Método Datar-Mathews para valoración de opciones reales

El Método Datar-Mathews ^[1] ( Método DM ) ^[2] es un método para la valoración de opciones reales . El método proporciona una manera fácil de determinar el valor real de la opción de un proyecto simplemente utilizando el promedio de resultados positivos del proyecto. El método puede entenderse como una extensión del modelo de Monte Carlo de múltiples escenarios del valor actual neto (VAN) con un ajuste por aversión al riesgo y toma de decisiones económicas. El método utiliza información que surge naturalmente en una valoración financiera de proyecto de flujo de efectivo descontado (DCF) estándar o VAN . Fue creado en el año 2000 por Vinay Datar, profesor de la Universidad de Seattle ; y Scott H. Mathews, miembro técnico de The Boeing Company .

Método

Fig. 1 Flujo de caja típico de un proyecto con incertidumbre

La ecuación matemática del método DM se muestra a continuación. El método captura el valor real de la opción descontando la distribución de las ganancias operativas a R , la tasa de riesgo de mercado, y descontando la distribución de la inversión discrecional a r , la tasa libre de riesgo, antes de calcular el beneficio esperado. El valor de la opción es entonces el valor esperado del máximo de la diferencia entre las dos distribuciones descontadas o cero. ^{[3] [4]} Figura 1.

${\displaystyle C_{0}=E\left[\max \left({\tilde {S}}_{T}e^{-Rt}-{\tilde {X}}_{T}e^{-rt},0\right)\right]}$

• ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T}}$es una variable aleatoria que representa los beneficios futuros o ganancias operativas en el momento T. La valoración actual de R utiliza una tasa de descuento consistente con el nivel de riesgo de R, que es la tasa de rendimiento requerida para participar en el mercado objetivo, a veces denominada tasa de rentabilidad . ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T},}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{0}={\tilde {S}}_{T}e^{-RT}.}$
• ${\displaystyle {\tilde {X}}_{T}}$es una variable aleatoria que representa el precio de ejercicio . La valoración actual de utiliza r , la tasa consistente con el riesgo de la inversión de capital de. En muchas aplicaciones de opciones generalizadas, se utiliza la tasa de descuento libre de riesgo. Sin embargo, se pueden considerar otras tasas de descuento, como la tasa de bonos corporativos, particularmente cuando la aplicación es un proyecto interno de desarrollo de productos corporativos. ${\displaystyle {\tilde {X}}_{T}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}_{T},}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}_{0}={\tilde {X}}_{T}e^{-rT}.}$
• ${\displaystyle C_{0}}$es el valor real de la opción para un proyecto de una sola etapa. El valor de la opción puede entenderse como el valor esperado de la diferencia de dos distribuciones del valor presente con un umbral económicamente racional que limita las pérdidas ajustadas al riesgo. Este valor también puede expresarse como una distribución estocástica.

La tasa de descuento diferencial para R y r implícitamente permite que el método DM tenga en cuenta el riesgo subyacente. ^[5] Si R > r , entonces la opción tendrá aversión al riesgo , algo típico tanto de las opciones financieras como de las reales. Si R < r , entonces la opción será la búsqueda de riesgos. Si R = r , entonces esto se denomina opción neutral al riesgo y tiene paralelos con los análisis de tipo VPN con la toma de decisiones, como los árboles de decisión . El método DM da los mismos resultados que los modelos de Black-Scholes y de opciones de red binomial , siempre que se utilicen los mismos datos de entrada y los mismos métodos de descuento. Por lo tanto, el valor real de esta opción no negociada depende de la percepción de riesgo del evaluador hacia un activo de mercado en relación con un activo de inversión de propiedad privada.

El método DM es ventajoso para su uso en aplicaciones de opciones reales porque, a diferencia de otros modelos de opciones, no requiere un valor para sigma (una medida de incertidumbre) o para S ₀ (el valor del proyecto actual), los cuales son difíciles de determinar. derivar para proyectos de desarrollo de nuevos productos; ver más en valoración de opciones reales . Finalmente, el Método DM utiliza valores del mundo real de cualquier tipo de distribución , evitando el requisito de conversión a valores neutrales al riesgo y la restricción de una distribución lognormal ; ^[6] Véase más adelante en Métodos de Monte Carlo para la valoración de opciones .

Se han desarrollado extensiones del método para otras valoraciones de opciones reales como contrato de garantía (opción de venta), Multietapa, Lanzamiento Temprano (opción americana), y otras.

Implementación

El método DM se puede implementar utilizando la simulación Monte-Carlo , ^[7] o en una forma algebraica simplificada u otra forma (consulte la opción de rango a continuación).

Mediante la simulación, para cada muestra, el motor extrae una variable aleatoria de ambas, calcula sus valores actuales y toma la diferencia. ^{[8] [9]} Figura 2A. El valor de diferencia se compara con cero, se determina el máximo de los dos y el motor de simulación registra el valor resultante. En este caso, reflejando la opcionalidad inherente al proyecto, una previsión de un resultado de valor neto negativo corresponde a un proyecto abandonado y tiene un valor cero. Figura 2B. Los valores resultantes crean una distribución de beneficios que representa el conjunto económicamente racional de pronósticos de valor descontado plausibles del proyecto en el momento T ₀ . ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T}{\text{ and }}{\tilde {X}}_{T},}$

Cuando se han registrado suficientes valores de rentabilidad, normalmente unos pocos cientos, se calcula la media o valor esperado de la distribución de rentabilidad. Figura 2C. El valor de la opción es el valor esperado, el primer momento de todos los VPN positivos y ceros, de la distribución de pagos. ^[10]

Una interpretación simple es:

${\displaystyle {\text{Real option value}}={\text{average}}\left[\max \left({\text{operating profit}}-{\text{launch costs}}\right),0)\right]}$

donde la utilidad operativa y los costos de lanzamiento son el rango de flujos de efectivo adecuadamente descontados al momento T ₀ . ^[11]

El valor de la opción también puede entenderse como una distribución ( ) que refleja la incertidumbre de las variables subyacentes. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{0}}$

Variaciones de la opción DM

Forma lognormal algebraica

La opción real DM puede considerarse una forma generalizada de valoración de opciones. Su simulación produce una distribución de valor presente truncada cuyo valor medio se interpreta como el valor de opción. Con ciertas condiciones de contorno, la opción DM puede reformularse algebraicamente como una expectativa condicional de una distribución lognormal similar a la forma y características de una opción financiera típica, como la opción financiera europea de etapa única Black-Scholes. Esta sección ilustra la transformación de la opción real DM a su forma lognormal algebraica y su relación con la fórmula de opción financiera de Black-Scholes. El proceso ilumina algunos de los elementos más técnicos de la formulación de la opción, proporcionando así una mayor comprensión de los conceptos subyacentes.

