Ergodicidad

Propiedad del movimiento que llena uniformemente el espacio.

En matemáticas , la ergodicidad expresa la idea de que un punto de un sistema en movimiento, ya sea un sistema dinámico o un proceso estocástico , eventualmente visitará todas las partes del espacio en el que se mueve el sistema, en un sentido uniforme y aleatorio. Esto implica que el comportamiento medio del sistema puede deducirse de la trayectoria de un punto "típico". De manera equivalente, una colección suficientemente grande de muestras aleatorias de un proceso puede representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso. La ergodicidad es una propiedad del sistema; es una afirmación de que el sistema no se puede reducir ni descomponer en componentes más pequeños. La teoría ergódica es el estudio de sistemas que poseen ergodicidad.

Los sistemas ergódicos ocurren en una amplia gama de sistemas en física y geometría . Se puede entender que esto se debe a un fenómeno común: el movimiento de las partículas, es decir, las geodésicas en una variedad hiperbólica, son divergentes; cuando esa variedad es compacta , es decir, de tamaño finito, esas órbitas regresan a la misma área general , llenando eventualmente todo el espacio.

Los sistemas ergódicos capturan las nociones cotidianas de aleatoriedad, tales como que el humo podría llegar a llenar toda una habitación llena de humo, o que un bloque de metal podría eventualmente llegar a tener la misma temperatura en todas partes, o que volteas de una moneda justa puede salir cara y cruz la mitad de las veces. Un concepto más fuerte que el de ergodicidad es el de mezcla , que pretende describir matemáticamente las nociones de sentido común de mezclar, como mezclar bebidas o mezclar ingredientes para cocinar.

La formulación matemática adecuada de la ergodicidad se basa en las definiciones formales de la teoría de la medida y los sistemas dinámicos , y más específicamente en la noción de un sistema dinámico que preserva la medida . Los orígenes de la ergodicidad se encuentran en la física estadística , donde Ludwig Boltzmann formuló la hipótesis ergódica .

explicación informal

La ergodicidad ocurre en ámbitos amplios de la física y las matemáticas . Todos estos entornos están unificados por una descripción matemática común, la del sistema dinámico que preserva la medida . De manera equivalente, la ergodicidad puede entenderse en términos de procesos estocásticos . Son lo mismo, a pesar de utilizar notación y lenguaje dramáticamente diferentes.

Sistemas dinámicos que preservan medidas.

La definición matemática de ergodicidad tiene como objetivo capturar ideas cotidianas sobre la aleatoriedad . Esto incluye ideas sobre sistemas que se mueven de tal manera que (eventualmente) llenan todo el espacio, como la difusión y el movimiento browniano , así como nociones de sentido común sobre la mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes para cocinar, productos industriales . proceso de mezcla , el humo en una habitación llena de humo, el polvo en los anillos de Saturno , etc. Para proporcionar una base matemática sólida, las descripciones de los sistemas ergódicos comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva la medida . Esto está escrito como ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$

Se entiende por conjunto el espacio total a llenar: el cuenco, la sala llena de humo, etc. Se entiende por medida la definición del volumen natural del espacio y de sus subespacios. La colección de subespacios se denota por y el tamaño de cualquier subconjunto dado es ; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginarse que es el conjunto de poder de ; Esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (la famosa paradoja de Banach-Tarski ). Por lo tanto, convencionalmente, consta de subconjuntos mensurables: los subconjuntos que sí tienen un volumen. Siempre se considera un conjunto de Borel : la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones , uniones y complementos de conjuntos abiertos; estos siempre pueden considerarse mensurables. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa . Dado algún subconjunto , su mapa será en general una versión deformada : está aplastado o estirado, doblado o cortado en pedazos. Ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de la herradura , ambos inspirados en la elaboración del pan . El conjunto debe tener el mismo volumen que ; el aplastamiento/estiramiento no altera el volumen del espacio, sólo su distribución. Un sistema de este tipo "conserva las medidas" (conserva el área, preserva el volumen). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Una dificultad formal surge cuando se intenta conciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo un mapa. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden corresponder al mismo punto en su rango; es decir, puede haber con . Peor aún, un solo punto no tiene tamaño. Estas dificultades se pueden evitar trabajando con el mapa inverso ; asignará cualquier subconjunto determinado a las piezas que se ensamblaron para crearlo: estas piezas son . Tiene la importante propiedad de no perder de vista de dónde vinieron las cosas. Más fuertemente, tiene la importante propiedad de que cualquier mapa (que preserva la medida) es el inverso de algún mapa . La definición adecuada de un mapa que preserva el volumen es aquella que describe todas las piezas de las que provienen. ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Ahora estamos interesados ​​en estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto eventualmente llega a llenarlo todo durante un largo período de tiempo (es decir, si se acerca a todo lo grande ), se dice que el sistema es ergódico . Si cada conjunto se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador , en contraste con un sistema disipativo , donde algunos subconjuntos se alejan y nunca regresan a ellos. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo: una vez que corre hacia abajo, nunca volverá a subir. El lago que se forma en el fondo de este río, sin embargo, puede mezclarse bien. El teorema de descomposición ergódica establece que todo sistema ergódico se puede dividir en dos partes: la parte conservativa y la parte disipativa. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T^{n}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

