Anillo polinomial

En matemáticas , especialmente en el campo del álgebra , un anillo polinomial o álgebra polinomial es un anillo (que también es un álgebra conmutativa ) formado a partir del conjunto de polinomios en uno o más indeterminados (tradicionalmente también llamados variables ) con coeficientes en otro anillo , a menudo un cuerpo . ^[1]

A menudo, el término "anillo polinómico" se refiere implícitamente al caso especial de un anillo polinómico en un indeterminado sobre un cuerpo. La importancia de tales anillos polinómicos se basa en el alto número de propiedades que tienen en común con el anillo de los números enteros . ^[2]

Los anillos polinómicos se producen y suelen ser fundamentales en muchas partes de las matemáticas, como la teoría de números , el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . En la teoría de anillos , se han introducido muchas clases de anillos, como dominios de factorización únicos , anillos regulares , anillos de grupo , anillos de series de potencias formales , polinomios de Ore y anillos graduados , para generalizar algunas propiedades de los anillos polinómicos. ^[3]

Una noción estrechamente relacionada es la de anillo de funciones polinómicas en un espacio vectorial y, más generalmente, anillo de funciones regulares en una variedad algebraica . ^[2]

Definición (caso univariado)

Sea $K$ un campo o (de forma más general) un anillo conmutativo .

El anillo de polinomios en $X$ sobre $K$ , que se denota $K [X]$ , se puede definir de varias formas equivalentes. Una de ellas es definir $K [X]$ como el conjunto de expresiones, llamadas polinomios en $X$ , de la forma ^[4]

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

donde $p 0, p 1, \dots, p m$ , los coeficientes de $p$ , son elementos de $K$ , $p m \neq 0$ si $m > 0$ , y $X, X 2, \dots,$ son símbolos, que se consideran como "potencias" de $X$ , y siguen las reglas habituales de exponenciación : $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ , y para cualesquiera enteros no negativos $k$ y $l$ . El símbolo $X$ se llama indeterminado ^[5] o variable. ^[6] (El término de "variable" proviene de la terminología de funciones polinómicas . Sin embargo, aquí, $X$ no tiene valor (excepto él mismo), y no puede variar, siendo una constante en el anillo polinómico.) $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$

Dos polinomios son iguales cuando los coeficientes correspondientes de cada $X k$ son iguales.

Se puede pensar que el anillo $K [X]$ surge de $K$ al agregar un nuevo elemento $X$ que es externo a $K$ , conmuta con todos los elementos de $K$ y no tiene otras propiedades específicas. Esto se puede utilizar para una definición equivalente de anillos polinómicos.

El anillo polinómico en $X$ sobre $K$ está equipado con una adición, una multiplicación y una multiplicación escalar que lo convierten en un álgebra conmutativa . Estas operaciones se definen de acuerdo con las reglas ordinarias para manipular expresiones algebraicas. En concreto, si

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},

entonces

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

donde $k = máx(m, n), l = m + n$ ,

r_{i}=p_{i}+q_{i}

s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

En estas fórmulas, los polinomios $p$ y $q$ se extienden añadiendo "términos ficticios" con coeficientes cero, de modo que todos $los p i$ y $q i$ que aparecen en las fórmulas están definidos. En concreto, si $m < n$ , entonces $p i = 0$ para $m < i \leq n$ .

La multiplicación escalar es el caso especial de la multiplicación donde $p = p 0$ se reduce a su término constante (el término que es independiente de $X$ ); es decir

p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

Es sencillo verificar que estas tres operaciones satisfacen los axiomas de un álgebra conmutativa sobre $K.$ Por lo tanto, los anillos polinomiales también se denominan álgebras polinomiales .

A menudo se prefiere otra definición equivalente, aunque menos intuitiva, porque es más fácil hacerla completamente rigurosa, que consiste en definir un polinomio como una sucesión infinita $(p 0, p 1, p 2, \dots)$ de elementos de $K$ , que tiene la propiedad de que sólo un número finito de los elementos son distintos de cero, o equivalentemente, una sucesión para la que existe algún $m$ tal que p _n = 0 para $n > m$ . En este caso, $p 0$ y $X$ se consideran como notaciones alternativas para las sucesiones $(p 0, 0, 0, \dots)$ y $(0, 1, 0, 0, \dots)$ , respectivamente. Un uso sencillo de las reglas de operación muestra que la expresión

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

es entonces una notación alternativa para la secuencia

(p 0, p 1, p 2, \dots, pm, 0, 0, \dots)

Terminología

Dejar

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

sea un polinomio distinto de cero con $p_{m}\neq 0$

El término constante de $p$ es Es cero en el caso del polinomio cero. $p_{0}.$

El grado de $p$ , escrito $deg(p),$ es el $k$ más grande tal que el coeficiente de $X$ $k$ no es cero. ^[7] $m,$

El coeficiente principal de $p$ es ^[8] $p_{m}.$

En el caso especial del polinomio cero, cuyos coeficientes son todos cero, el coeficiente principal no está definido y el grado se ha dejado indefinido de diversas formas, ^[9] definido como $-1$ , ^[10] o definido como $-\infty$ . ^[11]

Un polinomio constante es el polinomio cero o un polinomio de grado cero.

