorema de rigidez de Mostow se puede enunciar como: ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

Supóngase que y son variedades hiperbólicas completas de volumen finito de dimensión . Si existe un isomorfismo , entonces es inducido por una isometría única de a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Aquí está el grupo fundamental de una variedad . Si es una variedad hiperbólica obtenida como cociente de por un grupo entonces . ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \Gamma }$

Una afirmación equivalente es que cualquier equivalencia homotópica de a puede ser homotópica con una isometría única. La prueba muestra que si tiene mayor dimensión que entonces no puede haber equivalencia homotópica entre ellos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Forma algebraica

El grupo de isometrías del espacio hiperbólico se puede identificar con el grupo de Lie (el grupo ortogonal proyectivo de una forma cuadrática de signatura . Entonces el siguiente enunciado es equivalente al anterior. ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$

Sean y y dos retículos en y supongamos que existe un isomorfismo de grupo . Entonces y son conjugados en . Es decir, existe un tal que . ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle f\colon \Gamma \to \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle \Lambda =g\Gamma g^{-1}}$

En mayor generalidad

La rigidez de Mostow se cumple (en su formulación geométrica) de manera más general para los grupos fundamentales de todos los espacios localmente simétricos , completos, de volumen finito, no positivamente curvados (sin factores euclidianos) de dimensión al menos tres, o en su formulación algebraica para todas las redes en grupos de Lie simples no localmente isomorfos a . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Aplicaciones

Del teorema de rigidez de Mostow se deduce que el grupo de isometrías de una variedad hiperbólica n de volumen finito M (para n > 2) es finito e isomorfo a . ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(M))}$

La rigidez de Mostow también fue utilizada por Thurston para demostrar la unicidad de las representaciones de empaquetamiento circular de gráficos planares triangulados . ^[1]

Una consecuencia de la rigidez del interés de Mostow en la teoría de grupos geométricos es que existen grupos hiperbólicos que son cuasi isométricos pero no conmensurables entre sí.

Véase también

• Superrigidez , un resultado más fuerte para espacios de rango superior
• Rigidez local , resultado de deformaciones que no son necesariamente reticulares.

Notas

1. Thurston 1978–1981, Capítulo 13.

Referencias

• Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Entropía mínima y teoremas de rigidez de Mostow", Teoría ergódica y sistemas dinámicos , 16 (4): 623–649, doi :10.1017/S0143385700009019, S2CID  122773907
• Gromov, Michael (1981), "Variedades hiperbólicas (según Thurston y Jørgensen)", Bourbaki Seminar, vol. 1979/80 (PDF) , Lecture Notes in Math., vol. 842, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 40–53, doi :10.1007/BFb0089927, ISBN 978-3-540-10292-2, MR  0636516, archivado desde el original el 10 de enero de 2016
• Marden, Albert (1974), "La geometría de los grupos kleinianos finitamente generados", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 99 (3): 383–462, doi :10.2307/1971059, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971059, MR  0349992, Zbl  0282.30014
• Mostow, GD (1968), "Aplicaciones cuasi-conformes en el espacio n y la rigidez de las formas del espacio hiperbólico", Publ. Math. IHÉS , 34 : 53–104, doi :10.1007/bf02684590, S2CID  55916797
• Mostow, GD (1973), Rigidez fuerte de espacios localmente simétricos, Anales de estudios matemáticos, vol. 78, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6, Sr.  0385004
• Prasad, Gopal (1973), "Fuerte rigidez de redes de rango Q 1", Inventiones Mathematicae , 21 (4): 255–286, Bibcode :1973InMat..21..255P, doi :10.1007/BF01418789, ISSN  0020-9910, MR  0385005, S2CID  55739204
• Spatzier, RJ (1995), "Análisis armónico en la teoría de la rigidez", en Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Teoría ergódica y su conexión con el análisis armónico, Actas de la Conferencia de Alejandría de 1993 , Cambridge University Press, págs. 153-205, ISBN 0-521-45999-0. (Proporciona un estudio de una gran variedad de teoremas de rigidez, incluidos aquellos relacionados con grupos de Lie, grupos algebraicos y dinámica de flujos. Incluye 230 referencias).
• Thurston, William (1978–1981), La geometría y topología de las 3-variedades, notas de clase de Princeton(Da dos pruebas: una similar a la prueba original de Mostow y otra basada en la norma de Gromov )