Fig. 3 Concepto de distribución de probabilidad condicional y media de cola.

La forma lognormal del método DM sigue siendo un concepto simple basado en los mismos procedimientos de cálculo que la forma de simulación. Es la expectativa condicional de la distribución del resultado del valor futuro proyectado descontado, menos un costo de compra predeterminado (precio de ejercicio o costo de lanzamiento), (modelado en este ejemplo como un valor escalar) multiplicado por la probabilidad de que esa distribución truncada sea mayor que un umbral: nominalmente 0. Una expectativa condicional es el valor esperado de la distribución truncada (media de la cola), MT , calculada con respecto a su distribución de probabilidad condicional ^[12] (Fig. 3). ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}_{T}}$

Fig. 4 El descuento diferenciado en el tiempo parece desplazar X en relación con S

El procedimiento de cálculo de opciones valora la inversión del proyecto (opción de compra), C ₀ , en T ₀ . Para la opción DM, el descuento diferenciado en el tiempo ( R y r ) da como resultado un cambio aparente de la distribución del resultado del valor proyectado, , en relación con , o la media escalar en el ejemplo que se muestra en la Fig. 4. ^{[13] [14]} Esto El desplazamiento relativo establece la expectativa condicional de la distribución truncada en T ₀ . ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$

En una distribución lognormal para el resultado del valor futuro de un proyecto, se deben especificar tanto la media como la desviación estándar . ^[15] La desviación estándar, , de la distribución se descuenta proporcionalmente junto con la distribución, ^[16] ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{T}}$ ${\displaystyle SD_{T}}$ ${\displaystyle SD_{T}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{T}}$ ${\displaystyle SD_{0}=SD_{T}e^{-RT}.}$

Los parámetros de , de un lognormal en T ₀ se pueden derivar de los valores respectivamente, como: ${\displaystyle \sigma {\text{ and }}\mu }$ ${\displaystyle SD_{0}{\text{ and }}S_{0}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]}}{\text{ where }}{\tfrac {SD}{S}}={\tfrac {SD_{0}}{S_{0}}}={\tfrac {SD_{T}}{S_{T}}}}$

${\displaystyle \mu =\ln \left({\tfrac {S_{0}}{\sqrt {1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}}}}\right)=\ln S_{0}-0.5\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]=\ln S_{0}-0.5\sigma ^{2}.}$

La expectativa condicional del resultado del valor descontado es la media de la cola MT :

${\displaystyle E\left[{\tilde {S}}\mid {\tilde {S}}\geq X\right]=S_{0}\left[{\tfrac {N\left({\tfrac {\mu +\sigma ^{2}-\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}{N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}}\right]{\text{ where }}N(\cdot )}$es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar (N(0,1)).

La probabilidad de que el proyecto esté in the money y sea lanzado (“ejercido”) es ${\displaystyle N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right).}$

El valor de inversión (opción) del proyecto es:

${\displaystyle C_{0}=\left\{S_{0}\left[{\tfrac {N\left({\tfrac {\sigma ^{2}+\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}{N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}}\right]-X_{0}\right\}N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right).}$

Las matemáticas lognormales involucradas pueden resultar engorrosas y opacas para algunas prácticas comerciales dentro de una corporación. Sin embargo, varias simplificaciones pueden aliviar esa carga y brindar claridad sin sacrificar la solidez del cálculo de la opción. Una simplificación es el empleo de la distribución normal estándar , también conocida como distribución Z, que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1. Es una práctica común convertir una distribución normal en una normal estándar y luego usar la distribución normal estándar. Tabla normal para encontrar el valor de las probabilidades.

Definir como variable normal estándar : ${\displaystyle Z={\tfrac {\left(\ln X_{0}-\mu \right)}{\sigma }}.}$

La expectativa condicional del resultado del valor descontado es:

${\displaystyle S_{0}\left[{\tfrac {N\left({\tfrac {\mu +\sigma ^{2}-\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}{N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}}\right]=S_{0}\left[{\tfrac {N\left(\sigma -Z\right)}{N\left(-Z\right)}}\right].}$

Entonces, la probabilidad de que el proyecto esté en el dinero y se lance (“ejerce”) es: ${\displaystyle N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)=N\left(-Z\right).}$

El valor de la opción lognormal de Datar-Mathews se simplifica a:

${\displaystyle C_{\text{DM}}=\left\{S_{0}\left[{\tfrac {N\left(\sigma -Z\right)}{N\left(-Z\right)}}\right]-X_{0}\right\}N\left(-Z\right)=S_{0}N\left(\sigma -Z\right)-X_{0}N\left(-Z\right).}$

Transformación a la opción Black-Scholes

La fórmula de opción de Black-Scholes (así como la red binomial ) es un caso especial de la opción real DM simulada. Con diferencias sutiles, pero notables, la forma logarítmica de la opción DM se puede transformar algebraicamente en la fórmula de opción de Black-Scholes. ^[17] La ​​valoración real de la opción se basa en una aproximación de la distribución del resultado del valor futuro, que puede ser lognormal, en el momento T _T proyectado (descontado) a T ₀ . Por el contrario, la Black-Scholes se basa en una distribución lognormal proyectada desde los rendimientos históricos de los activos hasta el momento actual T ₀ . ^[18] El análisis de estas tendencias históricas da como resultado un cálculo denominado factor de volatilidad (finanzas) . Para Black-Scholes (BS), el factor de volatilidad es . ^{[19] [20]} ${\displaystyle \sigma _{BS}{\sqrt {T}}}$

