En matemáticas , una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniéndose las demás constantes (a diferencia de la derivada total , en la que se permite que todas las variables varíen). Las derivadas parciales se utilizan en cálculo vectorial y geometría diferencial .
La derivada parcial de una función con respecto a la variable se denota de diversas formas por
Puede considerarse como la tasa de cambio de la función en la dirección -.
A veces, para , la derivada parcial de con respecto a se denota como Dado que una derivada parcial generalmente tiene los mismos argumentos que la función original, su dependencia funcional a veces se indica explícitamente mediante la notación, como en:
El símbolo utilizado para indicar derivadas parciales es ∂ . Uno de los primeros usos conocidos de este símbolo en matemáticas es por el Marqués de Condorcet de 1770, [1] quien lo utilizó para diferencias parciales . La notación moderna de derivada parcial fue creada por Adrien-Marie Legendre (1786), aunque luego la abandonó; Carl Gustav Jacob Jacobi reintrodujo el símbolo en 1841. [2]
Al igual que las derivadas ordinarias, la derivada parcial se define como un límite . Sea U un subconjunto abierto de y una función. La derivada parcial de f en el punto con respecto a la i -ésima variable x i se define como
¿Dónde está el vector unitario de la i -ésima variable x i ? Incluso si todas las derivadas parciales existen en un punto dado a , la función no tiene por qué ser continua allí. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen en una vecindad de a y son continuas allí, entonces f es totalmente diferenciable en esa vecindad y la derivada total es continua. En este caso, se dice que f es una función C 1 . Esto se puede utilizar para generalizar funciones con valores vectoriales, utilizando cuidadosamente un argumento por componentes.
La derivada parcial puede verse como otra función definida en U y nuevamente puede derivarse parcialmente. Si la dirección de la derivada no se repite, se llama derivada parcial mixta . Si todas las derivadas parciales mixtas de segundo orden son continuas en un punto (o en un conjunto), f se denomina función C 2 en ese punto (o en ese conjunto); en este caso, las derivadas parciales se pueden intercambiar mediante el teorema de Clairaut :
Para los siguientes ejemplos, sea f una función en x , y y z .
Derivadas parciales de primer orden:
Derivadas parciales de segundo orden:
Derivadas mixtas de segundo orden :
Derivadas parciales y mixtas de orden superior:
Cuando se trata de funciones de múltiples variables, algunas de estas variables pueden estar relacionadas entre sí, por lo que puede ser necesario especificar explícitamente qué variables se mantienen constantes para evitar ambigüedades. En campos como la mecánica estadística , la derivada parcial de f con respecto a x , manteniendo y y z constantes, a menudo se expresa como
Convencionalmente, para mayor claridad y simplicidad de la notación, la función derivada parcial y el valor de la función en un punto específico se combinan incluyendo los argumentos de la función cuando se utiliza el símbolo de derivada parcial (notación de Leibniz). Así, una expresión como
se utiliza para la función, mientras que
podría usarse para el valor de la función en el punto . Sin embargo, esta convención se rompe cuando queremos evaluar la derivada parcial en un punto como . En tal caso, la evaluación de la función debe expresarse de manera poco manejable como
o
para utilizar la notación de Leibniz. Por lo tanto, en estos casos, puede ser preferible utilizar la notación del operador diferencial de Euler con como símbolo de derivada parcial con respecto a la i -ésima variable. Por ejemplo, se escribiría para el ejemplo descrito anteriormente, mientras que la expresión representa la función derivada parcial con respecto a la primera variable. [3]
Para derivadas parciales de orden superior, se denota la derivada parcial (función) de con respecto a la j -ésima variable . Es decir, de modo que las variables se enumeran en el orden en que se toman las derivadas y, por tanto, en el orden inverso al que normalmente se anota la composición de los operadores. Por supuesto, el teorema de Clairaut implica que siempre que se cumplan condiciones de regularidad comparativamente suaves en f .