Un polinomio distinto de cero es mónico si su coeficiente principal es $1.$

Dados dos polinomios $p$ y $q$ , si el grado del polinomio cero se define como uno, se tiene $-\infty ,$

\deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),

y, sobre un campo , o más generalmente un dominio integral , ^[12]

\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).

De ello se deduce inmediatamente que, si $K$ es un dominio integral, entonces también lo es $K [X]$ . ^[13]

Se deduce también que, si $K$ es un dominio integral, un polinomio es una unidad ( es decir, tiene un inverso multiplicativo ) si y sólo si es constante y es una unidad en $K.$

Dos polinomios están asociados si uno es el producto del otro por una unidad.

Sobre un cuerpo, cada polinomio distinto de cero está asociado a un polinomio mónico único.

Dados dos polinomios, $p$ y $q$ , se dice que $p$ divide $a q$ , $p$ es un divisor de $q$ , o $q$ es un múltiplo de $p$ , si existe un polinomio $r$ tal que $q = pr$ .

Un polinomio es irreducible si no es el producto de dos polinomios no constantes o, equivalentemente, si sus divisores son polinomios constantes o tienen el mismo grado.

Evaluación de polinomios

Sea $K$ un cuerpo o, más generalmente, un anillo conmutativo y $R$ un anillo que contiene $a K.$ Para cualquier polinomio $P$ en $K [X]$ y cualquier elemento $a$ en $R$ , la sustitución de $X$ por $a$ en $P$ define un elemento de $R$ , que se denota $P (a)$ . Este elemento se obtiene realizando en $R$ después de la sustitución las operaciones indicadas por la expresión del polinomio. Este cálculo se llama evaluación de $P$ en $a$ . Por ejemplo, si tenemos

P=X^{2}-1,

tenemos

{\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}

(en el primer ejemplo $R = K$ , y en el segundo $R = K [X]$ ). Sustituyendo $X$ por sí mismo resulta

P=P(X),

explicando por qué las oraciones "Sea $P$ un polinomio" y "Sea $P (X)$ un polinomio" son equivalentes.

La función polinómica definida por un polinomio $P$ es la función de $K$ en $K$ que está definida por Si $K$ es un cuerpo infinito, dos polinomios diferentes definen funciones polinómicas diferentes, pero esta propiedad es falsa para cuerpos finitos. Por ejemplo, si $K$ es un cuerpo con $q$ elementos, entonces los polinomios $0$ y $X$ $q$ $-$ $X$ definen ambos la función cero. $x\mapsto P(x).$

Para cada $a$ en $R$ , la evaluación en $a$ , es decir, la función define un homomorfismo algebraico de $K$ $[$ $X$ $]$ a $R$ , que es el único homomorfismo de $K$ $[$ $X$ $]$ a $R$ que fija $K$ y asigna $X$ a $a$ . En otras palabras, $K$ $[$ $X$ $]$ tiene la siguiente propiedad universal : $P\mapsto P(a)$

Para cada anillo $R$ que contiene $a K$ , y cada elemento $a$ de $R$ , existe un homomorfismo algebraico único de

K [X]

a $R$ que fija $K$ y asigna $X$ a $a$ .

Como para todas las propiedades universales, ésta define el par $(K [X], X)$ hasta un único isomorfismo, y por lo tanto puede tomarse como una definición de $K [X]$ .

La imagen del mapa , es decir, el subconjunto de $R$ obtenido al sustituir $a$ por $X$ en elementos de $K$ $[$ $X$ $]$ , se denota $K$ $[$ $a$ $]$ . ^[14] Por ejemplo, , y las reglas de simplificación para las potencias de una raíz cuadrada implican $P\mapsto P(a)$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.$

Polinomios univariados sobre un cuerpo

Si $K$ es un cuerpo , el anillo de polinomios $K [X]$ tiene muchas propiedades que son similares a las del anillo de números enteros . La mayoría de estas similitudes resultan de la similitud entre la división larga de números enteros y la división larga de polinomios . $\mathbb {Z} .$

La mayoría de las propiedades de $K [X]$ que se enumeran en esta sección no siguen siendo verdaderas si $K$ no es un cuerpo, o si se consideran polinomios en varios indeterminados.

Al igual que para los números enteros, la división euclidiana de polinomios tiene una propiedad de unicidad. Es decir, dados dos polinomios $a$ y $b \neq 0$ en $K [X]$ , hay un par único $(q, r)$ de polinomios tales que $a = bq + r$ , y $r = 0$ o $deg(r) < deg(b)$ . Esto hace que $K [X]$ sea un dominio euclidiano . Sin embargo, la mayoría de los demás dominios euclidianos (excepto los números enteros) no tienen ninguna propiedad de unicidad para la división ni un algoritmo fácil (como la división larga) para calcular la división euclidiana.

