Modelo negro-Scholes

Modelo matemático de los mercados financieros.

El modelo Black-Scholes / ˌ b l æ k ˈ ʃ oʊ l z / [ ^1] o Black-Scholes-Merton es un modelo matemático para la dinámica de un mercado financiero que contiene instrumentos de inversión derivados . A partir de la ecuación diferencial parcial parabólica del modelo, conocida como ecuación de Black-Scholes , se puede deducir la fórmula de Black-Scholes , que proporciona una estimación teórica del precio de las opciones de estilo europeo y muestra que la opción tiene un precio único dado el riesgo del valor y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado del valor con la tasa neutral al riesgo ). La ecuación y el modelo llevan el nombre de los economistas Fischer Black y Myron Scholes . A veces también se le da crédito a Robert C. Merton , quien fue el primero en escribir un artículo académico sobre el tema.

El principio fundamental detrás del modelo es cubrir la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de una manera específica para eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina " cobertura delta continuamente revisada " y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las utilizadas por los bancos de inversión y los fondos de cobertura .

El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes, por los participantes del mercado de opciones. ^{[2] : 751} Los supuestos del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, dando lugar a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la fijación de precios de derivados y en la gestión de riesgos. Los participantes del mercado utilizan con frecuencia las ideas del modelo, ejemplificadas por la fórmula de Black-Scholes, a diferencia de los precios reales. Estos conocimientos incluyen límites sin arbitraje y precios neutrales al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción, permite fijar el precio utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene un solo parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque se puede encontrar a partir del precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (ya sea de venta o de compra) aumenta en este parámetro, se puede invertir para producir una " superficie de volatilidad " que luego se utiliza para calibrar otros modelos, por ejemplo, para derivados OTC .

Historia

Los economistas Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del título, inventando así el argumento de neutralidad al riesgo . ^{[3] [4]} Basaron su pensamiento en trabajos realizados previamente por investigadores y profesionales de mercado, incluidos Louis Bachelier , Sheen Kassouf y Edward O. Thorp . Black y Scholes intentaron entonces aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a la falta de gestión de riesgos en sus operaciones. En 1970 decidieron regresar al ambiente académico. ^[5] Después de tres años de esfuerzos, la fórmula—llamada así en honor a ellos por hacerla pública—fue finalmente publicada en 1973 en un artículo titulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", en el Journal of Political Economy . ^{[6] [7] [8]} Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que amplía la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término " modelo de valoración de opciones de Black-Scholes ".

La fórmula provocó un auge en el comercio de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades de la Bolsa de Opciones de la Junta de Chicago y otros mercados de opciones en todo el mundo. ^[9]

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 1997 por su trabajo, y el comité citó su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un gran avance que separa la opción del riesgo del valor subyacente. ^[10] Aunque no era elegible para el premio debido a su muerte en 1995, Black fue mencionado como colaborador por la Academia Sueca . ^[11]

Hipótesis fundamentales

El modelo de Black-Scholes supone que el mercado consta de al menos un activo riesgoso, normalmente llamado acciones, y un activo sin riesgo, normalmente llamado mercado monetario , efectivo o bonos .

Se hacen las siguientes suposiciones sobre los activos (que se relacionan con los nombres de los activos):

• Tasa sin riesgo: la tasa de rendimiento del activo sin riesgo es constante y por eso se denomina tasa de interés libre de riesgo .
• Paseo aleatorio: el rendimiento logarítmico instantáneo del precio de las acciones es un paseo aleatorio infinitesimal con deriva; más precisamente, el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico y se supone que la deriva y la volatilidad del movimiento son constantes. Si la deriva y la volatilidad varían en el tiempo, se puede deducir una fórmula de Black-Scholes adecuadamente modificada, siempre que la volatilidad no sea aleatoria.
• La acción no paga dividendos . ^{[Notas 1]}

Los supuestos sobre el mercado son:

• No hay oportunidad de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener ganancias sin riesgo).
• Capacidad para pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso una fracción, de efectivo a una tasa sin riesgo.
• Capacidad para comprar y vender cualquier cantidad, incluso una fracción, de las acciones (esto incluye las ventas en corto ).
• Las transacciones anteriores no generan tarifas ni costos (es decir, mercado sin fricciones ).