La siguiente distribución lognormal con una desviación estándar se reemplaza por el factor de volatilidad . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{BS}{\sqrt {T}}}$

${\displaystyle \left(\sigma -Z\right)=\sigma -{\tfrac {\left(\ln X_{0}-\mu \right)}{\sigma }}=\ln S_{0}-0.5\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]={\tfrac {\left[\ln \left({\tfrac {S_{0}}{X_{T}}}\right)+\left(r+{\tfrac {\sigma _{\text{BS}}^{2}}{2}}\right)T\right]}{\left(\sigma _{\text{BS}}{\sqrt {T}}\right)}}=d_{1}{\text{ where }}\ln X_{T}=\ln X_{0}-rT}$

${\displaystyle \left(-Z\right)=-{\tfrac {\left(\ln X_{0}-\mu \right)}{\sigma }}={\tfrac {\left[\left(\ln S_{0}-0.5\sigma ^{2}\right)-\ln X_{0}\right]}{\sigma }}={\tfrac {\left[\ln \left({\tfrac {S_{0}}{X_{T}}}\right)+\left(r-{\tfrac {\sigma _{\text{BS}}^{2}}{2}}\right)T\right]}{\left(\sigma _{\text{BS}}{\sqrt {T}}\right)}}=d_{1}-\sigma _{\text{BS}}{\sqrt {T}}=d_{2}}$

El valor de la opción Black-Scholes se simplifica a su forma familiar:

${\displaystyle C_{\text{BS}}=SN\left(d_{1}\right)-X_{T}e^{-rT}N\left(d_{2}\right)}$

Fig 5. Izquierda: Comparación de los marcos de Black Scholes y Datar-Mathews. Derecha: Detalle de cola de distribución en T ₀ .

Los términos N ( d ₁ ) y N ( d ₂ ) se aplican en el cálculo de la fórmula de Black-Scholes y son expresiones relacionadas con operaciones sobre distribuciones lognormales; ^[21] consulte la sección "Interpretación" en Black – Scholes . Con referencia a la Fig. 5 y utilizando la forma lognormal de la opción DM, es posible derivar ciertas ideas sobre el funcionamiento interno de una opción:

${\displaystyle N\left(\sigma -Z\right)=N\left(d_{1}\right)}$

${\displaystyle N\left(-Z\right)=N\left(d_{2}\right)}$

N ( -Z ) o N ( d ₂ ) es una medida del área de la cola de la distribución , MT (delineada por X ₀ ), en relación con la de toda la distribución, por ejemplo, la probabilidad de la cola de la distribución, en tiempo T ₀ . Figura 5, derecha. La verdadera probabilidad de vencer en el dinero en el mundo real (“físico”) se calcula en el momento T ₀ , la fecha de lanzamiento o huelga, medida por el área de la cola de la distribución. N ( σ-Z ) o N ( d ₁ ) es el valor del pago de la opción en relación con el del activo. donde MT es la media de la cola en el momento T ₀ . ${\displaystyle N(d_{1})=\left[MT\ x\ N(d_{2})\right]/S_{0},}$

Patrones de datos

Fig. 6 Valor de opción (C ₀ ) vs S ₀ /X ₀ - Constante UR

Un cálculo simplificado del Método DM se ajusta a las mismas características esenciales: es la expectativa condicional descontada de la distribución del resultado del valor futuro proyectado descontado, o , menos un costo descontado, multiplicado por la probabilidad de ejercicio. El valor de la opción del Método DM puede debe entenderse como Esta formulación simplificada tiene fuertes paralelos con un cálculo del valor esperado . ${\displaystyle MT}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle N\left(-Z\right).}$ ${\displaystyle C_{0}=\left(MT-X_{0}\right)\ x\ N\left(-Z\right).}$

Las empresas que recopilan datos históricos pueden aprovechar la similitud de supuestos entre proyectos relacionados, lo que facilita el cálculo de los valores de las opciones. Una simplificación resultante es el índice de incertidumbre , que a menudo puede modelarse como una constante para proyectos similares. UR es el grado de certeza con el que se pueden estimar los flujos de efectivo futuros proyectados. UR es invariante en el tiempo con valores típicamente entre 0,35 y 1,0 para muchos proyectos comerciales de varios años. ${\displaystyle \textstyle UR=(SD/S)}$ ${\displaystyle \textstyle \left({\tfrac {SD_{T}}{S_{T}}}={\tfrac {SD_{0}}{S_{0}}}\right)}$

La aplicación de esta observación como una constante, K , a las fórmulas anteriores da como resultado una formulación más simple:

${\displaystyle {\text{Define }}K=\sigma ={\sqrt {\left[\ln(1+UR^{2})\right]}}{\text{, and }}\mu =\ln S_{0}-0.5\sigma ^{2}=\ln S_{0}-0.5K^{2}.}$

${\displaystyle Z={\frac {(\ln X_{0}-\mu )}{\sigma }}={\tfrac {\ln \left({\tfrac {X_{0}}{S_{0}}}\right)}{K}}+0.5K{\text{, and }}-Z={\tfrac {\ln \left({\tfrac {S_{0}}{X_{0}}}\right)}{K}}-0.5K.}$

${\displaystyle Z}$se distribuye normalmente y se puede acceder a los valores en una tabla de variables normales estándar . El valor real de la opción resultante se puede derivar simplemente con una calculadora portátil una vez que se determina K:

${\displaystyle C_{0}=S_{0}N\left(\sigma -Z\right)-X_{0}N\left(-Z\right)=S_{0}N\left(K-Z\right)-X_{0}N\left(-Z\right).}$