La división euclidiana es la base del algoritmo euclidiano para polinomios que calcula un máximo común divisor de dos polinomios. Aquí, "mayor" significa "que tiene un grado máximo" o, equivalentemente, que es máximo para el preorden definido por el grado. Dado un máximo común divisor de dos polinomios, los otros máximos comunes divisores se obtienen por multiplicación por una constante distinta de cero (es decir, todos los máximos comunes divisores de $a$ y $b$ están asociados). En particular, dos polinomios que no son ambos cero tienen un único máximo común divisor que es mónico (coeficiente principal igual a1 ).

El algoritmo euclidiano extendido permite calcular (y demostrar) la identidad de Bézout . En el caso de $K [X]$ , se puede expresar de la siguiente manera. Dados dos polinomios $p$ y $q$ de grados respectivos $m$ y $n$ , si su máximo común divisor mónico $g$ tiene grado $d$ , entonces existe un par único $(a, b)$ de polinomios tales que

ap+bq=g,

\deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.

(Para que esto sea cierto en el caso límite donde $m = d$ o $n = d$ , uno tiene que definir como negativo el grado del polinomio cero. Además, la igualdad puede ocurrir solo si $p$ y $q$ están asociados.) La propiedad de unicidad es bastante específica de $K$ $[$ $X$ $]$ . En el caso de los números enteros la misma propiedad es verdadera, si los grados son reemplazados por valores absolutos, pero, para tener unicidad, uno debe requerir $a$ $> 0$ . $\deg(a)=n-d$

El lema de Euclides se aplica a $K [X]$ . Es decir, si $a$ divide $a bc$ y es coprimo con $b$ , entonces $a$ divide $a c$ . Aquí, coprimo significa que el máximo común divisor mónico es1. Demostración: Por hipótesis y por la identidad de Bézout, existen $e$ , $p$ y $q$ tales que $ae = bc$ y $1 = ap + bq$ . Por lo tanto $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$

La propiedad de factorización única resulta del lema de Euclides. En el caso de los números enteros, este es el teorema fundamental de la aritmética . En el caso de $K [X]$ , puede enunciarse como: todo polinomio no constante puede expresarse de forma única como el producto de una constante y uno o varios polinomios mónicos irreducibles; esta descomposición es única hasta el orden de los factores. En otros términos, $K [X]$ es un dominio de factorización único . Si $K$ es el cuerpo de los números complejos, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariante es irreducible si y solo si su grado es uno. En este caso, la propiedad de factorización única puede reformularse como: todo polinomio univariante no constante sobre los números complejos puede expresarse de forma única como el producto de una constante y uno o varios polinomios de la forma $X - r$ ; Esta descomposición es única hasta el orden de los factores. Para cada factor, $r$ es una raíz del polinomio y el número de ocurrencias de un factor es la multiplicidad de la raíz correspondiente.

Derivación

La derivada (formal) del polinomio

a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

es el polinomio

a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.

En el caso de polinomios con coeficientes reales o complejos , esta es la derivada estándar . La fórmula anterior define la derivada de un polinomio incluso si los coeficientes pertenecen a un anillo en el que no se define ninguna noción de límite . La derivada convierte el anillo de polinomios en un álgebra diferencial .

La existencia de la derivada es una de las principales propiedades de un anillo polinomial que no se comparte con los números enteros y hace que algunos cálculos sean más fáciles en un anillo polinomial que en los números enteros.

Factorización libre de cuadrados

Interpolación de Lagrange

Descomposición polinómica

Factorización

A excepción de la factorización, todas las propiedades anteriores de $K [X]$ son efectivas , ya que sus demostraciones, como se esbozó anteriormente, están asociadas con algoritmos para probar la propiedad y calcular los polinomios cuya existencia se afirma. Además, estos algoritmos son eficientes, ya que su complejidad computacional es una función cuadrática del tamaño de entrada.

La situación es completamente diferente en el caso de la factorización: la prueba de la factorización única no da ninguna pista sobre un método de factorización. Para los números enteros, no se conoce ningún algoritmo que funcione en un ordenador clásico (no cuántico) para factorizarlos en tiempo polinómico . Esta es la base del criptosistema RSA , ampliamente utilizado para las comunicaciones seguras por Internet.

En el caso de $K [X]$ , los factores y los métodos para calcularlos dependen fuertemente de $K$ . Sobre los números complejos, los factores irreducibles (aquellos que no pueden factorizarse más) son todos de grado uno, mientras que, sobre los números reales, hay polinomios irreducibles de grado 2, y, sobre los números racionales , hay polinomios irreducibles de cualquier grado. Por ejemplo, el polinomio es irreducible sobre los números racionales, se factoriza como sobre los números reales y, y como sobre los números complejos. $X^{4}-2$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$

La existencia de un algoritmo de factorización depende también del campo base. En el caso de los números reales o complejos, el teorema de Abel-Ruffini muestra que las raíces de algunos polinomios, y por tanto los factores irreducibles, no se pueden calcular con exactitud. Por tanto, un algoritmo de factorización sólo puede calcular aproximaciones de los factores. Se han diseñado varios algoritmos para calcular dichas aproximaciones, véase Hallazgo de raíces de polinomios .

