Extensión de mineral

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , una extensión de Ore , llamada así por Øystein Ore , es un tipo especial de extensión de anillo cuyas propiedades se comprenden relativamente bien. Los elementos de una extensión de Ore se denominan polinomios de Ore .

Las extensiones de mineral aparecen en varios contextos naturales, incluidos anillos polinómicos diferenciales y sesgados , álgebras de grupo de grupos policíclicos , álgebras envolventes universales de álgebras de Lie resolubles y anillos de coordenadas de grupos cuánticos .

Definición

Supongamos que R es un anillo (no necesariamente conmutativo ) , es un homomorfismo de anillo y es una σ -derivación de R , lo que significa que es un homomorfismo de grupos abelianos que satisface ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$ ${\displaystyle \delta \colon R\to R}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}}$.

Entonces la extensión de Ore , también llamada anillo polinomial oblicuo , es el anillo no conmutativo que se obtiene al dar al anillo de polinomios una nueva multiplicación, sujeta a la identidad ${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]}$ ${\displaystyle R[x]}$

${\displaystyle xr=\sigma (r)x+\delta (r)}$.

Si δ = 0 (es decir, es el mapa cero), entonces la extensión de Ore se denota R [ x ;  σ ]. Si σ = 1 (es decir, el mapa identidad ), entonces la extensión de Ore se denota R [  x ,  δ  ] y se llama anillo polinomial diferencial .

Ejemplos

Las álgebras de Weyl son extensiones de Ore, con R cualquier anillo polinómico conmutativo , σ el endomorfismo del anillo identidad y δ la derivada polinómica . Las álgebras de Ore son una clase de extensiones de Ore iteradas bajo restricciones adecuadas que permiten desarrollar una extensión no conmutativa de la teoría de bases de Gröbner .

Propiedades

• Una extensión de un dominio es un dominio.
• Una extensión de Ore de un campo oblicuo es un dominio ideal principal no conmutativo .
• Si σ es un automorfismo y R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la extensión de Ore R [  λ ;  σ ,  δ  ] también es noetheriana izquierda.

Elementos

Un elemento f de un anillo de mineral R se llama

• bilateral ^[1] (o invariante ^[2] ), si R·f = f·R , y
• central , si g·f = f·g para todo g en R .

Lectura adicional

• Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004), Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos, segunda edición , London Mathematical Society Student Texts, vol. 61, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-54537-4, Sr.  2080008
• McConnell, JC; Robson, JC (2001), Anillos noetherianos no conmutativos , Graduate Studies in Mathematics , vol. 30, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5, Sr.  1811901
• Azeddine Ouarit (1992) Extensiones de ore d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Álgebra, 20 N° 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Azeddine Ouarit (1994) Un comentario sobre la propiedad Jacobson de las extensiones de PI Ore. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extensions de Ore a IP) (francés) Zbl 0819.16024. Arco. Matemáticas. 63, núm. 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
• Rowen, Louis H. (1988), Teoría de anillos, vol. I, II , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 127, 128, Boston, MA: Academic Press , ISBN 0-12-599841-4, Sr.  0940245

Referencias

1. Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos . Springer.
2. Cohn, Paul M. (1995). Campos oblicuos: teoría de anillos de división general . Cambridge University Press .