Con estos supuestos, supongamos que hay un valor derivado que también se negocia en este mercado. Se especifica que este título tendrá un pago determinado en una fecha determinada en el futuro, dependiendo de los valores tomados por la acción hasta esa fecha. Aunque se desconoce la trayectoria que seguirá el precio de las acciones en el futuro, el precio del derivado se puede determinar en el momento actual. Para el caso especial de una opción call o put europea, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta , consistente en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá de la precio de la acción". ^[12] Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varios de estos supuestos del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas (Merton, 1976), ^{[ cita necesaria ]} costos de transacción e impuestos (Ingersoll, 1976), ^{[ cita necesaria ]} y pago de dividendos. ^[13]

Notación

La notación utilizada en el análisis del modelo de Black-Scholes se define de la siguiente manera (definiciones agrupadas por tema):

Generales y relacionados con el mercado:

${\displaystyle t}$es un tiempo en años; con representación general del presente año. ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle r}$es la tasa de interés libre de riesgo anualizada , de capitalización continua (también conocida como fuerza del interés ).

Relacionado con activos:

${\displaystyle S(t)}$es el precio del activo subyacente en el momento t , también indicado como . ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \mu }$es la tasa de deriva de , anualizada. ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sigma }$es la desviación estándar de los rendimientos de la acción. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precios logarítmicos de la acción, una medida de su volatilidad .

Opción relacionada:

${\displaystyle V(S,t)}$es el precio de la opción en función del activo subyacente S en el momento t, en particular:

${\displaystyle C(S,t)}$es el precio de una opción de compra europea y

${\displaystyle P(S,t)}$es el precio de una opción de venta europea.

${\displaystyle T}$es el momento del vencimiento de la opción.

${\displaystyle \tau }$es el tiempo hasta el vencimiento: . ${\displaystyle \tau =T-t}$

${\displaystyle K}$es el precio de ejercicio de la opción, también conocido como precio de ejercicio.

${\displaystyle N(x)}$denota la función de distribución acumulativa normal estándar :

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.}$

${\displaystyle N'(x)}$denota la función de densidad de probabilidad normal estándar :

${\displaystyle N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Ecuación de Black-Scholes

Movimientos brownianos geométricos simulados con parámetros de datos de mercado

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe el precio de la opción, donde es el precio del subyacente y es el tiempo: ${\displaystyle V(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

Una idea financiera clave detrás de la ecuación es que se puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente y el activo de la cuenta bancaria (efectivo) de tal manera que se "elimine el riesgo". Esto implica que existe un precio único para la opción dada por la fórmula de Black-Scholes (consulte la siguiente sección).

Fórmula de Black-Scholes

Una opción de compra europea valorada utilizando la ecuación de fijación de precios de Black-Scholes para variar el precio de los activos y el tiempo de vencimiento . En este ejemplo particular, el precio de ejercicio se establece en 1. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones de compra y venta europeas . Este precio es consistente con la ecuación de Black-Scholes. Esto se deduce ya que la fórmula se puede obtener resolviendo la ecuación para las condiciones terminales y de contorno correspondientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all }}t\\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos en términos de los parámetros de Black-Scholes es:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}$

El precio de una opción de venta correspondiente basada en la paridad de venta y compra con factor de descuento es: ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,}$

Formulación alternativa

La introducción de variables auxiliares permite simplificar y reformular la fórmula de una forma que pueda resultar más conveniente (este es un caso especial de la fórmula Black '76 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle D=e^{-r\tau }}$es el factor de descuento

${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$es el precio a plazo del activo subyacente, y ${\displaystyle S=DF}$

Dada la paridad put-call, que se expresa en estos términos como:

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$

El precio de una opción de venta es:

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$

Interpretación

Es posible tener interpretaciones intuitivas de la fórmula de Black-Scholes, siendo la principal sutileza la interpretación y el por qué hay dos términos diferentes. ^[14] ${\displaystyle d_{\pm }}$

La fórmula se puede interpretar descomponiendo primero una opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias : una opción de compra de activo o nada menos una opción de compra de efectivo o nada (una opción de compra larga de activo o nada, una opción de compra corta de efectivo o nada) nada llama). Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una opción de compra de activo o nada simplemente genera el activo (sin efectivo a cambio) y una opción de compra de efectivo o nada solo genera efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black-Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales a los valores de las opciones de compra binarias. Estas opciones binarias se negocian con menos frecuencia que las opciones de compra estándar, pero son más fáciles de analizar.