Hay un ejemplo de un campo $K$ tal que existen algoritmos exactos para las operaciones aritméticas de $K$ , pero no puede existir ningún algoritmo para decidir si un polinomio de la forma es irreducible o es un producto de polinomios de grado inferior. ^[15] $X^{p}-a$

Por otra parte, sobre los números racionales y sobre cuerpos finitos, la situación es mejor que para la factorización de enteros , ya que existen algoritmos de factorización que tienen una complejidad polinómica y se implementan en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional de propósito general .

Polinomio mínimo

Si $θ$ es un elemento de una K -álgebra asociativa $L$ , la evaluación polinomial en $θ$ es el único homomorfismo algebraico $φ$ de $K [X]$ en $L$ que mapea $X$ a $θ$ y no afecta a los elementos de $K$ en sí (es la función identidad en $K$ ). Consiste en sustituir $X$ por $θ$ en cada polinomio. Es decir,

\varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.

La imagen de este homomorfismo de evaluación es la subálgebra generada por $θ$ , que es necesariamente conmutativa. Si $φ$ es inyectiva, la subálgebra generada por $θ$ es isomorfa a $K [X]$ . En este caso, esta subálgebra se suele denotar por $K [θ]$ . La ambigüedad de la notación es generalmente inofensiva, debido al isomorfismo.

Si el homomorfismo de evaluación no es inyectivo, esto significa que su núcleo es un ideal distinto de cero , que consiste en todos los polinomios que se vuelven cero cuando $X$ se sustituye por $θ$ . Este ideal consiste en todos los múltiplos de algún polinomio mónico, que se llama polinomio mínimo de $θ$ . El término mínimo está motivado por el hecho de que su grado es mínimo entre los grados de los elementos del ideal.

Hay dos casos principales en los que se consideran polinomios mínimos.

En teoría de campos y teoría de números , un elemento $θ$ de un campo de extensión $L$ de $K$ es algebraico sobre $K$ si es una raíz de algún polinomio con coeficientes en $K.$ El polinomio minimal sobre $K$ de $θ$ es, por tanto, el polinomio mónico de grado mínimo que tiene $θ$ como raíz. Como $L$ es un campo, este polinomio minimal es necesariamente irreducible sobre $K.$ Por ejemplo, el polinomio minimal (tanto sobre los reales como sobre los racionales) del número complejo $i$ es . Los polinomios ciclotómicos son los polinomios minimales de las raíces de la unidad . $X^{2}+1$

En álgebra lineal , las matrices cuadradas $n \times n$ sobre $K$ forman una K -álgebra asociativa de dimensión finita (como un espacio vectorial). Por lo tanto, el homomorfismo de evaluación no puede ser inyectivo, y cada matriz tiene un polinomio mínimo (no necesariamente irreducible). Por el teorema de Cayley-Hamilton , el homomorfismo de evaluación asigna a cero el polinomio característico de una matriz. De ello se deduce que el polinomio mínimo divide al polinomio característico y, por lo tanto, que el grado del polinomio mínimo es como máximo $n$ .

Anillo de cociente

En el caso de $K [X]$ , el anillo cociente por un ideal puede construirse, como en el caso general, como un conjunto de clases de equivalencia . Sin embargo, como cada clase de equivalencia contiene exactamente un polinomio de grado mínimo, a menudo es más conveniente otra construcción.

Dado un polinomio $p$ de grado $d$ , el anillo cociente de $K [X]$ por el ideal generado por $p$ se puede identificar con el espacio vectorial de los polinomios de grados menores que $d$ , con la "multiplicación módulo $p$ " como una multiplicación, la multiplicación módulo $p$ consiste en el resto de la división por $p$ del producto (usual) de polinomios. Este anillo cociente se denota de diversas formas como o simplemente $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ $K[X]/p.$

El anillo es un cuerpo si y solo si $p$ es un polinomio irreducible . De hecho, si $p$ es irreducible, todo polinomio $q$ distinto de cero de grado inferior es coprimo con $p$ , y la identidad de Bézout permite calcular $r$ y $s$ tales que $sp$ $+$ $qr$ $= 1$ ; por lo tanto, $r$ es el inverso multiplicativo de $q$ módulo $p$ . A la inversa, si $p$ es reducible, entonces existen polinomios $a, b$ de grados inferiores a $deg($ $p$ $)$ tales que $ab$ $=$ $p$ ; por lo tanto $, a, b$ son divisores de cero distintos de cero módulo $p$ , y no pueden ser invertibles. $K[X]/(p)$

Por ejemplo, la definición estándar del campo de los números complejos se puede resumir diciendo que es el anillo cociente.

