En matemáticas , una forma diferencial con valores vectoriales en una variedad M es una forma diferencial en M con valores en un espacio vectorial V. De manera más general, es una forma diferencial con valores en algún paquete de vectores E sobre M . Las formas diferenciales ordinarias pueden verse como formas diferenciales con valores R.
Un caso importante de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores del álgebra de Lie . (Un formulario de conexión es un ejemplo de dicho formulario).
Sea M una variedad suave y E → M un paquete de vectores suave sobre M . Denotamos el espacio de secciones suaves de un paquete E por Γ( E ). Una forma diferencial de grado p con valor E es una sección suave del haz producto tensorial de E con Λ p ( T ∗ M ), la p -ésima potencia exterior del haz cotangente de M . El espacio de tales formas se denota por
Debido a que Γ es un funtor monoidal fuerte , [1] esto también se puede interpretar como
donde los dos últimos productos tensoriales son el producto tensorial de módulos sobre el anillo Ω 0 ( M ) de funciones suaves con valores R en M (consulte el séptimo ejemplo aquí ). Por convención, una forma 0 con valor E es solo una sección del paquete E. Eso es,
De manera equivalente, una forma diferencial con valor E se puede definir como un morfismo de paquete
que es totalmente simétrico sesgado .
Sea V un espacio vectorial fijo . Una forma diferencial de grado p con valor V es una forma diferencial de grado p con valores en el paquete trivial M × V. El espacio de tales formas se denota por Ω p ( M , V ). Cuando V = R se recupera la definición de forma diferencial ordinaria. Si V es de dimensión finita, entonces se puede demostrar que el homomorfismo natural
donde el primer producto tensorial es de espacios vectoriales sobre R , es un isomorfismo. [2]
Se puede definir el retroceso de formas con valores vectoriales mediante mapas suaves al igual que para las formas ordinarias. El retroceso de una forma con valor E en N mediante un mapa suave φ : M → N es una forma con valor (φ* E ) en M , donde φ* E es el paquete de retroceso de E por φ.
La fórmula se da como en el caso ordinario. Para cualquier forma p con valor E ω en N , el retroceso φ*ω viene dado por
Al igual que con las formas diferenciales ordinarias, se puede definir un producto de cuña de formas con valores vectoriales. El producto de cuña de una forma p con valor E 1 con una forma q con valor E 2 es naturalmente una forma ( p + q ) con valor ( E 1 ⊗ E 2 ) :
La definición es la misma que para las formas ordinarias, con la excepción de que la multiplicación real se reemplaza con el producto tensorial :
En particular, el producto de cuña de una forma p ordinaria (valorada en R ) con una forma q valorada en E es naturalmente una forma ( p + q ) valorada en E (ya que el producto tensorial de E con el paquete trivial M × R es naturalmente isomorfo a E ). Para ω ∈ Ω p ( M ) y η ∈ Ω q ( M , E ) se tiene la relación de conmutatividad habitual:
En general, el producto de cuña de dos formas valoradas en E no es otra forma valorada en E , sino una forma valorada ( E ⊗ E ). Sin embargo, si E es un conjunto de álgebra (es decir, un conjunto de álgebras en lugar de solo espacios vectoriales), se puede componer con multiplicación en E para obtener una forma con valor de E. Si E es un conjunto de álgebras conmutativas y asociativas , entonces, con este producto de cuña modificado, el conjunto de todas las formas diferenciales valoradas en E
se convierte en un álgebra asociativa conmutativa graduada . Si las fibras de E no son conmutativas, entonces Ω ( M , E ) no será conmutativa graduada.
Para cualquier espacio vectorial V existe una derivada exterior natural en el espacio de formas valoradas en V. Esta es simplemente la derivada exterior ordinaria que actúa en componentes con respecto a cualquier base de V. Explícitamente, si { e α } es una base para V, entonces el diferencial de una forma p con valor V ω = ω α e α viene dado por
La derivada exterior en formas con valores V se caracteriza completamente por las relaciones habituales:
De manera más general, las observaciones anteriores se aplican a formas valoradas en E donde E es cualquier paquete de vectores plano sobre M (es decir, un paquete de vectores cuyas funciones de transición son constantes). La derivada exterior se define como anteriormente en cualquier trivialización local de E.