Así la fórmula:

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$

se divide como:

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

donde es el valor presente de una opción de compra de activo o nada y es el valor presente de una opción de compra de efectivo o nada. El factor D es para descontar, porque la fecha de vencimiento es futura, y al eliminarlo se cambia el valor presente a valor futuro (valor al vencimiento). Por lo tanto , es el valor futuro de una opción de compra de activos o nada y es el valor futuro de una opción de compra de efectivo o nada. En términos neutrales al riesgo, estos son el valor esperado del activo y el valor esperado del efectivo en la medida neutral al riesgo. ${\displaystyle DN(d_{+})F}$ ${\displaystyle DN(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{+})~F}$ ${\displaystyle N(d_{-})~K}$

Una interpretación ingenua, y ligeramente incorrecta, de estos términos es que es la probabilidad de que la opción venza en el dinero , multiplicada por el valor del subyacente al vencimiento F, mientras que es la probabilidad de que la opción venza en el dinero multiplicada por el valor del efectivo al vencimiento K. Esta interpretación es incorrecta porque ambos binarios vencen en el dinero o ambos vencen fuera del dinero (o el efectivo se intercambia por el activo o no), pero las probabilidades y no son iguales. De hecho, pueden interpretarse como medidas de moneyness (en desviaciones estándar) y como probabilidades de vencimiento del ITM ( porcentaje de moneyness ), en el numerario respectivo , como se analiza a continuación. En pocas palabras, la interpretación de la opción en efectivo es correcta, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del activo subyacente y, por lo tanto, puede interpretarse como un producto simple de "probabilidad multiplicada por el valor", mientras que la opción es más complicada. , ya que la probabilidad de vencimiento del dinero y el valor del activo al vencimiento no son independientes. ^[14] Más precisamente, el valor del activo al vencimiento es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo en sí (una cantidad fija del activo) y, por lo tanto, estas cantidades son independientes si se cambia el numerario al activo en lugar de efectivo. ${\displaystyle N(d_{+})F}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{-}),}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})}$ ${\displaystyle d_{\pm }}$ ${\displaystyle N(d_{\pm })}$ ${\displaystyle N(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{+})F}$

Si se utiliza el spot S en lugar del forward F, en lugar del término hay , que puede interpretarse como un factor de deriva (en la medida neutral al riesgo para el numerario apropiado). El uso de d ₋ para la cantidad de dinero en lugar de la cantidad de dinero estandarizada  (en otras palabras, la razón del factor) se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución logarítmica normal ; es el mismo factor que en el lema de Itō aplicado al movimiento browniano geométrico . Además, otra forma de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es que reemplazar por en la fórmula produce un valor negativo para las opciones de compra fuera de dinero. ^{[14] : 6} ${\displaystyle d_{\pm }}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$ ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})}$

En detalle, los términos son las probabilidades de que la opción expire en el dinero según la medida de probabilidad de martingala exponencial equivalente (numéraire=acciones) y la medida de probabilidad de martingala equivalente (numéraire=activo libre de riesgo), respectivamente. ^[14] La densidad de probabilidad neutral al riesgo para el precio de las acciones es ${\displaystyle N(d_{+}),N(d_{-})}$ ${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

donde se define como arriba. ${\displaystyle d_{-}=d_{-}(K)}$

Específicamente, es la probabilidad de que se ejerza la opción de compra siempre que se suponga que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. , sin embargo, no se presta a una interpretación probabilística simple. se interpreta correctamente como el valor presente, utilizando la tasa de interés libre de riesgo, del precio esperado del activo al vencimiento, dado que el precio del activo al vencimiento está por encima del precio de ejercicio. ^[15] Para una discusión relacionada (y una representación gráfica), consulte el método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales . ${\displaystyle N(d_{-})}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle SN(d_{+})}$

La medida de probabilidad martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo . Tenga en cuenta que ambas son probabilidades en el sentido teórico de la medida , y ninguna de ellas es la verdadera probabilidad de vencer en el dinero según la medida de probabilidad real . Para calcular la probabilidad bajo la medida de probabilidad real ("física"), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física o, de manera equivalente, el precio de mercado del riesgo .

Derivaciones

En el artículo Ecuación de Black-Scholes se proporciona una derivación estándar para resolver la EDP de Black-Scholes .

La fórmula de Feynman-Kac dice que la solución a este tipo de PDE, cuando se descuenta adecuadamente, es en realidad una martingala . Por tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad al riesgo y se puede realizar sin conocimiento de las PDE. ^[14] Tenga en cuenta que la expectativa de pago de la opción no se realiza según la medida de probabilidad del mundo real , sino una medida artificial neutral al riesgo , que difiere de la medida del mundo real. Para conocer la lógica subyacente, consulte la sección "Valoración neutral al riesgo" en Fijación de precios racional , así como la sección "Precios de derivados: el mundo Q " en Finanzas matemáticas ; para más detalles, una vez más, consulte Casco . ^{[16] : 307–309}

Las opciones griegas

" Los griegos " miden la sensibilidad del valor de un producto derivado o de una cartera financiera a los cambios en los valores de los parámetros manteniendo fijos los demás parámetros. Son derivadas parciales del precio con respecto a los valores de los parámetros. Un griego, "gamma" (así como otros que no figuran aquí) es un derivado parcial de otro griego, "delta" en este caso.