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

y que la imagen de $X$ en se denota por $i$ . De hecho, por la descripción anterior, este cociente consta de todos los polinomios de grado uno en $i$ , que tienen la forma $a$ $+$ $bi$ , con $a$ y $b$ en El resto de la división euclidiana que se necesita para multiplicar dos elementos del anillo del cociente se obtiene reemplazando $i$ $2$ por $-1$ en su producto como polinomios (esta es exactamente la definición habitual del producto de números complejos). $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} .$

Sea $θ$ un elemento algebraico en una $K$ -álgebra $A$ . Por algebraico , se quiere decir que $θ$ tiene un polinomio mínimo $p$ . El primer teorema de isomorfismo de anillo afirma que el homomorfismo de sustitución induce un isomorfismo de sobre la imagen $K$ $[$ $θ$ $]$ del homomorfismo de sustitución. En particular, si $A$ es una extensión simple de $K$ generada por $θ$ , esto permite identificar $A$ y Esta identificación se utiliza ampliamente en la teoría de números algebraicos . $K[X]/(p)$ $K[X]/(p).$

Módulos

El teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal se aplica a K [ X ], cuando K es un cuerpo. Esto significa que cada módulo finitamente generado sobre K [ X ] puede descomponerse en una suma directa de un módulo libre y un número finito de módulos de la forma , donde P es un polinomio irreducible sobre K y k un entero positivo. $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$

Definición (caso multivariado)

Dados $n$ símbolos llamados indeterminados , un monomio (también llamado producto de potencia ) $X_{1},\dots ,X_{n},$

X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

es un producto formal de estas indeterminaciones, posiblemente elevado a una potencia no negativa. Como es habitual, se pueden omitir los exponentes iguales a uno y los factores con exponente cero. En particular, $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$

La tupla de exponentes $α = (α 1, \dots, α n)$ se denomina multigrado o vector exponencial del monomio. Para una notación menos engorrosa, se utiliza la abreviatura

X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

se utiliza a menudo. El grado de un monomio $X α$ , frecuentemente denotado $deg α$ o $| α |$ , es la suma de sus exponentes:

\deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.

Un polinomio en estos indeterminados, con coeficientes en un cuerpo $K$ , o más generalmente un anillo , es una combinación lineal finita de monomios

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }

con coeficientes en $K$ . El grado de un polinomio distinto de cero es el máximo de los grados de sus monomios con coeficientes distintos de cero.

El conjunto de polinomios en denotado es entonces un espacio vectorial (o un módulo libre , si $K$ es un anillo) que tiene como base los monomios. $X_{1},\dots ,X_{n},$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$

$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ está naturalmente equipado (ver abajo) con una multiplicación que forma un anillo , y un álgebra asociativa sobre $K$ , llamado anillo polinomial en $n$ indeterminados sobre $K$ (el artículo definido el refleja que está definido unívocamente hasta el nombre y el orden de los indeterminados. Si el anillo $K$ es conmutativo , es también un anillo conmutativo. $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$

Operaciones enK [ X1 , ... , Xn ]

La suma y multiplicación escalar de polinomios son las de un espacio vectorial o módulo libre dotado de una base específica (aquí la base de los monomios). Explícitamente, sea donde $I$ y $J$ son conjuntos finitos de vectores exponentes. $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$

La multiplicación escalar de $p$ y un escalar es $c\in K$

cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.

La suma de $p$ y $q$ es

p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },

donde si y si Además, si uno tiene para algún , el término cero correspondiente se elimina del resultado. $p_{\alpha }=0$ $\alpha \not \in I,$ $q_{\beta }=0$ $\beta \not \in J.$ $p_{\alpha }+q_{\alpha }=0$ $\alpha \in I\cap J,$

La multiplicación es

pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },

donde es el conjunto de las sumas de un vector exponente en $I$ y otro en $J$ (suma de vectores habitual). En particular, el producto de dos monomios es un monomio cuyo vector exponente es la suma de los vectores exponentes de los factores. $I+J$

La verificación de los axiomas de un álgebra asociativa es sencilla.

Expresión polinómica

Una expresión polinomial es una expresión construida con escalares (elementos de $K$ ), indeterminados y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación de potencias enteras no negativas.

Como todas estas operaciones se definen en una expresión polinómica representa un polinomio, que es un elemento de La definición de un polinomio como una combinación lineal de monomios es una expresión polinómica particular, que a menudo se llama forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio. Dada una expresión polinómica, se puede calcular la forma expandida del polinomio representado expandiendo con la ley distributiva todos los productos que tienen una suma entre sus factores, y luego usando la conmutatividad (excepto para el producto de dos escalares) y la asociatividad para transformar los términos de la suma resultante en productos de un escalar y un monomio; luego se obtiene la forma canónica reagrupando los términos iguales . $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$

La distinción entre una expresión polinómica y el polinomio que representa es relativamente reciente y está motivada principalmente por el auge del álgebra computacional , donde, por ejemplo, la prueba de si dos expresiones polinómicas representan el mismo polinomio puede ser un cálculo no trivial.

