Sub-anillo

Subconjunto de un anillo que forma un anillo a su vez

En matemáticas , un subanillo de un anillo R es un subconjunto de R que es en sí mismo un anillo cuando las operaciones binarias de adición y multiplicación en R están restringidas al subconjunto, y que comparte la misma identidad multiplicativa que R. ^[a]

Definición

Un subanillo de un anillo ( R , +, *, 0, 1) es un subconjunto S de R que conserva la estructura del anillo, es decir, un anillo ( S , +, *, 0, 1) con S ⊆ R . De manera equivalente, es a la vez un subgrupo de ( R , +, 0) y un submonoide de ( R , *, 1) .

De manera equivalente, S es un subanillo si y solo si contiene la identidad multiplicativa de R y es cerrado ante la multiplicación y la resta. Esto a veces se conoce como la prueba del subanillo . ^[1]

Variaciones

Algunos matemáticos definen anillos sin requerir la existencia de una identidad multiplicativa (ver Anillo (matemáticas) § Historia ). En este caso, un subanillo de R es un subconjunto de R que es un anillo para las operaciones de R (esto implica que contiene la identidad aditiva de R ). Esta definición alternativa da una condición estrictamente más débil, incluso para anillos que sí tienen una identidad multiplicativa, en el sentido de que todos los ideales se convierten en subanillos, y pueden tener una identidad multiplicativa que difiere de la de R . Con la definición que requiere una identidad multiplicativa, que se utiliza en el resto de este artículo, el único ideal de R que es un subanillo de R es el propio R.

Ejemplos

• El anillo de números enteros es un subanillo tanto del cuerpo de números reales como del anillo de polinomios . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$y sus cocientes no tienen subanillos (con identidad multiplicativa) distintos del anillo completo. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

• Cada anillo tiene un único subanillo más pequeño, isomorfo a algún anillo con n un entero no negativo (ver Característica ). Los enteros corresponden a n = 0 en esta afirmación, ya que es isomorfo a . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} }$

• El centro de un anillo R es un subanillo de R , y R es un álgebra asociativa sobre su centro.

• El anillo de cuaterniones divididos tiene subanillos isomorfos a los anillos de números duales y números complejos divididos , y al cuerpo de números complejos . ^{[ cita requerida ]} Dado que estos anillos también son álgebras reales representadas por matrices cuadradas , los subanillos pueden identificarse como subálgebras .

Subanillo generado por un conjunto

Un tipo especial de subanillo de un anillo R es el subanillo generado por un subconjunto X , que se define como la intersección de todos los subanillos de R que contienen a X . ^[3] El subanillo generado por X es también el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes enteros de elementos de X , incluyendo la identidad aditiva ("combinación vacía") y la identidad multiplicativa ("producto vacío"). ^{[ cita requerida ]}

Cualquier intersección de subanillos de R es en sí misma un subanillo de R ; por lo tanto, el subanillo generado por X (denotado aquí como S ) es de hecho un subanillo de R . Este subanillo S es el subanillo más pequeño de R que contiene a X ; es decir, si T es cualquier otro subanillo de R que contiene a X , entonces S ⊆ T .

Dado que R en sí mismo es un subanillo de R , si R es generado por X , se dice que el anillo R es generado por X .

Extensión de anillo

Los subanillos generalizan algunos aspectos de las extensiones de campo . Si S es un subanillo de un anillo R , entonces, equivalentemente, se dice que R es una extensión de anillo ^[b] de S.

Contiguo

Si A es un anillo y T es un subanillo de A generado por R ∪ S , donde R es un subanillo, entonces T es una extensión del anillo y se dice que es S contiguo a R , denotado R [ S ] . Los elementos individuales también pueden estar contiguos a un subanillo, denotado R [ a ₁ , a ₂ , ..., a _n ] . ^{[4] [3]}

Por ejemplo, el anillo de números enteros gaussianos es un subanillo de generado por , y por lo tanto es la adjunción de la unidad imaginaria i a . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Subanillo principal

La intersección de todos los subanillos de un anillo R es un subanillo que puede llamarse subanillo primo de R por analogía con los campos primos .

El subanillo primo de un anillo R es un subanillo del centro de R , que es isomorfo al anillo de los enteros o al anillo de los enteros módulo n , donde n es el entero positivo más pequeño tal que la suma de n copias de 1 es igual a 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Véase también

• Extensión integral
• Ampliación de grupo
• Extensión algebraica
• Extensión de mineral

Notas

1. En general, no todos los subconjuntos de un anillo R son anillos.
2. No debe confundirse con el análogo teórico de un anillo de una extensión de grupo .

Referencias

1. Dummit, David Steven; Foote, Richard Martin (2004). Álgebra abstracta (tercera edición). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons. pág. 228. ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra (3.ª ed.). Nueva York. pp. 89-90. ISBN 978-0387953854.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)^{[ enlace muerto ]}
3. Lovett, Stephen (2015). "Anillos". Álgebra abstracta: estructuras y aplicaciones . Boca Raton: CRC Press. págs. 216-217. ISBN 9781482248913.
4. Gouvêa, Fernando Q. (2012). "Anillos y módulos". Una guía para grupos, anillos y cuerpos . Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos. p. 145. ISBN 9780883853559.

Referencias generales

• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos matemáticos universitarios. Oliver y Boyd. Págs. 14-16. ISBN. 0-05-002192-3.
• Sharpe, David (1987). Anillos y factorización . Cambridge University Press . Págs. 15-17. ISBN. 0-521-33718-6.