Suponiendo que la UR se mantiene constante, entonces el valor relativo de la opción puede determinarse simplemente mediante la relación de , que es proporcional a la probabilidad de que el proyecto sea rentable y se lance (ejerce). Luego (Fig. 6) Normalmente se aplica una valoración de opción real cuando la probabilidad de ejercicio es aproximadamente inferior al 50% ^[22]. Las empresas necesitan aplicar sus propios datos en proyectos similares para establecer valores de parámetros relevantes. ${\displaystyle S_{0}{\text{ and }}X_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle C_{0}\approx S_{0}\ x\ \left[0.3\ x\ (S_{0}/X_{0})-k\right].}$ ${\displaystyle \left[(S_{0}/X_{0})\lessapprox 1\right].}$

Forma triangular (opción de rango)

Dada la dificultad para estimar la media de la distribución lognormal y la desviación estándar de los rendimientos futuros, se aplican con mayor frecuencia otras distribuciones para las opciones reales utilizadas en la toma de decisiones comerciales. Las distribuciones muestreadas pueden adoptar cualquier forma, aunque a menudo se utiliza la distribución triangular , como es típica en situaciones de pocos datos , seguida de una distribución uniforme (continua) o una distribución beta . ^{[23] [24]} Este enfoque es útil para estimaciones en etapas iniciales del valor de la opción del proyecto cuando no ha habido suficiente tiempo o recursos para recopilar la información cuantitativa necesaria para una simulación completa del flujo de efectivo, o en una cartera de proyectos cuando la simulación de todos los proyectos es demasiado exigente desde el punto de vista computacional. ^[25] Independientemente de la distribución elegida, el procedimiento sigue siendo el mismo para una valoración de opciones reales.

Fig. 7 Distribución de probabilidad condicional triangular

Para una distribución triangular, a veces denominada estimación de tres puntos , el valor de la moda corresponde al escenario "más probable", y los otros dos escenarios, "pesimista" y "optimista", representan desviaciones plausibles de la distribución más probable. escenario (a menudo modelado como una aproximación de una probabilidad bilateral de 1 sobre 10 o un 95% de confianza). ^{[27] [28] [29] [30]} Este rango de estimaciones da como resultado el nombre epónimo de la opción, DM Range Option. ^[31] El método DM Range Option es similar al método difuso para opciones reales . El siguiente ejemplo (Fig. 7) utiliza un rango de ganancias operativas futuras estimadas de a (pesimista), b (optimista) y m (moda o más probable).

Para descuento a , b y m por ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle e^{-RT}{\text{ and }}X_{0}=X_{T}e^{-rT}.}$

El método DM clásico supone que el precio de ejercicio está representado por una variable aleatoria (distribución ) y la solución de la opción se deriva mediante simulación . Alternativamente, sin la carga de realizar una simulación, aplicar el valor escalar promedio o medio de la distribución de costos de lanzamiento (precio de ejercicio) da como resultado una estimación conservadora del valor de la opción de rango DM. Si el costo de lanzamiento está predeterminado como un valor escalar, entonces el cálculo del valor de la opción de rango DM es exacto. ${\displaystyle {\tilde {X}}_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}_{0}}$

El valor esperado de la distribución triangular truncada (media de la cola derecha), es ${\displaystyle MT={\tfrac {\left(2X_{0}+b\right)}{3}}.}$

La probabilidad de que el proyecto sea rentable y se lance es el área proporcional de la distribución truncada en relación con la distribución triangular completa. (Ver Fig. 17) Esta expectativa parcial se calcula mediante la función de distribución acumulativa (CDF), dado que la distribución de probabilidad se encontrará en un valor mayor o igual a X :

${\displaystyle P(X_{0}|X_{0}\geq x)={\frac {\left(b-X_{0}\right)^{2}}{\left[\left(b-a\right)\left(b-m\right)\right]}}.}$

El valor de la Opción DM Range, o inversión del proyecto, es:

${\displaystyle C_{0}=\left(MT-X_{0}\right)\cdot P\left(X_{0}\vert X_{0}\geq x\right)=\left(MT-X_{0}\right)\cdot \left\{{\frac {\left(b-X_{0}\right)^{2}}{\left[\left(b-a\right)\left(b-m\right)\right]}}\right\}.}$

${\displaystyle {\text{Note: }}\mu =0.5*\ln(a+b){\text{, }}\sigma =0.25*\ln(b/a){\text{, and }}UR={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$^[32]

El uso de una opción de rango DM facilita la aplicación de la valoración de opciones reales a inversiones futuras en proyectos. La opción DM Range proporciona una estimación de valoración que difiere marginalmente de la de la forma de distribución lognormal algebraica de la opción DM. Sin embargo, el resultado del valor futuro proyectado, S , de un proyecto rara vez se basa en una distribución lognormal derivada de los rendimientos históricos de los activos, como lo es una opción financiera. Más bien, el resultado del valor futuro, S , (así como el precio de ejercicio, X , y la desviación estándar, SD ), es más que probable una estimación de tres puntos basada en parámetros de ingeniería y marketing. Por lo tanto, la facilidad de aplicación de la opción DM Range a menudo se justifica por su conveniencia y es suficiente para estimar el valor condicional de un proyecto futuro.

Opción de múltiples etapas (compuesta)

Timothy Luehrman en un artículo de HBR afirma: “En términos financieros, una estrategia empresarial se parece mucho más a una serie de opciones que a una serie de flujos de efectivo estáticos o incluso árboles de decisión . Ejecutar una estrategia casi siempre implica tomar una secuencia de decisiones arriesgadas”. ^[33] Una valoración de una estrategia empresarial en varias etapas puede modelarse como una secuencia de decisiones de inversión contingentes por etapas estructuradas como una serie de opciones de DM de una sola etapa.

Fig. 9 Distribución del valor de las opciones en tres etapas.