Caracterización categórica

Si $K$ es un anillo conmutativo, el anillo polinomial $K [X 1, \dots, X n]$ tiene la siguiente propiedad universal : para cada K -álgebra conmutativa $A$ , y cada $n$ - tupla $(x 1, \dots, x n)$ de elementos de $A$ , existe un único homomorfismo algebraico de $K [X 1, \dots, X n]$ a $A$ que asigna cada uno al correspondiente Este homomorfismo es el homomorfismo de evaluación que consiste en sustituir con en cada polinomio. $X_{i}$ $x_{i}.$ $X_{i}$ $x_{i}$

Como ocurre con toda propiedad universal, esto caracteriza al par hasta un único isomorfismo . $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$

Esto también puede interpretarse en términos de funtores adjuntos . Más precisamente, sean $SET$ y $ALG$ respectivamente las categorías de conjuntos y $K$ -álgebras conmutativas (aquí, y en lo sucesivo, los morfismos se definen trivialmente). Hay un funtor olvidadizo que mapea las álgebras a sus conjuntos subyacentes. Por otro lado, la función define un funtor en la otra dirección. (Si $X$ es infinito, $K$ $[$ $X$ $]$ es el conjunto de todos los polinomios en un número finito de elementos de $X$ ). $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $X\mapsto K[X]$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$

La propiedad universal del anillo polinómico significa que $F$ y $POL$ son funtores adjuntos . Es decir, existe una biyección.

\operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).

Esto también se puede expresar diciendo que los anillos polinómicos son álgebras conmutativas libres , ya que son objetos libres en la categoría de álgebras conmutativas. De manera similar, un anillo polinómico con coeficientes enteros es el anillo conmutativo libre sobre su conjunto de variables, ya que los anillos conmutativos y las álgebras conmutativas sobre los enteros son la misma cosa.

Estructura graduada

Univariante sobre un anillo vs. multivariante

Un polinomio en puede considerarse como un polinomio univariado en el indeterminado sobre el anillo reagrupando los términos que contienen la misma potencia de que es, utilizando la identidad $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $X_{n}$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}],$ $X_{n},$

\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},

que resulta de la distributividad y asociatividad de las operaciones de anillo.

Esto significa que uno tiene un isomorfismo algebraico.

K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]

que asigna cada indeterminado a sí mismo. (Este isomorfismo se escribe a menudo como una igualdad, lo que se justifica por el hecho de que los anillos polinómicos se definen hasta un isomorfismo único ).

En otras palabras, un anillo polinómico multivariado puede considerarse como un polinomio univariado sobre un anillo polinómico más pequeño. Esto se utiliza comúnmente para demostrar propiedades de anillos polinómicos multivariados, por inducción sobre el número de indeterminados.

Las principales propiedades de este tipo se enumeran a continuación.

Propiedades que pasan deRaR [ X ]

En esta sección, $R$ es un anillo conmutativo, $K$ es un cuerpo, $X$ denota un único indeterminado y, como es habitual, es el anillo de los números enteros. A continuación se muestra la lista de las principales propiedades del anillo que siguen siendo verdaderas al pasar de $R$ a $R$ $[$ $X$ $]$ . $\mathbb {Z}$

Si R es un dominio integral , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] (ya que el coeficiente principal de un producto de polinomios es, si no cero, el producto de los coeficientes principales de los factores).
- En particular, y son dominios integrales. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Si R es un dominio de factorización único , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] . Esto resulta del lema de Gauss y de la propiedad de factorización única de donde L es el campo de fracciones de R . $L[X],$
- En particular, y son dominios de factorización únicos. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Si R es un anillo noetheriano , entonces lo mismo vale para R [ X ] .
- En particular, y son anillos noetherianos; este es el teorema de la base de Hilbert . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Si R es un anillo noetheriano, entonces donde " " denota la dimensión de Krull . $\dim R[X]=1+\dim R,$ $\dim$
- En particular, y $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$
Si R es un anillo regular , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] ; en este caso, se tiene donde " " denota la dimensión global . $\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$ $\operatorname {gl} \,\dim$
- En particular, y son anillos regulares, y La última igualdad es el teorema de sicigia de Hilbert . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,$ $\operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.$

Varios indeterminados sobre un campo

Los anillos polinómicos en varias variables sobre un cuerpo son fundamentales en la teoría de invariantes y la geometría algebraica . Algunas de sus propiedades, como las descritas anteriormente, se pueden reducir al caso de una única indeterminación, pero no siempre es así. En particular, debido a las aplicaciones geométricas, muchas propiedades interesantes deben ser invariantes bajo transformaciones afines o proyectivas de las indeterminadas. Esto a menudo implica que no se puede seleccionar una de las indeterminadas para una recurrencia sobre las indeterminadas.