Un ejemplo importante de una función de varias variables es el caso de una función con valores escalares en un dominio en el espacio euclidiano (por ejemplo, en o ). En este caso f tiene una derivada parcial con respecto a cada variable x j . En el punto a , estas derivadas parciales definen el vector
Este vector se llama gradiente de f en a . Si f es diferenciable en cada punto de algún dominio, entonces el gradiente es una función vectorial ∇ f que lleva el punto a al vector ∇ f ( a ) . En consecuencia, el gradiente produce un campo vectorial .
Un abuso común de notación es definir el operador del ( ∇ ) de la siguiente manera en un espacio euclidiano tridimensional con vectores unitarios :
O, más generalmente, para un espacio euclidiano de n dimensiones con coordenadas y vectores unitarios :
La derivada direccional de una función escalar a lo largo de un vector es la función definida por el límite [4]
Esta definición es válida en una amplia gama de contextos, por ejemplo, donde la norma de un vector (y por tanto de un vector unitario) no está definida. [5]Supongamos que f es una función de más de una variable. Por ejemplo,
La gráfica de esta función define una superficie en el espacio euclidiano . A cada punto de esta superficie hay un número infinito de rectas tangentes . La derivación parcial es el acto de elegir una de estas rectas y encontrar su pendiente . Por lo general, las líneas de mayor interés son las que son paralelas al plano xz y las que son paralelas al plano yz (que resultan de mantener y o x constantes, respectivamente).
Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la función en P (1, 1) y paralela al plano xz , tratamos y como una constante. La gráfica y este plano se muestran a la derecha. A continuación, vemos cómo se ve la función en el plano y = 1 . Al encontrar la derivada de la ecuación y asumir que y es una constante, encontramos que la pendiente de f en el punto ( x , y ) es:
Entonces en (1, 1) , por sustitución, la pendiente es 3 . Por lo tanto,
en el punto (1, 1) . Es decir, la derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1) es 3 , como se muestra en la gráfica.
La función f se puede reinterpretar como una familia de funciones de una variable indexadas por las otras variables:
En otras palabras, cada valor de y define una función, denotada f y , que es función de una variable x . [6] Es decir,
En esta sección, la notación de subíndice f y denota una función dependiente de un valor fijo de y , y no una derivada parcial.
Una vez que se elige un valor de y , digamos a , entonces f ( x , y ) determina una función f a que traza una curva x 2 + ax + a 2 en el plano xz :
En esta expresión, a es una constante , no una variable , por lo que f a es función de una sola variable real, que es x . En consecuencia, se aplica la definición de derivada para una función de una variable:
El procedimiento anterior se puede realizar para cualquier elección de . Al reunir las derivadas en una función se obtiene una función que describe la variación de f en la dirección x :
Esta es la derivada parcial de f con respecto a x . Aquí ' ∂ ' es una 'd' redondeada llamada símbolo de derivada parcial ; para distinguirla de la letra 'd', ' ∂ ' a veces se pronuncia "parcial".
Las derivadas parciales de segundo y superior orden se definen de forma análoga a las derivadas de orden superior de funciones univariadas. Para la función, la segunda derivada parcial "propia" con respecto a x es simplemente la derivada parcial de la derivada parcial (ambas con respecto a x ): [7] : 316–318
La derivada parcial cruzada con respecto a x e y se obtiene tomando la derivada parcial de f con respecto a x , y luego tomando la derivada parcial del resultado con respecto a y , para obtener
El teorema de Schwarz establece que si las segundas derivadas son continuas, la expresión de la derivada parcial cruzada no se ve afectada por qué variable se toma la derivada parcial con respecto a la primera y cuál se toma en segundo lugar. Eso es,
o equivalente
Las derivadas parciales propias y cruzadas aparecen en la matriz de Hesse que se utiliza en condiciones de segundo orden en problemas de optimización . Las derivadas parciales de orden superior se pueden obtener mediante diferenciación sucesiva
Existe un concepto para derivadas parciales que es análogo al de antiderivadas para derivadas regulares. Dada una derivada parcial, permite la recuperación parcial de la función original.