Al valorar una oportunidad estratégica compleja, una opción compuesta o de múltiples etapas , ^[34] es un enfoque más preciso, pero más exigente desde el punto de vista matemático, que los cálculos más simples que utilizan el modelo de árbol de decisión , los diagramas de influencia o los enfoques de modelos reticulares / binomiales . ^{[35] [36]} Cada etapa depende de la ejecución o abandono (ganancia/éxito o pérdida/fracaso) de la etapa posterior que tiene en cuenta el costo de inversión de las etapas anteriores. La literatura hace referencia a varios enfoques para modelar una opción de múltiples etapas. ^{[37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46]} Una opción de tres etapas (1 Prueba de concepto, 2 Desarrollo de prototipo, 3 Lanzamiento/Producción) se puede modelar como: ^[47] ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}C_{0}=E{\Bigl (}&if\langle \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq {\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right),if\lbrace \left({\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq {\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right),\\&\left[max\left({\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right],-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\rbrace ,0\rangle {\Bigr )}.\end{alignedat}}}$

La valoración se produce entonces en orden inverso condicionado al éxito o fracaso en cada etapa. El valor nominal de esta opción de tres etapas es la media de los múltiples flujos de efectivo simulados (normalmente varios miles de k ensayos).

Fig. 10 Dependencia de la ruta para la selección de candidatos P*.

Si bien la valoración de una opción de varias etapas es de interés técnico, el objetivo principal de un director de proyecto es maximizar la probabilidad de éxito y el valor general del proyecto. La selección astuta de los hitos de la etapa del proyecto puede lograr simultáneamente estos objetivos y al mismo tiempo proporcionar claridad en la gestión del proyecto. ^{[48] ​​[49]} Los puntos de ajuste de los hitos se determinan especificando el pago de la opción para la distribución del valor n de la etapa final y el backcasting . Se designan hitos potenciales, o umbrales de valor, para cada etapa i (se pronuncia 'P-star'). Múltiples flujos de efectivo simulados, proyectados a partir de , crean un patrón de respuestas de valor de opción para cada etapa que revela los posibles hitos de los candidatos. ^[50] La simulación evalúa los valores de las opciones de pago. ^[51] Una simulación de miles de pruebas da como resultado una valoración y clasificación de un gran conjunto de pares de datos para cada etapa i: valores de opciones de la etapa i asignados a valores candidatos . ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{0}}$ ${\displaystyle E\lbrace \left[max\left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}\right]\geq P_{i}^{*}\rbrace .}$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$

Fig. 11 Rango de posibles hitos; P** óptimo en el vértice.

Una distribución parabólica de pares de puntos de datos representa gráficamente el rango ordenado de valores de opciones de la etapa i frente a valores de hitos potenciales. Si el umbral seleccionado se establece demasiado bajo, hay demasiadas fallas de ejercicio, y numéricamente se reduce el valor esperado de la opción. Alternativamente, si el umbral seleccionado se establece demasiado alto, entonces no habrá suficientes casos de ejercicios exitosos y numéricamente el valor esperado de la opción se reducirá nuevamente. El valor óptimo del hito ("P-doble estrella") que surge durante la simulación maximiza el valor general de la opción del proyecto al equilibrar las ganancias y las pérdidas. ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}<P_{i}^{*}\right)}$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle P_{i}^{**}}$

Fig. 12 Valor de opción emergente determinado con candidatos P**.

Una opción de tres etapas optimizada para la gestión por hitos y maximización del valor se puede modelar como: ^[52]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}C_{0}=E{\Bigl (}&if\langle \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\right),if\lbrace \left({\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq P_{2}^{**}\right),\\&\left[max\left({\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right],-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\rbrace ,0\rangle {\Bigr )}.\end{alignedat}}}$^[53]

O, sucintamente,

${\displaystyle C_{0}=E\left[max\left({\tilde {S}}_{n}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{n}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{n-i}e^{-rt_{0}}\right]\times \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}^{n-1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{n-1**}\right).}$^[54]

Tenga en cuenta que, por lo general, la inserción de estos hitos condicionales cuidadosamente determinados aumenta el valor general de la opción nominal de varias etapas porque cada etapa sucesiva se ha optimizado para maximizar el valor de la opción. Mediante el uso de hitos seleccionados, el director del proyecto logra los objetivos de aumentar la probabilidad de éxito y el valor general del proyecto y, al mismo tiempo, reducir la carga de gestión del proyecto. ${\displaystyle P_{i}^{**}\gg {\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}}.}$

Integración de la curva de demanda

Fig. 13 Curvas de precio de demanda y coste. Punto de máxima rentabilidad indicado por marcadores triangulares.

Muchos proyectos en etapa inicial encuentran que los valores desconocidos dominantes son las estimaciones de rango de primer orden de los componentes principales de las ganancias operativas: ingresos y costos de fabricación de los bienes vendidos (COGS). A su vez, la incertidumbre sobre los ingresos está impulsada por estimaciones aproximadas del precio o del tamaño de la demanda del mercado. El precio y el tamaño del mercado se pueden estimar de forma independiente, aunque un mejor enfoque es combinarlos en una relación de demanda del mercado . COGS, el costo total de la cantidad de producto a vender, es el componente final y las tendencias de acuerdo con una relación de costo de experiencia o curva de aprendizaje vinculada al tamaño del mercado. La interacción de estos tres elementos del mercado dentro de una simulación de DM Real Options, incluso con rangos en las primeras etapas, puede reducir la incertidumbre para la planificación de proyectos al generar estimaciones objetivo razonablemente estrechas para el precio del producto y el tamaño de la producción que maximizan las ganancias operativas potenciales y mejoran el valor de la opción.

Fig. 14 Izquierda: Un mercado de tarifas aéreas altamente diferenciado (MCO - SFO) que muestra los montos de las tarifas pagadas por los pasajeros (PAX). Derecha: Orden de Pareto acumulativo de los datos que ilustran la alineación con una curva de demanda lognormal inversa.