La mezcla es una declaración más fuerte que la ergodicidad. La mezcla requiere que esta propiedad ergódica se mantenga entre dos conjuntos cualesquiera , y no sólo entre algún conjunto y . Es decir, dados dos conjuntos cualesquiera , se dice que un sistema se está mezclando (topológicamente) si hay un número entero tal que, para todos y , uno tiene eso . Aquí, denota intersección de conjuntos y es el conjunto vacío . Otras nociones de mezcla incluyen mezcla fuerte y débil, que describen la noción de que las sustancias mezcladas se entremezclan en todas partes, en igual proporción. Esto puede no ser trivial, como lo demuestra la experiencia práctica al intentar mezclar sustancias pegajosas y pegajosas. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Procesos ergódicos

La discusión anterior apela a una sensación física de volumen. El volumen no tiene por qué ser literalmente una porción del espacio 3D ; puede ser algún volumen abstracto. Este es generalmente el caso de los sistemas estadísticos, donde el volumen (la medida) viene dado por la probabilidad. El volumen total corresponde a la probabilidad uno. Esta correspondencia funciona porque los axiomas de la teoría de la probabilidad son idénticos a los de la teoría de la medida ; estos son los axiomas de Kolmogorov . ^[1]

La idea de un volumen puede ser muy abstracta. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los posibles lanzamientos de moneda: el conjunto de secuencias infinitas de cara y cruz. Al asignar el volumen de 1 a este espacio, está claro que la mitad de todas estas secuencias comienzan con cara y la otra mitad con cruz. Se puede dividir este volumen de otras maneras: se puede decir: "No me importan los primeros lanzamientos de moneda; pero quiero que el décimo sea cara, y luego no me importa lo que viene después". ". Esto se puede escribir como el conjunto donde está "no me importa" y es "cara". El volumen de este espacio es nuevamente la mitad. ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*,\cdots )}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle h}$

Lo anterior es suficiente para construir un sistema dinámico que preserve las medidas, en su totalidad. Los conjuntos de o que aparecen en el lugar 'ésimo se denominan conjuntos de cilindros . El conjunto de todas las intersecciones, uniones y complementos posibles de los conjuntos de cilindros forman entonces el conjunto de Borel definido anteriormente. En términos formales, los conjuntos de cilindros forman la base para una topología en el espacio de todos los posibles lanzamientos de monedas de longitud infinita. La medida tiene todas las propiedades de sentido común que uno podría esperar: la medida de un cilindro colocado en la posición 'ésima y en la posición 'ésima es obviamente 1/4, y así sucesivamente. Estas propiedades de sentido común persisten para el complemento y la unión de conjuntos: todo excepto y en ubicaciones y obviamente tiene el volumen de 3/4. En conjunto, estos forman los axiomas de una medida aditiva sigma ; Los sistemas dinámicos que preservan medidas siempre utilizan medidas aditivas sigma. Para los lanzamientos de monedas, esta medida se llama medida de Bernoulli . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

Para el proceso de lanzamiento de moneda, el operador de evolución temporal es el operador de turno que dice "tira la primera moneda al aire y quédate con el resto". Formalmente, si es una secuencia de lanzamientos de moneda, entonces . La medida es obviamente invariante al cambio: siempre que estemos hablando de algún conjunto donde el primer lanzamiento de moneda sea el valor "no importa", entonces el volumen no cambia: . Para evitar hablar del primer lanzamiento de moneda, es más fácil definirlo como insertar un valor "no importa" en la primera posición: . Con esta definición, obviamente se tiene eso sin restricciones . Este es nuevamente un ejemplo de por qué se usa en las definiciones formales. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x_{1}=*}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{-1}}$