Consideremos el ejemplo de
La llamada integral parcial se puede tomar con respecto a x (tratando y como constante, de manera similar a la derivación parcial):
Aquí, la constante de integración ya no es una constante, sino una función de todas las variables de la función original excepto x . La razón de esto es que todas las demás variables se tratan como constantes al tomar la derivada parcial, por lo que cualquier función que no involucre a x desaparecerá al tomar la derivada parcial, y tenemos que tener en cuenta esto cuando tomamos la primitiva. La forma más general de representar esto es hacer que la constante represente una función desconocida de todas las demás variables.
Así, el conjunto de funciones , donde g es cualquier función de un argumento, representa el conjunto completo de funciones en variables x , y que podrían haber producido la derivada parcial de x .
Si se conocen todas las derivadas parciales de una función (por ejemplo, con el gradiente ), entonces las antiderivadas se pueden hacer coincidir mediante el proceso anterior para reconstruir la función original hasta una constante. Sin embargo, a diferencia del caso de una sola variable, no todo conjunto de funciones puede ser el conjunto de todas las (primeras) derivadas parciales de una sola función. En otras palabras, no todos los campos vectoriales son conservadores .
El volumen V de un cono depende de la altura del cono h y su radio r según la fórmula
La derivada parcial de V con respecto a r es
que representa la velocidad con la que cambia el volumen de un cono si se varía su radio y se mantiene constante su altura. La derivada parcial con respecto a h es igual a , que representa la velocidad con la que cambia el volumen si se varía su altura y se mantiene constante su radio.
Por el contrario, la derivada total de V con respecto a r y h son respectivamente
La diferencia entre la derivada total y la derivada parcial es la eliminación de dependencias indirectas entre variables en las derivadas parciales.
Si (por alguna razón arbitraria) las proporciones del cono deben permanecer iguales y la altura y el radio están en una proporción fija k ,
Esto da la derivada total con respecto a r ,
lo que simplifica a
De manera similar, la derivada total con respecto a h es
La derivada total con respecto a r y h del volumen previsto como función escalar de estas dos variables viene dada por el vector gradiente
Las derivadas parciales aparecen en cualquier problema de optimización basado en cálculo con más de una variable de elección. Por ejemplo, en economía una empresa puede desear maximizar el beneficio π( x , y ) con respecto a la elección de las cantidades xey de dos tipos diferentes de producción. Las condiciones de primer orden para esta optimización son π x = 0 = π y . Dado que ambas derivadas parciales π x y π y generalmente serán funciones de ambos argumentos x e y , estas dos condiciones de primer orden forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .
Las derivadas parciales aparecen en ecuaciones termodinámicas como la ecuación de Gibbs-Duhem , en la mecánica cuántica como en la ecuación de ondas de Schrödinger , así como en otras ecuaciones de la física matemática . Las variables que se mantienen constantes en las derivadas parciales aquí pueden ser razones de variables simples como fracciones molares x i en el siguiente ejemplo que involucra las energías de Gibbs en un sistema de mezcla ternario:
Expresar fracciones molares de un componente como funciones de las fracciones molares y relaciones molares binarias de otros componentes:
Los cocientes diferenciales se pueden formar en razones constantes como las anteriores:
Las relaciones X, Y, Z de fracciones molares se pueden escribir para sistemas ternarios y multicomponentes:
que se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales como:
Esta igualdad se puede reorganizar para tener un cociente diferencial de fracciones molares en un lado.
Las derivadas parciales son clave para los algoritmos de cambio de tamaño de imágenes que tienen en cuenta el objetivo. Ampliamente conocidos como tallado de costuras , estos algoritmos requieren que a cada píxel de una imagen se le asigne una "energía" numérica para describir su diferencia con respecto a los píxeles adyacentes ortogonales. Luego, el algoritmo elimina progresivamente las filas o columnas con la energía más baja. La fórmula establecida para determinar la energía de un píxel (magnitud del gradiente en un píxel) depende en gran medida de las construcciones de derivadas parciales.
Las derivadas parciales desempeñan un papel destacado en economía , en la que la mayoría de las funciones que describen el comportamiento económico postulan que el comportamiento depende de más de una variable. Por ejemplo, una función de consumo social puede describir que la cantidad gastada en bienes de consumo depende tanto del ingreso como de la riqueza; la propensión marginal a consumir es entonces la derivada parcial de la función de consumo con respecto a la renta.