Los griegos son importantes no sólo en la teoría matemática de las finanzas, sino también para quienes comercian activamente. Las instituciones financieras normalmente establecerán valores límite (de riesgo) para cada uno de los griegos que sus operadores no deben exceder. ^[17]

La delta es la griega más importante ya que suele conferir el mayor riesgo. Muchos operadores pondrán a cero su delta al final del día si no especulan sobre la dirección del mercado y no siguen un enfoque de cobertura delta neutral según lo define Black-Scholes. Cuando un operador busca establecer una cobertura delta eficaz para una cartera, también puede intentar neutralizar la gamma de la cartera , ya que esto garantizará que la cobertura sea eficaz en una gama más amplia de movimientos de precios subyacentes.

Los griegos de Black-Scholes se dan en forma cerrada a continuación. Se pueden obtener por diferenciación de la fórmula de Black-Scholes.

Tenga en cuenta que a partir de las fórmulas, queda claro que la gamma tiene el mismo valor para opciones de compra y de venta, y también la vega tiene el mismo valor para opciones de compra y de venta. Esto se puede ver directamente a partir de la paridad put-call , ya que la diferencia entre una opción put y call es un forward, que es lineal en S e independiente de σ (por lo que un forward tiene cero gamma y cero vega). N' es la función de densidad de probabilidad normal estándar.

En la práctica, algunas sensibilidades suelen citarse en términos reducidos, para que coincidan con la escala de cambios probables en los parámetros. Por ejemplo, rho a menudo se informa dividido por 10 000 (cambio de tasa de 1 punto básico), vega por 100 (cambio de 1 punto de volumen) y theta por 365 o 252 (descenso de 1 día basado en días calendario o días de negociación por año).

Tenga en cuenta que "Vega" no es una letra del alfabeto griego; el nombre surge de una mala interpretación de la letra griega nu (traducida de diversas formas como , ν y ν) como V. ${\displaystyle \nu }$

Extensiones del modelo.

El modelo anterior puede ampliarse a tasas y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también puede utilizarse para valorar opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, están disponibles soluciones de forma cerrada si el dividendo es una proporción conocida del precio de las acciones. Las opciones estadounidenses y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar y existe una variedad de técnicas de solución disponibles (por ejemplo, celosías y cuadrículas ).

Instrumentos que pagan dividendos de rendimiento continuo

Para las opciones sobre índices, es razonable asumir la suposición simplificadora de que los dividendos se pagan continuamente y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.

Luego, el pago de dividendos pagado durante el período se modela como: ${\displaystyle [t,t+dt]}$

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

para alguna constante (la rentabilidad por dividendo ). ${\displaystyle q}$

Según esta formulación, se puede demostrar que el precio libre de arbitraje implícito en el modelo de Black-Scholes es:

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

y

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

donde ahora

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

es el precio a plazo modificado que se produce en los términos : ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$

y

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$. ^[18]

Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos

También es posible ampliar el marco de Black-Scholes a opciones sobre instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción se ejecuta sobre una sola acción.

Un modelo típico consiste en suponer que una proporción del precio de las acciones se paga en momentos predeterminados . Luego, el precio de la acción se modela como: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

¿Dónde está el número de dividendos que se han pagado por tiempo ? ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$

El precio de una opción de compra sobre dicha acción es nuevamente:

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

donde ahora

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

es el precio a plazo de las acciones que pagan dividendos.

opciones americanas

El problema de encontrar el precio de una opción americana está relacionado con el problema de parada óptima de encontrar el tiempo para ejecutar la opción. Dado que la opción americana puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad variacional de la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^[19]

junto con donde denota el pago al precio de las acciones y la condición terminal: . ${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$ ${\displaystyle H(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$

En general, esta desigualdad no tiene una solución de forma cerrada, aunque una opción de compra estadounidense sin dividendos es igual a una opción de compra europea y el método Roll-Geske-Whaley proporciona una solución para una opción de compra estadounidense con un dividendo; ^{[20] [21]} ver también la aproximación de las negras .