El desarrollo anterior toma un proceso aleatorio, el proceso de Bernoulli, y lo convierte en un sistema dinámico que preserva la medida. La misma conversión (equivalencia, isomorfismo) se puede aplicar a cualquier proceso estocástico . Por tanto, una definición informal de ergodicidad es que una secuencia es ergódica si visita todos ; tales secuencias son "típicas" del proceso. Otra es que sus propiedades estadísticas se pueden deducir a partir de una muestra única, suficientemente larga y aleatoria del proceso (muestreando así uniformemente todos ), o que cualquier colección de muestras aleatorias de un proceso debe representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso ( es decir, las muestras extraídas uniformemente son representativas del conjunto). En el presente ejemplo, una secuencia de lanzamientos de moneda, donde la mitad son cara y la otra mitad cruz, es una secuencia "típica". ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Hay varios puntos importantes que destacar sobre el proceso Bernoulli. Si se escribe 0 para cruz y 1 para cara, se obtiene el conjunto de todas las cadenas infinitas de dígitos binarios. Estos corresponden a la expansión en base dos de los números reales . Explícitamente, dada una secuencia , el número real correspondiente es ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$

${\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}$

La afirmación de que el proceso de Bernoulli es ergódico equivale a la afirmación de que los números reales están distribuidos uniformemente. El conjunto de todas estas cadenas se puede escribir de diversas formas: Este conjunto es el conjunto de Cantor , a veces llamado espacio de Cantor para evitar confusión con la función de Cantor. ${\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}$

Al final, todo esto es "lo mismo".

El conjunto de Cantor desempeña un papel clave en muchas ramas de las matemáticas. En matemáticas recreativas, sustenta los fractales que duplican el período ; en análisis , aparece en una amplia variedad de teoremas. Una clave para los procesos estocásticos es la descomposición de Wold , que establece que cualquier proceso estacionario se puede descomponer en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de media móvil .

El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que todo proceso estocástico estacionario es equivalente a un esquema de Bernoulli (un proceso de Bernoulli con un dado de juego de N lados (y posiblemente injusto ). Otros resultados incluyen que cada sistema ergódico no disipativo es equivalente al odómetro de Markov , a veces llamado "máquina de sumar" porque parece una suma de escuela primaria, es decir, tomar una secuencia de dígitos en base N , sumar uno y propagar el llevar bits. La prueba de equivalencia es muy abstracta; comprender el resultado no lo es: al agregar uno en cada paso de tiempo, se visitan todos los estados posibles del odómetro, hasta que gira y comienza de nuevo. Asimismo, los sistemas ergódicos visitan cada estado, de manera uniforme, pasando al siguiente, hasta haber sido visitados todos.

Mediante dinámica simbólica se estudian sistemas que generan secuencias (infinitas) de N letras . Casos especiales importantes incluyen subdesplazamientos de sistemas de tipo finito y soficos .

Historia y etimología

Comúnmente se piensa que el término ergódico deriva de las palabras griegas ἔργον ( ergon : "trabajo") y ὁδός ( hodos : "camino", "camino"), elegidas por Ludwig Boltzmann mientras trabajaba en un problema de mecánica estadística . ^[2] Al mismo tiempo, también se afirma que es una derivación de ergomonode , acuñado por Boltzmann en un artículo relativamente oscuro de 1884. La etimología parece ser cuestionada también de otras maneras. ^[3]

La idea de ergodicidad nació en el campo de la termodinámica , donde era necesario relacionar los estados individuales de las moléculas de un gas con la temperatura de un gas en su conjunto y su evolución temporal del mismo. Para ello fue necesario establecer qué significa exactamente que los gases se mezclen bien entre sí, de modo que se pueda definir con rigor matemático el equilibrio termodinámico . Una vez que la teoría estuvo bien desarrollada en física , fue rápidamente formalizada y extendida, de modo que la teoría ergódica ha sido durante mucho tiempo un área independiente de las matemáticas en sí misma. Como parte de esa progresión, coexisten más de una definición ligeramente diferente de ergodicidad y multitud de interpretaciones del concepto en diferentes campos. ^{[ cita necesaria ]}

Por ejemplo, en física clásica el término implica que un sistema satisface la hipótesis ergódica de la termodinámica , ^[4] siendo el espacio de estados relevante el espacio de posición y de momento .