Fig. 15 Un ejemplo de instancia única (dibujo de simulación) de los tres componentes que forman el gráfico de ganancias operativas. Los marcadores triangulares indican un valor máximo para la ganancia operativa, delineando el precio, las unidades y los valores de costo óptimos. Las filas amarillas indican rangos óptimos.

Una curva de demanda de precios de mercado representa gráficamente la relación entre el precio y el tamaño o cantidad demandada. La ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada, o simplemente a medida que el precio disminuye, la cantidad demandada del producto aumentará. Una segunda curva, el gráfico de costos de fabricación, modela el efecto de la curva de aprendizaje e ilustra la relación entre la cantidad de bienes producidos y las ganancias de eficiencia de esa producción. Fig. 9. Matemáticamente, la curva de aprendizaje toma la forma de una función de potencia. ^[55]

Una curva de demanda se puede modelar de manera realista utilizando una distribución lognormal inversa que convoluciona la estimación de la distribución de precios de mercado con el rango de tamaño del mercado. ^{[56] [57]} Una curva de demanda modela hábilmente mercados altamente diferenciados que, a través de los precios, distinguen características selectivas de productos o servicios como calidad, características funcionales y disponibilidad, junto con la cantidad vendida. Algunos ejemplos son los automóviles, los zapatos, los teléfonos inteligentes y las computadoras. Los mercados de tarifas aéreas están muy diferenciados, donde los precios de la demanda y la cantidad vendida dependen de la estacionalidad, el día de la semana, la hora del día, la ruta, las promociones de venta y los asientos o la clase de tarifa. El patrón de distribución de la demanda de pasajes aéreos está bien representado con una distribución lognormal inversa, como se muestra en la Fig. 10.

Las curvas para todos los componentes anteriores, precio de mercado, tamaño y COGS, se pueden simular con variabilidad para producir un ingreso de beneficio operativo óptimo para el cálculo de la opción real (Fig. 11). Por ejemplo, los resultados de la simulación representados en la Fig. 12 indican rangos de precio y cantidad unitaria que potencialmente maximizarán la rentabilidad. Extraídos de estas estimaciones de rango de primer orden, una selección de los valores máximos (frecuencia) identifica una gama significativamente reducida de estimaciones prometedoras. Conocer estos diferenciales de valor óptimos reduce sustancialmente la incertidumbre y proporciona un conjunto de parámetros mejor y más específico a partir del cual basar con confianza los planes de desarrollo de innovación y el valor de las opciones.

Fig. 16 Rangos óptimos para maximizar la rentabilidad. Izquierda: Precio $56K - $62K. Derecha: Unidades 120K - 150K. El resultado es una estimación mejorada un 85%+.

Comparación con otros métodos

El método de pago difuso para la valoración de opciones reales , creado en 2009, proporciona otro enfoque accesible para la valoración de opciones reales. Aunque cada uno utiliza diferentes métodos matemáticos (Fuzzy: lógica difusa ; DM: simulación numérica y geometría), el principio subyacente es sorprendentemente similar: la probabilidad de un pago positivo. Un examen por separado de los dos factores (posibilidad/probabilidad y beneficio positivo) demuestra esta similitud.

Fig. 17 La proporción de áreas es proporcional a la probabilidad.

La función de posibilidad para el pago difuso es . Una interpretación simple es la relación de proporcionalidad del área positiva del VPN difuso sobre el área total del VPN difuso. La probabilidad de rentabilidad del proyecto para la opción de rango DM es proporcional al área (CDF) de la distribución positiva en relación con la distribución completa. Esto se calcula como en cada una de las proporciones de las áreas que se calculan con el mismo valor de posibilidad/probabilidad. El resultado positivo del resultado difuso es simplemente la media del área positiva del VPN difuso, o . Del mismo modo, el pago positivo de la opción DM Range es la media de la cola derecha ( MT ), o menos el precio de ejercicio. Esta comprensión de la mecánica de los dos métodos ilustra no sólo su similitud sino también su equivalencia. ${\displaystyle {\tfrac {A(Pos)}{A(Pos)+A(Neg)}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\left(b-X_{0}\right)^{2}}{\left[\left(b-a\right)\left(b-m\right)\right]}}.}$ ${\displaystyle E[A^{+}]}$ ${\displaystyle {\tfrac {\left(2X_{0}+b\right)}{3}}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

En un artículo de 2016 en la revista Advances in Decision Sciences , investigadores de la Escuela de Negocios y Gestión de la Universidad Tecnológica de Lappeenranta compararon el método DM con el método de pago difuso para la valoración de opciones reales y observaron que, si bien los resultados de la valoración fueron similares, el El resultado difuso era más sólido en algunas condiciones. ^[58] En algunos casos comparativos, el método Datar-Mathews tiene una ventaja significativa en el sentido de que es más fácil de operar y conecta la valoración del VPN y el análisis de escenarios con la técnica de simulación (o geometría) de Monte Carlo, mejorando así en gran medida la intuición en el uso de opciones reales. métodos en la decisión gerencial y explicación a terceros. ^[59] A través de su interfaz de simulación, el Método Datar-Mathews se adapta fácilmente a escenarios de flujo de efectivo múltiples y a veces correlacionados, incluida la programación dinámica, típica de proyectos complejos, como el aeroespacial, que son difíciles de modelar utilizando conjuntos difusos. ^[60]

Método DM y teoría de perspectivas.

Las opciones reales consisten en valorar objetivamente las oportunidades de innovación . Resulta desconcertante que estas oportunidades, evanescentes y aparentemente arriesgadas, a menudo se comprendan de forma subjetiva. Sin embargo, tanto el mecanismo de valoración objetivo como la interpretación subjetiva de los resultados a menudo se malinterpretan, lo que genera renuencia a invertir y potencialmente infravalorar las oportunidades.