Barone-Adesi y Whaley ^[22] es una fórmula de aproximación adicional. Aquí, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de la opción europea y la prima de ejercicio anticipado. Con algunas suposiciones se obtiene entonces una ecuación cuadrática que se aproxima a la solución de este último. Esta solución implica encontrar el valor crítico , , tal que sea indiferente entre el ejercicio anticipado y el mantenimiento hasta el vencimiento. ^{[23] [24]} ${\displaystyle s*}$

Bjerksund y Stensland ^[25] proporcionan una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación. En este caso, si el precio del activo subyacente es mayor o igual que el precio de activación, es óptimo ejercerlo y el valor debe ser igual a ; de lo contrario, la opción "se reduce a: (i) una opción de compra europea arriba y abajo ... y (ii) un reembolso que se recibe en la fecha de eliminación si la opción se elimina antes de la fecha de vencimiento". La fórmula se modifica fácilmente para la valoración de una opción de venta, utilizando la paridad de compra y venta . Esta aproximación es computacionalmente económica y el método es rápido, con evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa para fijar el precio de opciones a largo plazo que Barone-Adesi y Whaley. ^[26] ${\displaystyle S-X}$

puesta perpetua

A pesar de la falta de una solución analítica general para las opciones de venta estadounidenses, es posible derivar dicha fórmula para el caso de una opción perpetua, lo que significa que la opción nunca vence (es decir, ). ^[27] En este caso, la caída temporal de la opción es igual a cero, lo que lleva a que la PDE de Black-Scholes se convierta en una EDO: ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

$${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0}$$

${\displaystyle S_{-}}$

$${\displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},\quad V_{S}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K}$$

$${\displaystyle V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}}$$

${\displaystyle S_{-}\leq S}$ ${\displaystyle i={1,2}}$

$${\displaystyle \left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0}$$

$${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0}$$

fórmula cuadrática ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle A_{1}=0}$ ${\displaystyle V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}}$

$${\displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}}$$

$${\displaystyle V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}}$$

$${\displaystyle V_{S}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$$

${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$

$${\displaystyle V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}}$$

Opciones binarias

Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes con la función de Heaviside como condición de contorno, se termina con el precio de las opciones que pagan una unidad por encima de un precio de ejercicio predefinido y nada por debajo. ^[28]

De hecho, la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra básica (o opción de venta) se puede interpretar descomponiendo una opción de compra en una opción de compra de activo o nada menos una opción de compra de efectivo o nada, y de manera similar para una opción de venta: las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos de la fórmula de Black-Scholes.

Llamada de efectivo o nada

Esto paga una unidad de efectivo si el precio al contado está por encima del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,}$

Dinero en efectivo o nada

Esto paga una unidad de efectivo si el precio al contado está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,}$

Llamada de activo o nada

Esto paga una unidad de activo si el precio al contado está por encima del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,}$

Venta de activo o nada

Esto paga una unidad de activo si el precio al contado está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$

Divisas (FX)

Si denotamos por S el tipo de cambio FOR/DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale S unidades de moneda nacional), se puede observar que pagar 1 unidad de moneda nacional si el precio al contado al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio es exactamente como un call y put en efectivo o nada, respectivamente. De manera similar, pagar 1 unidad de moneda extranjera si el precio al contado al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio es exactamente como un call y un put de activo o nada, respectivamente. Por lo tanto, tomando , la tasa de interés extranjera , la tasa de interés interna y el resto como se indicó anteriormente, se pueden obtener los siguientes resultados: ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle r_{d}}$

En el caso de una llamada digital (ésta es una llamada FOR/put DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente:

${\displaystyle C=e^{-r_{d}T}N(d_{2})\,}$

En el caso de una opción de venta digital (ésta es una opción de venta FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente:

${\displaystyle P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2})\,}$

En el caso de una llamada digital (es una llamada FOR/put DOM), se paga una unidad de moneda extranjera obtenida como valor presente:

${\displaystyle C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1})\,}$

En el caso de una opción de venta digital (ésta es una opción de venta FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor presente:

${\displaystyle P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1})\,}$

Sesgar

En el modelo estándar de Black-Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en el mundo neutral al riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar dentro del dinero * unidad, descontada al valor presente. El modelo de Black-Scholes se basa en la simetría de distribución e ignora la asimetría de la distribución del activo. Los creadores de mercado ajustan dicha asimetría, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente en todos los ejercicios, incorporando una variable en la que la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así la asimetría de la volatilidad en cuenta. El sesgo es importante porque afecta al binario considerablemente más que las opciones normales. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (K)}$