En la teoría de sistemas dinámicos, el espacio de estados suele considerarse un espacio de fase más general . Por otro lado, en la teoría de la codificación, el espacio de estados suele ser discreto tanto en tiempo como en estado, con menos estructura concomitante. En todos esos campos, las ideas de promedio de tiempo y promedio de conjunto también pueden conllevar un equipaje adicional, como es el caso de las muchas posibles funciones de partición termodinámicamente relevantes utilizadas para definir promedios de conjunto en física, nuevamente. Como tal, la formalización teórica de la medida del concepto también sirve como disciplina unificadora. En 1913, Michel Plancherel demostró la estricta imposibilidad de ergodicidad para un sistema puramente mecánico. ^{[ cita necesaria ]}

Ergodicidad en física y geometría.

A continuación se presenta una revisión de la ergodicidad en física y geometría . En todos los casos, la noción de ergodicidad es exactamente la misma que la de los sistemas dinámicos; no hay diferencia , excepto por la perspectiva, la notación, el estilo de pensamiento y las revistas donde se publican los resultados.

Los sistemas físicos se pueden dividir en tres categorías: mecánica clásica , que describe máquinas con un número finito de partes móviles, mecánica cuántica , que describe la estructura de los átomos, y mecánica estadística , que describe gases, líquidos y sólidos; esto incluye la física de la materia condensada . Estos se presentan a continuación.

En mecánica estadística

Esta sección revisa la ergodicidad en la mecánica estadística. La definición abstracta anterior de volumen es necesaria como escenario apropiado para las definiciones de ergodicidad en física . Consideremos un recipiente de líquido , gas , plasma u otra colección de átomos o partículas . Todas y cada una de las partículas tienen una posición tridimensional y una velocidad tridimensional y, por lo tanto, se describen mediante seis números: un punto en el espacio de seis dimensiones. Si hay partículas de este tipo en el sistema, una descripción completa requiere números. Cualquier sistema es solo un punto en El sistema físico no es todo , por supuesto; si es una caja de ancho, alto y largo, entonces un punto está en . Tampoco las velocidades pueden ser infinitas: están escaladas mediante alguna medida de probabilidad, por ejemplo, la medida de Boltzmann-Gibbs para un gas. Sin embargo, para cerca del número de Avogadro , este es obviamente un espacio muy grande. A este espacio se le llama conjunto canónico . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 6N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}$ ${\displaystyle W\times H\times L}$ ${\displaystyle \left(W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3}\right)^{N}.}$ ${\displaystyle N}$

Se dice que un sistema físico es ergódico si algún punto representativo del sistema eventualmente visita todo el volumen del sistema. Para el ejemplo anterior, esto implica que cualquier átomo dado no sólo visita cada parte de la caja con probabilidad uniforme, sino que lo hace con todas las velocidades posibles, con probabilidad dada por la distribución de Boltzmann para esa velocidad (por lo tanto, uniforme con respecto a esa medida). La hipótesis ergódica afirma que los sistemas físicos en realidad son ergódicos. Están en juego múltiples escalas de tiempo: los gases y los líquidos parecen ser ergódicos en escalas de tiempo cortas. La ergodicidad en un sólido puede verse en términos de modos vibratorios o fonones , ya que obviamente los átomos en un sólido no intercambian ubicaciones. Las gafas presentan un desafío a la hipótesis ergódica; Se supone que las escalas de tiempo son de millones de años, pero los resultados son controvertidos. Los vasos giratorios presentan dificultades especiales. ${\displaystyle W\times H\times L}$

Es difícil conseguir pruebas matemáticas formales de ergodicidad en física estadística; Se supone que la mayoría de los sistemas de muchos cuerpos de alta dimensión son ergódicos, sin prueba matemática. Las excepciones incluyen los billares dinámicos , que modelan colisiones de átomos de tipo bola de billar en un gas o plasma ideal . El primer teorema de ergodicidad de esfera dura fue para el billar del Sinaí , que considera dos bolas, una de ellas tomada como estacionaria, en el origen. Cuando la segunda bola choca, se aleja; aplicando condiciones de contorno periódicas, luego vuelve a chocar nuevamente. Apelando a la homogeneidad, este retorno de la "segunda" bola puede considerarse en cambio como "sólo otro átomo" que ha entrado en su rango y se está moviendo para chocar con el átomo en el origen (que puede considerarse simplemente "cualquier otro átomo".) Ésta es una de las pocas pruebas formales que existen; No existen afirmaciones equivalentes, por ejemplo , para átomos en un líquido que interactúan mediante fuerzas de Van der Waals , incluso si fuera de sentido común creer que tales sistemas son ergódicos (y se mezclan). Sin embargo, se pueden presentar argumentos físicos más precisos.