El teorema de Bézout , el Nullstellensatz de Hilbert y la conjetura jacobiana se encuentran entre las propiedades más famosas que son específicas de los polinomios multivariados sobre un campo.

El cálculo de ceros de Hilbert

El teorema Nullstellensatz (en alemán, "teorema del lugar geométrico cero") es un teorema, demostrado por primera vez por David Hilbert , que extiende al caso multivariante algunos aspectos del teorema fundamental del álgebra . Es fundamental para la geometría algebraica , ya que establece un fuerte vínculo entre las propiedades algebraicas de y las propiedades geométricas de las variedades algebraicas , que son (en términos generales) conjuntos de puntos definidos por ecuaciones polinómicas implícitas . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

El Nullstellensatz tiene tres versiones principales, cada una de las cuales es un corolario de otra. A continuación se presentan dos de estas versiones. Para la tercera versión, se remite al lector al artículo principal sobre el Nullstellensatz.

La primera versión generaliza el hecho de que un polinomio univariante distinto de cero tiene un cero complejo si y solo si no es una constante. El enunciado es: un conjunto de polinomios $S$ en tiene un cero común en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene $K$ , si y solo si $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $1$ no pertenece al ideal generado por $S$ , es decir, si $1$ no es una combinación lineal de elementos de $S$ con coeficientes polinomiales .

La segunda versión generaliza el hecho de que los polinomios univariados irreducibles sobre los números complejos están asociados a un polinomio de la forma El enunciado es: Si $K$ es algebraicamente cerrado, entonces los ideales maximales de tienen la forma $X-\alpha .$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .$

Teorema de Bézout

El teorema de Bézout puede verse como una generalización multivariada de la versión del teorema fundamental del álgebra que afirma que un polinomio univariante de grado $n$ tiene $n$ raíces complejas, si se cuentan con sus multiplicidades.

En el caso de polinomios bivariados , se establece que dos polinomios de grados $d$ y $e$ en dos variables, que no tienen factores comunes de grado positivo, tienen exactamente $de$ ceros comunes en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes, si los ceros se cuentan con su multiplicidad e incluyen los ceros en el infinito .

Para enunciar el caso general, y no considerar "cero en infinito" como ceros especiales, es conveniente trabajar con polinomios homogéneos , y considerar ceros en un espacio proyectivo . En este contexto, un cero proyectivo de un polinomio homogéneo es, hasta una escala, una $($ $n$ $+ 1)$ - tupla de elementos de $K$ que es diferente de $(0, \dots, 0)$ , y tal que . Aquí, "hasta una escala" significa que y se consideran como el mismo cero para cualquier distinto de cero En otras palabras, un cero es un conjunto de coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de dimensión $n$ . $P(X_{0},\ldots ,X_{n})$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda \in K.$

Entonces, el teorema de Bézout establece: Dados $n$ polinomios homogéneos de grados en $n$ $+ 1$ indeterminados, que tienen solo un número finito de ceros proyectivos comunes en una extensión algebraicamente cerrada de $K$ , la suma de las multiplicidades de estos ceros es el producto $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1}\cdots d_{n}.$

Conjetura jacobiana

Generalizaciones

Los anillos polinomiales se pueden generalizar de muchas maneras, incluidos anillos polinomiales con exponentes generalizados, anillos de series de potencias, anillos polinomiales no conmutativos , anillos polinomiales sesgados y anillos polinomiales .

Infinitas variables

Una ligera generalización de los anillos polinómicos es permitir una cantidad infinita de indeterminados. Cada monomio sigue implicando sólo una cantidad finita de indeterminados (de modo que su grado sigue siendo finito), y cada polinomio sigue siendo una combinación lineal (finita) de monomios. Por lo tanto, cualquier polinomio individual implica sólo una cantidad finita de indeterminados, y cualquier cálculo finito que implique polinomios permanece dentro de algún subanillo de polinomios en una cantidad finita de indeterminados. Esta generalización tiene la misma propiedad de los anillos polinómicos habituales, de ser el álgebra conmutativa libre , la única diferencia es que es un objeto libre sobre un conjunto infinito.

También se puede considerar un anillo estrictamente mayor, definiendo como polinomio generalizado una suma formal infinita (o finita) de monomios con un grado acotado. Este anillo es mayor que el anillo polinómico habitual, ya que incluye sumas infinitas de variables. Sin embargo, es menor que el anillo de series de potencias con infinitas variables . Un anillo de este tipo se utiliza para construir el anillo de funciones simétricas sobre un conjunto infinito.