Una opción de compra binaria es, con vencimientos largos, similar a un diferencial de compra ajustado que utiliza dos opciones básicas. Se puede modelar el valor de una opción binaria de efectivo o nada, C , en el ejercicio K , como un diferencial infinitamente ajustado, donde es una opción de compra europea vainilla: ^{[29] [30]} ${\displaystyle C_{v}}$

${\displaystyle C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}}$

Así, el valor de una call binaria es el negativo de la derivada del precio de una call vainilla con respecto al precio de ejercicio:

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$

Cuando se tiene en cuenta el sesgo de la volatilidad, es función de : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando el sesgo:

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}}$es la Vega de la llamada vainilla; A veces se le llama "pendiente sesgada" o simplemente "sesgada". Si el sesgo suele ser negativo, el valor de una llamada binaria será mayor si se tiene en cuenta el sesgo. ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

${\displaystyle C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}}$

Relación con los griegos de las opciones vainilla

Dado que una opción call binaria es una derivada matemática de una opción call básica con respecto al ejercicio, el precio de una opción call binaria tiene la misma forma que el delta de una opción call básica, y el delta de una opción call binaria tiene la misma forma que la gamma de una llamada vainilla.

Black-Scholes en la práctica

El supuesto de normalidad del modelo de Black-Scholes no capta movimientos extremos como las caídas del mercado de valores .

No todos los supuestos del modelo de Black-Scholes son empíricamente válidos. El modelo se utiliza ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero una aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones: seguir ciegamente el modelo expone al usuario a riesgos inesperados. ^{[31] [ ¿ fuente poco confiable? ]} Entre las limitaciones más importantes se encuentran:

• la subestimación de movimientos extremos, lo que genera un riesgo de cola , que puede cubrirse con opciones fuera del dinero ;
• la asunción de operaciones instantáneas y sin costos, lo que genera un riesgo de liquidez , que es difícil de cubrir;
• la asunción de un proceso estacionario, lo que genera riesgo de volatilidad , que puede cubrirse con cobertura de volatilidad;
• la suposición de tiempo continuo y negociación continua, lo que genera un riesgo de brecha, que puede cubrirse con cobertura Gamma;
• el modelo tiende a subvalorar las opciones que están muy fuera de dinero y a sobrevalorar las opciones que están muy dentro del dinero. ^[32]

En resumen, mientras que en el modelo de Black-Scholes se pueden cubrir perfectamente las opciones simplemente mediante la cobertura Delta , en la práctica existen muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados que utilizan el modelo de Black-Scholes difieren de los precios del mundo real debido a los supuestos simplificadores del modelo. Una limitación importante es que, en realidad, los precios de los valores no siguen un proceso logarítmico normal estricto y tampoco se conoce realmente el interés libre de riesgo (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar cambios de volatilidad. Las discrepancias de precios entre el modelo empírico y el de Black-Scholes se han observado desde hace mucho tiempo en opciones que están muy fuera del dinero , lo que corresponde a cambios extremos de precios; Estos eventos serían muy raros si los rendimientos tuvieran una distribución lognormal, pero se observan con mucha más frecuencia en la práctica.

Sin embargo, la fijación de precios de Black-Scholes se utiliza ampliamente en la práctica, ^{[2] : 751  [33]} porque es:

• fácil de calcular
• una aproximación útil, particularmente cuando se analiza la dirección en la que se mueven los precios al cruzar puntos críticos
• una base sólida para modelos más refinados
• reversible, ya que la producción original del modelo, el precio, se puede utilizar como insumo y resolver una de las otras variables; La volatilidad implícita calculada de esta manera se utiliza a menudo para cotizar precios de opciones (es decir, como convención de cotización ).

El primer punto es evidentemente útil. Los demás se pueden discutir más a fondo:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo suelen ser útiles para establecer coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente exactos, sirven como una primera aproximación a la cual se pueden hacer ajustes.

Base para modelos más refinados: el modelo de Black-Scholes es sólido porque puede ajustarse para abordar algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, se los considera variables y, por lo tanto, fuentes añadidas de riesgo. Esto se refleja en los griegos (el cambio en el valor de la opción por un cambio en estos parámetros, o equivalentemente los derivados parciales con respecto a estas variables), y la cobertura de estos griegos mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, en particular el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de tensión .

Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de asumir una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede utilizar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción a precios, duraciones y precios de ejercicio determinados. Al resolver la volatilidad en un conjunto determinado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita . En esta aplicación del modelo de Black-Scholes, se obtiene una transformación de coordenadas del dominio de precios al dominio de volatilidad . En lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre ejercicios, duraciones y frecuencias de los cupones), los precios de las opciones pueden cotizarse en términos de volatilidad implícita, lo que lleva a negociar la volatilidad en los mercados de opciones.

La sonrisa de la volatilidad

Una de las características atractivas del modelo Black-Scholes es que los parámetros del modelo distintos de la volatilidad (el tiempo hasta el vencimiento, el ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo y el precio subyacente actual) son inequívocamente observables. En igualdad de condiciones, el valor teórico de una opción es una función monótona creciente de la volatilidad implícita.

Al calcular la volatilidad implícita de las opciones negociadas con diferentes ejercicios y vencimientos, se puede probar el modelo de Black-Scholes. Si el modelo de Black-Scholes se cumpliera, entonces la volatilidad implícita de una acción en particular sería la misma para todas las huelgas y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico tridimensional de la volatilidad implícita frente al ejercicio y el vencimiento) no es plana.

La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento determinado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas sesgadas: en comparación con las acciones at-the-money , la volatilidad implícita es sustancialmente mayor para los precios de ejercicio bajos y ligeramente menor para los precios de ejercicio altos. Las monedas tienden a tener curvas más simétricas, con una volatilidad implícita más baja en el dinero y volatilidades más altas en ambas alas. Las materias primas a menudo tienen el comportamiento inverso al de las acciones, con una mayor volatilidad implícita para los precios de strike más altos.

A pesar de la existencia de la sonrisa de la volatilidad (y la violación de todos los demás supuestos del modelo de Black-Scholes), la PDE de Black-Scholes y la fórmula de Black-Scholes todavía se utilizan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho sobre el mercado y utilizar una volatilidad implícita de ella en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como utilizar "el número incorrecto en la fórmula incorrecta para obtener el precio correcto". ^[34] Este enfoque también proporciona valores utilizables para los ratios de cobertura (los griegos). Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, precios de ejercicio, etc. Para una discusión sobre los diversos enfoques alternativos desarrollados aquí, consulte Economía financiera § Desafíos y críticas .

Valoración de opciones de bonos

Black-Scholes no se puede aplicar directamente a los títulos de bonos debido al pull-to-par . A medida que el bono llega a su fecha de vencimiento, todos los precios relacionados con el bono se conocen, lo que disminuye su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Para abordar este fenómeno se han utilizado un gran número de extensiones de Black-Scholes, comenzando con el modelo Black . ^[35] Ver Opción de Bonos § Valoración .

Curva de tipos de interés

En la práctica, las tasas de interés no son constantes: varían según el plazo (frecuencia del cupón), lo que da una curva de tasas de interés que puede interpolarse para elegir una tasa adecuada para usar en la fórmula de Black-Scholes. Otra consideración es que las tasas de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede contribuir significativamente al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente como la relación entre la tasa de interés y el precio de los bonos, que está inversamente relacionada.

Tasa de acciones cortas

Tomar una posición corta en acciones , como es inherente a la derivación, no suele estar libre de costos; De manera equivalente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña tarifa . En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a los efectos de una valoración Black-Scholes, siempre que no haya una asimetría evidente entre el costo del endeudamiento de acciones a corto plazo y el ingreso por préstamo de acciones a largo plazo. ^{[ cita necesaria ]}

Críticas y comentarios

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb sostienen que el modelo Black-Scholes simplemente reformula los modelos existentes ampliamente utilizados en términos de "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante . ^[36] También afirman que Boness en 1964 ya había publicado una fórmula que es "en realidad idéntica" a la ecuación de fijación de precios de opciones de compra de Black-Scholes. ^[37] Edward Thorp también afirma haber adivinado la fórmula Black-Scholes en 1967, pero se la guardó para ganar dinero para sus inversores. ^[38] Emanuel Derman y Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían presentado modelos similares antes de Black y Scholes. ^[39] En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo. ^{[33] [40]}

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway , Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer el pasivo en dólares de las opciones, produce resultados extraños cuando se valoran las variedades a largo plazo". ... La fórmula Black-Scholes se ha acercado al estatus de escritura sagrada en las finanzas... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos de tiempo prolongados, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, es casi seguro que Black y Scholes entendieron bien este punto. ... Pero sus devotos seguidores pueden estar ignorando cualquier advertencia que los dos hombres pusieron cuando revelaron la fórmula por primera vez". ^[41]