Sistemas dinámicos simples

El estudio formal de la ergodicidad puede abordarse examinando sistemas dinámicos bastante simples. Algunos de los principales se enumeran aquí.

La rotación irracional de un círculo es ergódica: la órbita de un punto es tal que eventualmente se visita uno de cada dos puntos del círculo. Estas rotaciones son un caso especial del mapa de intercambio de intervalos . Las expansiones beta de un número son ergódicas: las expansiones beta de un número real no se realizan en base N , sino en base para algunos. La versión reflejada de la expansión beta es tent map ; Hay una variedad de otros mapas ergódicos del intervalo unitario. Pasando a dos dimensiones, los billares aritméticos con ángulos irracionales son ergódicos. También se puede tomar un rectángulo plano, aplastarlo, cortarlo y volver a armarlo; Este es el mapa del panadero mencionado anteriormente . Sus puntos pueden describirse mediante el conjunto de cadenas bi-infinitas en dos letras, es decir, que se extienden tanto hacia la izquierda como hacia la derecha; como tal, parecen dos copias del proceso de Bernoulli. Si uno se deforma de lado durante el aplastamiento, se obtiene el mapa del gato de Arnold . En muchos sentidos, el mapa del gato es un prototipo de cualquier otra transformación similar. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta .}$

En mecánica y geometría clásicas.

La ergodicidad es un fenómeno generalizado en el estudio de variedades simplécticas y variedades de Riemann . Las variedades simplécticas proporcionan el escenario generalizado para la mecánica clásica , donde el movimiento de un sistema mecánico se describe mediante una geodésica . Las variedades de Riemann son un caso especial: el paquete cotangente de una variedad de Riemann es siempre una variedad simpléctica. En particular, las geodésicas de una variedad de Riemann están dadas por la solución de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi .

El flujo geodésico de un toro plano que sigue cualquier dirección irracional es ergódico; informalmente esto significa que al trazar una línea recta en un cuadrado comenzando en cualquier punto, y con un ángulo irracional respecto de los lados, si cada vez que uno encuentra un lado comienza de nuevo en el lado opuesto con el mismo ángulo, la línea eventualmente cumplir con cada subconjunto de medidas positivas. De manera más general, en cualquier superficie plana hay muchas direcciones ergódicas para el flujo geodésico.

Para superficies no planas, se tiene que el flujo geodésico de cualquier superficie compacta de Riemann curvada negativamente es ergódico. Una superficie es "compacta" en el sentido de que tiene un área superficial finita. El flujo geodésico es una generalización de la idea de moverse en "línea recta" sobre una superficie curva: este tipo de líneas rectas son geodésicas . Uno de los primeros casos estudiados es el billar de Hadamard , que describe geodésicas en la superficie de Bolza , topológicamente equivalentes a un donut con dos agujeros. La ergodicidad se puede demostrar de manera informal, si se tiene un rotulador y algún ejemplo razonable de donut con dos agujeros: comenzando en cualquier lugar, en cualquier dirección, se intenta dibujar una línea recta; Los gobernantes son útiles para esto. No hace falta mucho tiempo para descubrir que no se vuelve al punto de partida. (Por supuesto, los dibujos torcidos también pueden explicar esto; por eso tenemos pruebas).