La opción real DM emplea la fórmula de valoración objetiva donde es el umbral predeterminado cuando es económicamente racional terminar (abandonar) un evento de oportunidad. Si un evento de simulación ("empate") calcula un resultado negativo (es decir, ganancias operativas menores que los costos de lanzamiento), entonces ese resultado del evento debe reducirse o terminarse racionalmente, registrando un residual. Sólo se contabilizan los resultados económicos netos positivos . Esta operación deja la percepción errónea de que "las probabilidades están acumuladas" favoreciendo sólo los resultados positivos, lo que aparentemente resulta en una valoración anormalmente alta. Sin embargo, la fórmula calcula matemáticamente el valor correcto de la opción ajustando estos resultados positivos de acuerdo con su probabilidad, es decir, probabilidad de éxito (POS). ^[61] ${\displaystyle C_{0}=E[\max(...,{\color {red}0)}],}$ ${\displaystyle \color {red}0}$ ${\displaystyle [{\tilde {S}}_{T}e^{-Rt}\leq {\tilde {X}}_{T}e^{-rt}],}$ ${\displaystyle \color {red}0}$ ${\displaystyle [{\tilde {S}}_{T}e^{-Rt}>{\tilde {X}}_{T}e^{-rt}]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C_{0}=E[\max(...,0)]}$

La fórmula DM real es donde el umbral ("piso") puede asumir cualquier valor (o fórmula alternativa), incluido el valor predeterminado . El uso de un umbral distinto de transforma la fórmula en una variación de opción ponderada por obstáculos. El resultado ya no equivale al valor de una opción financiera. ${\displaystyle C_{0}=E[\max(...,{\color {red}?})],}$ ${\displaystyle \color {red}?}$ ${\displaystyle \color {red}0}$ ${\displaystyle \color {red}0}$

Fig. 18 Resultados de baja probabilidad y alto valor (círculo rojo).

Gran parte del alto valor percibido de la valoración de una opción real se ubica desproporcionadamente en el extremo derecho de la cola de la distribución de la simulación, un área de baja probabilidad pero resultados de alto valor. La valoración de la opción refleja el valor de oportunidad potencial si se validan los diversos supuestos de resultados. Las inversiones incrementales y específicas pueden validar estos supuestos de baja probabilidad. De lo contrario, reemplace los supuestos con elementos "plausibles" probados y luego vuelva a calcular el valor basándose en nuevos aprendizajes.

La infravaloración subjetiva de las opciones reales puede explicarse en parte por las ciencias del comportamiento . Un inversor en innovación puede percibir que las inversiones iniciales suponen una pérdida potencial, especialmente si el POS es bajo. La teoría de las perspectivas de Kahneman y Tversky ^[62] proclama que se percibe que las pérdidas tienen un impacto más del doble que las ganancias por el mismo valor. ^{[63] [64]} El resultado es que el inversor con aversión a las pérdidas subestimará subjetivamente la oportunidad y, por tanto, la inversión, a pesar de la valoración objetiva y financieramente precisa de la opción real.

La aversión al arrepentimiento , otra observación de la ciencia del comportamiento, ocurre cuando se toma una decisión infundada para evitar lamentar un resultado futuro. Por ejemplo, un inversor reacio al arrepentimiento decide invertir en una "apuesta segura" relativamente pero con una oportunidad de rentabilidad menor en relación con una alternativa con una rentabilidad significativamente mayor pero presumiblemente incierta. El fenómeno de la aversión al arrepentimiento está estrechamente alineado con la aversión a la incertidumbre (sesgo de certeza), donde los aspectos desconocidos de la oportunidad de innovación (es decir, novedad, falta de control) se racionalizan como un obstáculo para futuras inversiones. Las consecuencias de una toma de decisiones contraria a las pérdidas y al arrepentimiento son inversiones parsimoniosas y una financiación insuficiente ("infravaloración") de oportunidades prometedoras de innovación en las primeras etapas.

Un inversor inteligente puede superar la percepción de una mala valoración del precio de una opción. La aversión a las pérdidas es significativamente alta cuando el valor total de la opción se interpreta como riesgo de inversión. Esta respuesta emocional no tiene en cuenta que las inversiones iniciales en las primeras etapas son sólo una fracción del valor total de la opción, necesariamente destinadas a validar los supuestos más destacados. De manera similar, la aversión al arrepentimiento no debe confundirse con aversión al riesgo porque la exposición de pequeñas inversiones en las primeras etapas generalmente no es material. En cambio, estas inversiones iniciales exploran cuidadosamente el valor central de la oportunidad al tiempo que brindan una sensación de control sobre un resultado que de otro modo sería incierto. El arrepentimiento se minimiza al darse cuenta de que el desarrollo de la oportunidad puede terminar si los resultados supuestos no son prometedores. Los fondos de inversión gastados se aplican prudentemente sólo para investigar una oportunidad prometedora y, a cambio, se ven reforzados por el conocimiento adquirido.

Dado que las personas son propensas a sufrir sesgos cognitivos , se diseñan varias estrategias de intervención para reducirlos, incluida la revisión de expertos junto con los sesgos y la conciencia del realismo ingenuo . ^[65] Un fenómeno denominado “ punto ciego de sesgo ” describe sucintamente la susceptibilidad inconsciente de un individuo a los sesgos. ^[66] Este error de atribución fundamental permanece subconscientemente oculto por una ilusión de autointrospección , es decir, que creemos, falsamente, que tenemos acceso a nuestras intenciones o motivaciones internas. Los sesgos pueden racionalizarse post hoc, pero aun así impactan la toma de decisiones. Para contrarrestar los sesgos no es suficiente simplemente ser consciente de sus características, sino que es necesario también educarse en la propia ilusión de introspección. ^[67]