Si E no es plano, entonces no existe una noción natural de una derivada exterior que actúe sobre formas valoradas en E. Lo que se necesita es elegir la conexión en E. Una conexión en E es un operador diferencial lineal que toma secciones de E a E con valores uno:
Si E está equipado con una conexión ∇ entonces hay una derivada exterior covariante única
extendiendo ∇. La derivada exterior covariante se caracteriza por la linealidad y la ecuación
donde ω es una forma p con valor E y η es una forma q ordinaria . En general, no es necesario tener d ∇ 2 = 0. De hecho, esto sucede si y sólo si la conexión ∇ es plana (es decir, tiene curvatura evanescente ).
Sea E → M un paquete de vectores suave de rango k sobre M y sea π : F ( E ) → M el paquete de marcos ( asociado ) de E , que es un paquete principal GL k ( R ) sobre M . El retroceso de E por π es canónicamente isomorfo a F( E ) × ρ R k a través de la inversa de [ u , v ] → u ( v ), donde ρ es la representación estándar. Por lo tanto, el retroceso por π de una forma con valor E en M determina una forma con valor R k en F( E ). No es difícil comprobar que esta forma retraída es equivalente a la derecha con respecto a la acción natural de GL k ( R ) sobre F( E ) × R k y desaparece en los vectores verticales (vectores tangentes a F( E ) que se encuentran en el núcleo de d π ). Estas formas con valores vectoriales en F( E ) son lo suficientemente importantes como para justificar una terminología especial: se denominan formas básicas o tensoriales en F( E ).
Sea π : P → M un paquete G principal (suave) y sea V un espacio vectorial fijo junto con una representación ρ : G → GL( V ). Una forma básica o tensorial en P de tipo ρ es una forma ω con valor V en P que es equivariante y horizontal en el sentido de que
Aquí R g denota la acción correcta de G sobre P para algunos g ∈ G . Tenga en cuenta que para las formas 0 la segunda condición es vagamente cierta .
Ejemplo: si ρ es la representación adjunta de G en el álgebra de Lie, entonces la forma de conexión ω satisface la primera condición (pero no la segunda). La forma de curvatura asociada Ω satisface ambas; por tanto Ω es una forma tensorial de tipo adjunto. La "diferencia" de dos formas de conexión es una forma tensorial.
Dados P y ρ como arriba , se puede construir el paquete de vectores asociado E = P × ρ V. Las q -formas tensoriales en P están en una correspondencia natural uno a uno con las q -formas valoradas en E en M . Como en el caso del paquete principal F( E ) anterior, dada una forma q en M con valores en E , defina φ en P a modo de fibra, digamos en u ,
donde u se ve como un isomorfismo lineal . φ es entonces una forma tensorial de tipo ρ. Por el contrario, dada una forma tensorial φ de tipo ρ, la misma fórmula define una forma valorada en M en M (cf. el homomorfismo de Chern-Weil ). En particular, existe un isomorfismo natural de espacios vectoriales
Ejemplo: Sea E el paquete tangente de M. Entonces, el mapa de paquetes de identidad id E : E → E es una forma con valor E en M . La forma única tautológica es una forma única única en el paquete de marcos de E que corresponde a id E . Denotado por θ, es una forma tensorial de tipo estándar.
Ahora, supongamos que hay una conexión en P de modo que hay una diferenciación covariante exterior D en (varias) formas con valores vectoriales en P . A través de la correspondencia anterior, D también actúa sobre formas valoradas en E : defina ∇ por
En particular para formas cero,
Ésta es exactamente la derivada covariante de la conexión en el paquete de vectores E. [3]
Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel . [4]