Estos resultados se extienden a dimensiones superiores. El flujo geodésico para variedades de Riemann compactas con curvatura negativa es ergódico. Un ejemplo clásico de esto es el flujo de Anosov , que es el flujo del horociclo en una variedad hiperbólica . Esto puede verse como una especie de fibración de Hopf . Tales flujos ocurren comúnmente en la mecánica clásica , que es el estudio en física de maquinaria en movimiento de dimensión finita, por ejemplo, el doble péndulo , etc. La mecánica clásica se construye sobre variedades simplécticas . Los flujos en tales sistemas pueden deconstruirse en variedades estables e inestables ; como regla general, cuando esto es posible, se produce un movimiento caótico. Se puede ver que esto es genérico al observar que el paquete cotangente de una variedad de Riemann es (siempre) una variedad simpléctica; el flujo geodésico viene dado por una solución de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para esta variedad. En términos de las coordenadas canónicas de la variedad cotangente, el hamiltoniano o energía viene dada por ${\displaystyle (q,p)}$

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

con el (inverso del) tensor métrico y el momento . La semejanza con la energía cinética de una partícula puntual no es accidental; Éste es el objetivo de llamar a tales cosas "energía". En este sentido, el comportamiento caótico con órbitas ergódicas es un fenómeno más o menos genérico en grandes extensiones de la geometría. ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Se han proporcionado resultados de ergodicidad en superficies de traslación , grupos hiperbólicos y geometría sistólica . Las técnicas incluyen el estudio de flujos ergódicos , la descomposición de Hopf y el teorema de Ambrose-Kakutani-Krengel-Kubo . Una clase importante de sistemas son los sistemas Axiom A.

Se han obtenido varios resultados tanto de clasificación como de "anticlasificación". El teorema del isomorfismo de Ornstein también se aplica aquí; nuevamente, afirma que la mayoría de estos sistemas son isomorfos a algún esquema de Bernoulli . Esto vincula claramente estos sistemas con la definición de ergodicidad dada para un proceso estocástico en la sección anterior. Los resultados de la anticlasificación establecen que hay más de un número contablemente infinito de sistemas dinámicos ergódicos no equivalentes que preservan medidas. Quizás esto no sea del todo una sorpresa, ya que se pueden utilizar puntos del conjunto de Cantor para construir sistemas similares pero diferentes. Consulte el sistema dinámico de preservación de medidas para obtener un breve resumen de algunos de los resultados anticlasificación.

En mecánica ondulatoria

Todas las secciones anteriores consideraron la ergodicta ya sea desde el punto de vista de un sistema dinámico mensurable o desde la noción dual de rastrear el movimiento de las trayectorias de partículas individuales. Un concepto estrechamente relacionado ocurre en la mecánica ondulatoria (no lineal) . Allí, la interacción resonante permite la mezcla de modos normales , lo que a menudo (pero no siempre) conduce a la eventual termalización del sistema. Uno de los primeros sistemas que se estudió rigurosamente en este contexto es el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou , una cadena de osciladores débilmente acoplados.

Una interacción resonante es posible siempre que las relaciones de dispersión de los medios ondulatorios permitan que tres o más modos normales se sumen de tal manera que se conserve tanto el impulso total como la energía total. Esto permite que la energía concentrada en un modo se derrame en otros modos, y eventualmente distribuya esa energía de manera uniforme entre todos los modos que interactúan.

Las interacciones resonantes entre ondas ayudan a comprender la distinción entre caos de alta dimensión (es decir, turbulencia ) y termalización. Cuando los modos normales se pueden combinar de modo que la energía y el momento se conserven exactamente, entonces se aplica la teoría de las interacciones resonantes y la energía se propaga a todos los modos que interactúan. Cuando las relaciones de dispersión sólo permiten un equilibrio aproximado, se produce turbulencia o movimiento caótico. Los modos turbulentos pueden luego transferir energía a modos que se mezclan, lo que eventualmente conduce a la termalización, pero no antes de un intervalo previo de movimiento caótico.

En mecánica cuántica

En cuanto a la mecánica cuántica, no existe una definición cuántica universal de ergodocidad o incluso de caos (ver caos cuántico ). ^[5] Sin embargo, existe un teorema de ergodicidad cuántica que establece que el valor esperado de un operador converge al promedio clásico microcanónico correspondiente en el límite semiclásico . Sin embargo, el teorema no implica que todos los estados propios del hamiltioniano cuya contraparte clásica es caótica sean características y aleatorias. Por ejemplo, el teorema de la ergodicidad cuántica no excluye la existencia de estados no ergódicos como las cicatrices cuánticas . Además de las cicatrices convencionales, ^{[6] [7] [8] [9]} existen otros dos tipos de cicatrices cuánticas, que ilustran aún más la ruptura por ergodicidad débil en los sistemas caóticos cuánticos: inducida por perturbaciones ^{[10] [11] [12] [13] [14]} y cicatrices cuánticas de muchos cuerpos. ^[15] ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Definición de sistemas de tiempo discreto

Las medidas ergódicas constituyen una de las piedras angulares con las que generalmente se discute la ergodicidad. A continuación se presenta una definición formal.