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16. De ahora en adelante, se supone que las variables son escalables a menos que se especifique lo contrario como una distribución indicada por una tilde. ${\displaystyle \sim .}$
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18. El modelo de Black-Scholes asumió clásicamente que una distribución lognormal se aproximaba más a la distribución estadística de los rendimientos de un activo. Este supuesto simplificó convenientemente las matemáticas de la fórmula de valoración de opciones y sigue siendo una aproximación útil. En realidad, los precios de los valores no siguen un proceso log-normal estricto y estacionario. Los resultados de valor que utilizan el modelo de Black-Scholes difieren ligeramente de los precios de las opciones financieras del mundo real, en parte debido a los supuestos simplificadores del modelo.
19. La varianza de una distribución lognormal es y su desviación estándar es . Se supone que la variación de los precios de las acciones sigue un proceso de Wiener o movimiento browniano geométrico proporcional al tiempo y su desviación estándar (o volatilidad) es . La relación entre la volatilidad de Black Scholes (BS) (anualizada) y la desviación estándar logarítmica es entonces: Alternativamente, donde S es la media y SD es la desviación estándar de la distribución lognormal del valor actual. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}T}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {T}}}$ ${\displaystyle \sigma _{BS}{\sqrt {T}}=\sigma .}$ ${\displaystyle \sigma _{BS}={\sqrt {\tfrac {\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]}{T}}}}$
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22. Se debe tener cuidado debido a las no linealidades de las matemáticas de opciones reales. Entonces se podrá realizar una valoración al estilo VAN. ${\displaystyle S_{0}\ll X_{0}}$ ${\displaystyle S_{0}\gg X_{0}}$
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46. Geske en 1977 ofrece un modelo clásico para valorar opciones financieras sobre opciones. (Ver referencia de Espen Gaarder Haug.) Asume una fecha de terminación única para un contrato de dos períodos. La opción DM de múltiples etapas se aplica a opciones reales (es decir, sin contrato, sólo valoración) y supone múltiples terminaciones posibles dependiendo del estado de desarrollo.
47. El modelo se basa en una simulación estocástica para generar flujos de efectivo con valores iniciales y proyectados con una tasa a plazo y volatilidad. ${\displaystyle {\tilde {S}}_{0}{\text{ and }}{\tilde {X}}_{i}}$
48. Bhattacharya, S.; Gaba, V.; Hasija, S. (2015). "Una comparación de contratos de opciones de compra y basados ​​en hitos para coordinar asociaciones de I + D". Ciencias de la gestión . 61 (5): 963–978.
49. Establecer hitos del proyecto, al menos para la primera y posiblemente la segunda etapa de construcción, es clave para gestionar estas decisiones de inversión de "hacer o deshacer", sin involucrar a la alta dirección en las matemáticas de valorar opciones de múltiples etapas.
50. Por ejemplo, la perspectiva desde la etapa , con un costo de ejecución de es un rango de valores desde un máximo hasta un mínimo de . ${\displaystyle i-1}$ ${\displaystyle -{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}},}$ ${\displaystyle \left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}}$ ${\displaystyle -{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}}$
51. Dada la perspectiva en la etapa y el costo incurrido, ¿cuál es el hito o valor umbral que maximizará? ${\displaystyle n-1,}$ ${\displaystyle -{\tilde {X}}_{n-1}e^{-rt_{0}},}$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \left[max\left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}\right]?}$
52. El valor de esta opción optimizada es casi siempre (significativamente) mayor y no equivalente al valor nominal de la opción de tres etapas anterior.
53. Se pueden establecer valores de hitos alternativos basados ​​en valores proyectados futuros. Una vez ajustado el valor de no cambia. ${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}e^{Rt_{i}}\geq P_{i}^{**}}$ ${\displaystyle C_{0}}$
54. Una opción de varias etapas se puede valorar con partes fraccionarias. A continuación se muestra un ejemplo de una opción de tres etapas: ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}&1.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}<P_{1}^{**}\right)\times 0\\&2.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}<P_{2}^{**}\right)\times -{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\\&3.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq P_{2}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}<{\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}}\right)\\&\qquad \;\times -\left({\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right)\\&4.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq P_{2}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}\geq {\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}}\right)\\&\qquad \;\times \left[{\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}-\left({\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right)\right]\\&5.\quad \sum \left(1:4\right)\\\end{alignedat}}}$
55. Ley de Wright: ¿dónde está el costo de producción unitario , es el costo de la primera unidad y b es el índice de progreso? 1-b es la reducción proporcional en el costo unitario con cada duplicación de la producción acumulada (tasa de aprendizaje). En muchas industrias, las estimaciones de b oscilan entre 0,75 y 0,9. A veces puede resultar difícil estimar, especialmente en las primeras etapas de planificación de proyectos. En lugar de ello, se estima un coste de producción objetivo para una unidad de producción futura, por ejemplo. Luego, la fórmula de la curva de aprendizaje se calcula a la inversa para estimar ${\displaystyle C_{x}=C_{1}x^{\log _{2}(b)},}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle x^{th}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{30,000}}$ ${\displaystyle C_{1}.}$
56. Curva de demanda Patente estadounidense nº 7.627.495 (emitida el 1 de diciembre de 2009).
57. Normalmente, el precio de demanda del mercado se estima como un rango en unidades normales, como entre 40.000 y 90.000 dólares, con un rango de confianza del 10% al 90%. La evaluación matemática de un precio de mercado mediante probabilidad, es decir, incrementos porcentuales del tamaño del mercado, requiere conversión a unidades lognormales. Muchos programas complementarios de hojas de cálculo (Oracle's Crystal Ball, @Risk, etc.) convierten automáticamente rangos de confianza de valores de desviación estándar y media normal en parámetros de distribuciones lognormales. Aquí están las fórmulas de conversión: y . La fórmula de Excel para el precio de mercado por incrementos de probabilidad se expresa como una función lognormal inversa: ${\displaystyle LogMean=\ln \left({\tfrac {NormMean^{2}}{\sqrt {NormStdev^{2}+NormMean^{2}}}}\right),}$ ${\displaystyle LogStdev={\sqrt {\ln \left(1+{\tfrac {NormStdev^{2}}{NormMean^{2}}}\right)}}}$ ${\displaystyle Lognorm.inv=(probability,LogMean,LogStdev).}$
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