El matemático británico Ian Stewart , autor del libro de 2012 titulado In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World , ^{[42] [43]} dijo que Black-Scholes había "apoyado un crecimiento económico masivo" y que "el sistema financiero internacional estaba comercializando derivados valorados en mil billones de dólares por año" para 2007. Dijo que la ecuación Black-Scholes era la "justificación matemática para el comercio" -y por lo tanto- "un ingrediente en un rico guiso de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y "regulación laxa" que contribuyó a la crisis financiera de 2007-2008 . ^[44] Aclaró que "la ecuación en sí no era el verdadero problema", sino su abuso en la industria financiera. ^[44]

El modelo de Black-Scholes supone precios subyacentes positivos; si el subyacente tiene un precio negativo , el modelo no funciona directamente. ^{[45] [46]} Cuando se trata de opciones cuyo subyacente puede volverse negativo, los profesionales pueden utilizar un modelo diferente, como el modelo de Bachelier ^{[46] [47]} o simplemente agregar una compensación constante a los precios.

Ver también

• Modelo de opciones binomiales , un método numérico discreto para calcular los precios de las opciones
• Modelo negro , una variante del modelo de valoración de opciones Black-Scholes
• Black Shoals , una obra de arte financiero
• Modelo browniano de mercados financieros
• Método Datar-Mathews para valoración de opciones reales
• Matemáticas financieras (contiene una lista de artículos relacionados)
• Método de pago difuso para la valoración de opciones reales
• Ecuación de calor , a la que se puede transformar la PDE de Black-Scholes
• Difusión de salto
• Modelo de opciones de Monte Carlo , utilizando simulación en la valoración de opciones con características complicadas
• Análisis de opciones reales
• Volatilidad estocástica

Notas

1. Aunque el modelo original no suponía dividendos, las extensiones triviales del modelo pueden acomodar un factor de rendimiento de dividendos continuo.

Referencias

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40. Ver también: Doriana Ruffinno y Jonathan Treussard (2006). Las ilusiones de la replicación dinámica: un comentario de Derman y Taleb, WP2006-019, Universidad de Boston - Departamento de Economía.
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Referencias primarias

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• Thorp, Ed. "Un hombre para todos los mercados" Random House, 2017. ISBN 978-1-4000-6796-1 

Otras lecturas

• Haug, EG (2007). "Precio de opciones y cobertura de la teoría a la práctica". Derivados: modelos sobre modelos . Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9.El libro ofrece una serie de referencias históricas que respaldan la teoría de que los operadores de opciones utilizan principios de fijación de precios y cobertura mucho más sólidos que el modelo de Black, Scholes y Merton.
• Triana, Pablo (2009). Sermoneando a los pájaros sobre el vuelo: ¿Pueden las teorías matemáticas destruir los mercados financieros? . Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5.El libro analiza críticamente el modelo de Black, Scholes y Merton.

enlaces externos

Discusión del modelo.

• Ajay Shah. Black, Merton y Scholes: su trabajo y sus consecuencias. Semanario Económico y Político, XXXII(52):3337–3342, diciembre de 1997
• La ecuación matemática que provocó la quiebra de los bancos por Ian Stewart en The Observer , 12 de febrero de 2012
• Cuando no se puede protegerse continuamente: las correcciones a Black-Scholes, Emanuel Derman

Derivación y solución

• Solución de la ecuación de Black-Scholes utilizando la función de Green, Prof. Dennis Silverman
• Artículo expositivo de la ecuación de Black-Scholes del matemático Terence Tao .

Implementaciones informáticas

• Black-Scholes en varios idiomas
• Black–Scholes en Java -moviéndose al enlace a continuación-
• Negro-Scholes en Java
• Modelo de fijación de precios de opciones de Chicago (versión gráfica)
• Modelo de superficie de volatilidad implícita de Black-Scholes-Merton (Java)
• Calculadora en línea Black-Scholes

Histórico

• Apuesta del billón de dólares: sitio web complementario de un episodio de Nova transmitido originalmente el 8 de febrero de 2000. "La película cuenta la fascinante historia de la invención de la fórmula Black-Scholes, un Santo Grial matemático que alteró para siempre el mundo de las finanzas y se ganó su creadores el Premio Nobel de Economía de 1997."
• BBC Horizon Un programa de televisión sobre la llamada fórmula de Midas y la quiebra de Long-Term Capital Management (LTCM)
• BBC News Magazine Black–Scholes: La fórmula matemática vinculada a la crisis financiera (artículo del 27 de abril de 2012)