Medida invariante

Sea un espacio mensurable . Si es una función medible de a sí misma y una medida de probabilidad de , entonces un sistema dinámico que preserva la medida se define como un sistema dinámico para el cual para todos . Se dice que tal conserva de manera equivalente, es decir , invariante . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu ;}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Medida ergódica

Se dice que una función medible es -ergódica o que es una medida ergódica si se conserva y se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Para cualquiera que sea o . ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1}$

En otras palabras, no hay subconjuntos invariantes hasta la medida 0 (con respecto a ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Algunos autores ^[16] relajan el requisito que preserva al requisito de que sea una transformación no singular con respecto a , lo que significa que si es un subconjunto de medida cero entonces también lo es . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T(N)}$

Ejemplos

El ejemplo más simple es cuando es un conjunto finito y la medida de conteo . Entonces un automapa de conserva si y solo si es una biyección, y es ergódico si y solo si tiene una sola órbita (es decir, para cada existe tal que ). Por ejemplo, si entonces el ciclo es ergódico, pero la permutación no lo es (tiene los dos subconjuntos invariantes y ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y=T^{k}(x)}$ ${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$

Formulaciones equivalentes

La definición dada anteriormente admite las siguientes reformulaciones inmediatas:

• para cada con tenemos o (donde denota la diferencia simétrica ); ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1\,}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
• por cada medida positiva que tenemos ; ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$
• por cada dos conjuntos de medidas positivas, existe tal que ; ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0}$
• Cada función medible es constante en un subconjunto de medida completa. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\circ T=f}$

Es importante destacar que para las aplicaciones, la condición de la última caracterización se puede restringir únicamente a funciones integrables al cuadrado :

• Si y entonces es constante en casi todas partes. ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle f\circ T=f}$ ${\displaystyle f}$

Más ejemplos

Cambios y subcambios de Bernoulli

Sea un conjunto finito y con medida del producto ( dotado cada factor de su medida de conteo). Entonces el operador de turno definido por es -ergodic . ^[17] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\left((s_{k})_{k\in \mathbb {Z} })\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu }$

Hay muchas más medidas ergódicas para el mapa de cambios en . Las secuencias periódicas dan medidas con soporte finito. Más interesante aún, hay aquellos con soporte infinito que son subdesplazamientos de tipo finito . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Rotaciones irracionales

Sea el círculo unitario , con su medida de Lebesgue . Para cualquier, la rotación de ángulo viene dada por . Entonces, si no es ergódico para la medida de Lebesgue, ya que tiene infinitas órbitas finitas. Por otro lado, si es irracional entonces es ergódico. ^[18] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{\theta }(z)=e^{2i\pi \theta }z}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle T_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{\theta }}$

El mapa del gato de Arnold

Sea el 2-toro. Entonces cualquier elemento define un automapa de since . Cuando se obtiene el llamado mapa del gato de Arnold, que es ergódico para la medida de Lebesgue sobre el toroide. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)=\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\textstyle g=\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$

Teoremas ergódicos

Si es una medida de probabilidad en un espacio que es ergódica para una transformación, el teorema ergódico puntual de G. Birkhoff establece que para todas las funciones mensurables y para casi todos los puntos, el promedio temporal en la órbita de converge al promedio espacial de . Formalmente esto significa que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .}$$

El teorema ergódico medio de J. von Neumann es una afirmación similar, más débil, sobre traducciones promediadas de funciones integrables al cuadrado.

Propiedades relacionadas

Órbitas densas

Una consecuencia inmediata de la definición de ergodicidad es que en un espacio topológico , y si es el σ-álgebra de los conjuntos de Borel , si es -ergódico entonces -casi todas las órbitas de son densas en el soporte de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Esto no es una equivalencia ya que para una transformación que no es únicamente ergódica, pero para la cual existe una medida ergódica con soporte total , para cualquier otra medida ergódica la medida no es ergódica pero sus órbitas son densas en el soporte. Se pueden construir ejemplos explícitos con medidas invariantes de cambio. ^[19] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\mu _{0}+\mu _{1})}$ ${\displaystyle T}$