Exponentes generalizados

Una generalización simple solo cambia el conjunto del que se extraen los exponentes de la variable. Las fórmulas para la adición y la multiplicación tienen sentido siempre que se puedan sumar exponentes: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Un conjunto para el que la adición tiene sentido (es cerrado y asociativo) se llama monoide . Al conjunto de funciones desde un monoide N hasta un anillo R que son distintas de cero en solo un número finito de lugares se le puede dar la estructura de un anillo conocido como R [ N ], el anillo monoide de N con coeficientes en R . La adición se define componente por componente, de modo que si c = a + b , entonces c _n = a _n + b _n para cada n en N . La multiplicación se define como el producto de Cauchy, de modo que si c = a ⋅ b , entonces para cada n en N , c _n es la suma de todos los a _i b _j donde i , j abarcan todos los pares de elementos de N que suman n .

Cuando N es conmutativa, es conveniente denotar la función a en R [ N ] como la suma formal:

\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}

y luego las fórmulas para sumar y multiplicar son las conocidas:

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}

donde la última suma se toma sobre todos los i , j en N que suman n .

Algunos autores como (Lang 2002, II, §3) llegan al extremo de tomar esta definición de monoide como punto de partida, y los polinomios regulares de una sola variable son el caso especial donde N es el monoide de los números enteros no negativos. Los polinomios de varias variables simplemente toman N como el producto directo de varias copias del monoide de los números enteros no negativos.

Se forman varios ejemplos interesantes de anillos y grupos tomando N como el monoide aditivo de números racionales no negativos (Osbourne 2000, §4.4) . Véase también la serie de Puiseux .

Serie de potencias

Las series de potencias generalizan la elección del exponente en una dirección diferente al permitir una cantidad infinita de términos distintos de cero. Esto requiere varias hipótesis sobre el monoide N utilizado para los exponentes, para asegurar que las sumas en el producto de Cauchy sean sumas finitas. Alternativamente, se puede colocar una topología en el anillo, y luego uno restringe a sumas infinitas convergentes. Para la elección estándar de N , los enteros no negativos, no hay problema, y el anillo de series de potencias formales se define como el conjunto de funciones desde N hasta un anillo R con adición componente por componente, y multiplicación dada por el producto de Cauchy. El anillo de series de potencias también puede verse como la compleción del anillo polinomial con respecto al ideal generado por $x$ .

Anillos polinómicos no conmutativos

Para anillos polinómicos de más de una variable, los productos X ⋅ Y e Y ⋅ X se definen simplemente como iguales. Se obtiene una noción más general de anillo polinómico cuando se mantiene la distinción entre estos dos productos formales. Formalmente, el anillo polinómico en n variables no conmutativas con coeficientes en el anillo R es el anillo monoide R [ N ], donde el monoide N es el monoide libre en n letras, también conocido como el conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto de n símbolos, con multiplicación dada por concatenación. Ni los coeficientes ni las variables necesitan conmutar entre sí, pero los coeficientes y las variables conmutan entre sí.

Así como el anillo polinomial en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es la R -álgebra conmutativa libre de rango n , el anillo polinomial no conmutativo en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es la R -álgebra asociativa libre, unital en n generadores, que es no conmutativa cuando n > 1.

Anillos diferenciales y polinomiales oblicuos

Otras generalizaciones de polinomios son los anillos polinomiales diferenciales y oblicuos.

Un anillo polinómico diferencial es un anillo de operadores diferenciales formado a partir de un anillo R y una derivación δ de R en R . Esta derivación opera sobre R , y se denotará X , cuando se la considere como un operador. Los elementos de R también operan sobre R por multiplicación. La composición de operadores se denota como la multiplicación habitual. De ello se deduce que la relación δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b puede reescribirse como

X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).

Esta relación puede extenderse para definir una multiplicación sesgada entre dos polinomios en X con coeficientes en R , lo que los convierte en un anillo no conmutativo .

El ejemplo estándar, llamado álgebra de Weyl , toma R como un anillo polinomial (usual) k [ Y ], y δ como la derivada polinomial estándar . Tomando a = Y en la relación anterior, se obtiene la relación de conmutación canónica , X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. Extender esta relación por asociatividad y distributividad permite construir explícitamente el álgebra de Weyl . (Lam 2001, §1,ex1.9). ${\tfrac {\partial }{\partial Y}}$

El anillo de polinomios oblicuos se define de manera similar para un anillo R y un endomorfismo de anillo f de R , extendiendo la multiplicación de la relación X ⋅ r = f ( r )⋅ X para producir una multiplicación asociativa que se distribuye sobre la adición estándar. De manera más general, dado un homomorfismo F del monoide N de los enteros positivos en el anillo de endomorfismo de R , la fórmula X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿ permite construir un anillo de polinomios oblicuos. (Lam 2001, §1,ex 1.11) Los anillos de polinomios oblicuos están estrechamente relacionados con las álgebras de productos cruzados .

Plataformas polinómicas

La definición de un anillo polinómico se puede generalizar relajando el requisito de que la estructura algebraica R sea un cuerpo o un anillo al requisito de que R sea solo un semicuerpo o rig ; la estructura/extensión polinómica resultante R [ X ] es un polinomio rig . Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios multivariados con coeficientes de números naturales es un polinomio rig .

Véase también

Referencias

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