Distribución truncada

En estadística , una distribución truncada es una distribución condicional que resulta de restringir el dominio de alguna otra distribución de probabilidad . Las distribuciones truncadas surgen en la estadística práctica en los casos en que la capacidad de registrar, o incluso de conocer, sucesos se limita a valores que se encuentran por encima o por debajo de un umbral determinado o dentro de un rango específico. Por ejemplo, si se examinan las fechas de nacimiento de los niños en una escuela, normalmente estarían sujetas a truncamiento en relación con las de todos los niños en el área, dado que la escuela acepta solo niños en un rango de edad determinado en una fecha específica. No habría información sobre cuántos niños en la localidad tuvieron fechas de nacimiento antes o después de las fechas límite de la escuela si solo se utilizara un acercamiento directo a la escuela para obtener información.

Cuando el muestreo es tal que se retiene el conocimiento de elementos que quedan fuera del rango requerido, sin registrar los valores reales, esto se conoce como censura , a diferencia del truncamiento aquí. ^[1]

Definición

La siguiente discusión es en términos de una variable aleatoria que tiene una distribución continua , aunque las mismas ideas se aplican a las distribuciones discretas . De manera similar, la discusión supone que el truncamiento es a un intervalo semiabierto y ∈ ( a,b ] pero otras posibilidades pueden manejarse directamente.

Supongamos que tenemos una variable aleatoria, que se distribuye según alguna función de densidad de probabilidad, con función de distribución acumulativa, las cuales tienen soporte infinito . Supongamos que deseamos conocer la densidad de probabilidad de la variable aleatoria después de restringir el soporte para que esté entre dos constantes de modo que el soporte, . Es decir, supongamos que queremos saber cómo se distribuye lo dado . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle y=(a,b]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a<X\leq b}$

${\displaystyle f(x|a<X\leq b)={\frac {g(x)}{F(b)-F(a)}}={\frac {f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}{F(b)-F(a)}}\propto _{x}f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}$

dónde para todos y en todas partes. Es decir, ¿ dónde está la función indicadora? Tenga en cuenta que el denominador en la distribución truncada es constante con respecto a . ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle a<x\leq b}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$

Observe que en realidad es una densidad: ${\displaystyle f(x|a<X\leq b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x|a<X\leq b)dx={\frac {1}{F(b)-F(a)}}\int _{a}^{b}g(x)dx=1}$.

A las distribuciones truncadas no es necesario que se les quiten partes de la parte superior e inferior. Una distribución truncada donde solo se ha eliminado la parte inferior de la distribución es la siguiente:

${\displaystyle f(x|X>y)={\frac {g(x)}{1-F(y)}}}$

donde para todos y en todos los demás lugares, y es la función de distribución acumulativa . ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle y<x}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle F(x)}$

Una distribución truncada donde se ha eliminado la parte superior de la distribución es la siguiente:

${\displaystyle f(x|X\leq y)={\frac {g(x)}{F(y)}}}$

donde para todos y en todos los demás lugares, y es la función de distribución acumulativa . ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle F(x)}$

Expectativa de variable aleatoria truncada

Supongamos que deseamos encontrar el valor esperado de una variable aleatoria distribuida según la densidad y una distribución acumulativa de dado que la variable aleatoria, es mayor que algún valor conocido . La expectativa de una variable aleatoria truncada es por tanto: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle E(X|X>y)={\frac {\int _{y}^{\infty }xg(x)dx}{1-F(y)}}}$

donde nuevamente es para todos y en todas partes. ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle g(x)=0}$

Dejando y ser los límites inferior y superior respectivamente de soporte para la función de densidad original (que suponemos es continua), las propiedades de , donde es alguna función continua con una derivada continua, incluyen: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E(u(X)|X>y)}$ ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle \lim _{y\to a}E(u(X)|X>y)=E(u(X))}$
2. ${\displaystyle \lim _{y\to b}E(u(X)|X>y)=u(b)}$
3. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]={\frac {f(y)}{1-F(y)}}[E(u(X)|X>y)-u(y)]}$

y ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X<y)]={\frac {f(y)}{F(y)}}[-E(u(X)|X<y)+u(y)]}$

1. ${\displaystyle \lim _{y\to a}{\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]=f(a)[E(u(X))-u(a)]}$
2. ${\displaystyle \lim _{y\to b}{\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]={\frac {1}{2}}u'(b)}$

Siempre que existan los límites, es decir: , y donde representa o . ${\displaystyle \lim _{y\to c}u'(y)=u'(c)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to c}u(y)=u(c)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to c}f(y)=f(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Ejemplos

La distribución normal truncada es un ejemplo importante. ^[2]

El modelo Tobit emplea distribuciones truncadas. Otros ejemplos incluyen binomio truncado en x=0 y poisson truncado en x=0.

Truncamiento aleatorio

Supongamos que tenemos la siguiente configuración: se selecciona al azar un valor de truncamiento, , de una densidad, , pero este valor no se observa. Luego se selecciona un valor, , al azar de la distribución truncada, . Supongamos que observamos y deseamos actualizar nuestra creencia sobre la densidad de la observación dada. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x|t)=Tr(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Primero, por definición:

${\displaystyle f(x)=\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt}$, y

${\displaystyle F(a)=\int _{x}^{a}\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x|t)g(t)dt\right]dx.}$

Tenga en cuenta que debe ser mayor que , por lo tanto, cuando integramos sobre , establecemos un límite inferior de . Las funciones y son la densidad incondicional y la función de distribución acumulativa incondicional, respectivamente. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$

Según la regla de Bayes ,

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}},}$

que se expande a

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt}}.}$

Dos distribuciones uniformes (ejemplo)

Supongamos que sabemos que t está distribuido uniformemente entre [0, T ] y x | t se distribuye uniformemente en [0, t ]. Sean g ( t ) y f ( x | t ) las densidades que describen t y x respectivamente. Supongamos que observamos un valor de x y deseamos conocer la distribución de t dado ese valor de x .

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}}={\frac {1}{t(\ln(T)-\ln(x))}}\quad {\text{for all }}t>x.}$

Ver también

• media truncada

Referencias

1. Dodge, Y. (2003) Diccionario Oxford de términos estadísticos . OUP. ISBN  0-19-920613-9
2. Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1994) Distribuciones univariadas continuas, volumen 1 , Wiley. ISBN 0-471-58495-9 (Sección 10.1)