Aproximación de Black

En finanzas , la aproximación de Black es un método aproximado para calcular el valor de una opción de compra estadounidense sobre una acción que paga un único dividendo. Fue descrita por Fischer Black en 1975. ^[1]

La fórmula de Black-Scholes (en adelante, "Fórmula BS") proporciona una ecuación explícita para el valor de una opción de compra sobre una acción que no paga dividendos. En caso de que la acción pague uno o más dividendos discretos, no se conoce ninguna fórmula cerrada, pero se pueden utilizar varias aproximaciones o, de lo contrario, la EDP de Black-Scholes deberá resolverse numéricamente. Una de esas aproximaciones se describe aquí. Véase también el modelo de Black-Scholes#Opciones americanas .

El método consiste básicamente en utilizar la fórmula BS para calcular el valor de dos opciones de compra europeas:
(1) una opción de compra europea con el mismo vencimiento que la opción de compra americana que se está valorando, pero con el precio de la acción reducido por el valor actual del dividendo, y
(2) una opción de compra europea que vence el día anterior al pago del dividendo. El mayor de los valores (1) y (2) se toma como valor aproximado para la opción de compra americana. Véase el ejemplo al margen. El valor resultante a veces se denomina valor "pseudoamericano" de la opción de compra.

Solicitud

Considere una opción de compra estadounidense con fechas ex-dividendo en 3 meses y 5 meses, y tiene una fecha de vencimiento de 6 meses. Se espera que el dividendo en cada fecha ex-dividendo pague $0,70. A continuación se presenta información adicional. Encuentre el valor de la opción de compra estadounidense.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=\$40\\X&=\$40\\\sigma &=30\%\;p.a.\\r&=10\%\;p.a.\\T&=6\;months=.5\;years\\D&=\$0.70\\\end{aligned}}}$

Primero, debemos realizar el cálculo según los dos métodos que se proporcionan en la sección de métodos. Aquí calcularemos ambas partes:

(1) Este es el primer método de cálculo, que establece:

Se valora un call europeo con el mismo vencimiento que el call americano, pero con el precio de la acción reducido en el valor actual del dividendo.

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}+D_{2}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{2}}{m}})}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle PV}$es el valor actual neto de los dividendos en las fechas ex-dividendo (utilizamos las fechas ex-dividendo porque en esta fecha el precio de las acciones disminuye en el monto del dividendo)

${\displaystyle D_{1,2}}$¿Los dividendos son en las fechas ex-dividendo?

${\displaystyle r}$es la tasa libre de riesgo del mercado, que asumiremos constante para este ejemplo

${\displaystyle \Delta t_{1,2}}$cantidad de tiempo hasta la fecha ex-dividendo

${\displaystyle m}$un factor de división para llevar el Δt a un año completo. (ejemplo = 2 meses, = 12 meses, por lo tanto = 2/12 = .166667) ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta t}{m}}}$

${\displaystyle e}$es la función exponencial.

Aplicando esta fórmula a la pregunta:

${\displaystyle {\begin{aligned}0.7e^{-(.1)({\frac {3}{12}})}+0.7e^{-(.1)({\frac {5}{12}})}=1.3541\end{aligned}}}$

El precio de la opción se puede calcular entonces utilizando el modelo Black-Scholes -Merton donde descontaré los dividendos de los cuales denotaré por para el nuevo valor: ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{0}'}$

${\displaystyle S_{0}'=40-1.3541=38.6459}$

El resto de las variables permanecen iguales. Ahora necesitamos calcular d ₁ y d ₂ utilizando estas fórmulas.

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-r(T)}N(d_{2})\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {S_{0}}{X}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T)\right]}{\sigma {\sqrt {T}}}}\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}\end{aligned}}}$

dónde,

${\displaystyle N(\cdot )}$es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar

${\displaystyle T}$Es el momento de la madurez

${\displaystyle S_{0}}$es el precio actual del activo subyacente

${\displaystyle X}$¿es el precio de ejercicio?

${\displaystyle r}$es la tasa libre de riesgo (tasa anual, expresada en términos de capitalización continua )

${\displaystyle \sigma }$es la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente

Ingresando los valores obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {38.6459}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.5)\right]}{0.3{\sqrt {0.5}}}}=0.1794\\d_{2}&=0.1794-0.3{\sqrt {0.5}}=-0.0327\\N(d_{1})&=0.5712\\N(d_{2})&=0.4870\\C&=38.6459(0.5712)-40e^{-0.1(0.5)}(0.4870)=3.5446\approx \$3.54\end{aligned}}}$

(2) Este es el segundo método de cálculo, que establece:

Una opción de compra europea que vence el día anterior al pago del dividendo.

Este método comienza igual que el método anterior, excepto que el vencimiento de esta opción se establece en el último vencimiento antes del último dividendo (es decir, el segundo dividendo del quinto mes):

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}\end{aligned}}}$

En su mayor parte, las variables permanecen iguales, excepto el tiempo hasta el vencimiento, que es igual a:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=5\;months=.4167\;years\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=0.7e^{-(0.1)({\frac {3}{12}})}=0.6827\\S_{0}'&=40-0.6827=39.3173\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {39.3173}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.4167)\right]}{0.3{\sqrt {0.4167}}}}=0.2231\\d_{2}&=0.2231-0.3{\sqrt {0.4167}}=0.0294\\N(d_{1})&=0.5883\\N(d_{2})&=0.5117\\C&=39.3173(0.5883)-40e^{-0.1(0.4167)}(0.5117)=3.4997\approx \$3.50\end{aligned}}}$

Recordando el método (1) precio del método (2), vemos que el precio de la opción call americana, según la aproximación de Fisher Black, es el mayor de los dos métodos, por lo tanto, el precio de la opción = . ${\displaystyle \$3.54>\$3.50}$ ${\displaystyle \$3.54}$

Referencias

• Hull, John C. (1997). Opciones, futuros y otros derivados . Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.

1. F. Black: Realidad y fantasía en el uso de opciones, FAJ, julio-agosto de 1975, págs. 36