Mezclando

Se dice que una transformación de un espacio de medidas de probabilidad se está mezclando para la medida si para cualquier conjunto mensurable se cumple lo siguiente: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B)}$$

Es inmediato que una transformación mixta también es ergódica (considerando un subconjunto estable y su complemento). Lo contrario no es cierto, por ejemplo, una rotación con un ángulo irracional en el círculo (que es ergódica según los ejemplos anteriores) no se mezcla (durante un intervalo suficientemente pequeño, sus imágenes sucesivas no se cruzarán consigo mismas la mayor parte del tiempo). Los cambios de Bernoulli se están mezclando, al igual que el mapa felino de Arnold. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$

Esta noción de mezcla a veces se denomina mezcla fuerte, a diferencia de mezcla débil, lo que significa que

$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\mu (T^{-n}A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0}$$

Ergodicidad adecuada

Se dice que la transformación es propiamente ergódica si no tiene una órbita de medida completa. En el caso discreto, esto significa que la medida no está soportada en una órbita finita de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Definición de sistemas dinámicos de tiempo continuo.

La definición es esencialmente la misma para sistemas dinámicos de tiempo continuo que para una transformación única. Sea un espacio medible y para cada uno , entonces dicho sistema está dado por una familia de funciones mensurables desde hacia sí mismo, de modo que para cualquiera la relación se cumple (generalmente también se pregunta que el mapa de órbita desde también sea mensurable). Si es una medida de probabilidad, entonces decimos que es -ergódica o es una medida ergódica si cada una preserva y se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{s+t}=T_{s}\circ T_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times X\to X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$

Para cualquiera , si para todos tenemos entonces o . ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{t}^{-1}(A)\subset A}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1}$

Ejemplos

Como en el caso discreto, el ejemplo más simple es el de una acción transitiva; por ejemplo, la acción sobre el círculo dado por es ergódica para la medida de Lebesgue. ${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$

Un ejemplo con infinitas órbitas lo da el flujo a lo largo de una pendiente irracional en el toro: sea y . Dejar ; entonces si esto es ergódico para la medida de Lebesgue. ${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)}$ ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$

Flujos ergódicos

Otros ejemplos de flujos ergódicos son:

• Billar en dominios euclidianos convexos;
• el flujo geodésico de una variedad de Riemann de volumen finito curvada negativamente es ergódico (para la medida de volumen normalizada);
• el flujo del horociclo en una variedad hiperbólica de volumen finito es ergódico (para la medida de volumen normalizada)

Ergodicidad en espacios métricos compactos

Si es un espacio métrico compacto , está naturalmente dotado del álgebra σ de los conjuntos de Borel . La estructura adicional proveniente de la topología permite una teoría mucho más detallada para transformaciones y medidas ergódicas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Interpretación del análisis funcional.

Se puede dar una definición alternativa muy poderosa de medidas ergódicas utilizando la teoría de los espacios de Banach . Las medidas de radón forman un espacio de Banach cuyo conjunto de medidas de probabilidad es un subconjunto convexo . Dada una transformación continua del subconjunto de medidas invariantes es un subconjunto convexo cerrado, y una medida es ergódica si y sólo si es un punto extremo de este convexo. ^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Existencia de medidas ergódicas

En el escenario anterior se deduce del teorema de Banach-Alaoglu que siempre existen puntos extremos en . Por tanto, una transformación de un espacio métrico compacto siempre admite medidas ergódicas. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$

Descomposición ergódica

En general, una medida invariante no tiene por qué ser ergódica, pero como consecuencia de la teoría de Choquet siempre puede expresarse como el baricentro de una medida de probabilidad en el conjunto de medidas ergódicas. Esto se conoce como descomposición ergódica de la medida. ^[21]

Ejemplo

En el caso de y la medida de conteo no es ergódica. Las medidas ergódicas para son las medidas uniformes apoyadas en los subconjuntos y cada medida de probabilidad invariante se puede escribir en la forma para algunos . En particular es la descomposición ergódica de la medida de conteo. ${\displaystyle X=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle T=(1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t\mu _{1}+(1-t)\mu _{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle {\frac {2}{n}}\mu _{1}+{\frac {n-2}{n}}\mu _{2}}$

Sistemas continuos

Todo en esta sección se traslada textualmente a acciones continuas de o sobre espacios métricos compactos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Ergodicidad única

Se dice que la transformación es únicamente ergódica si existe una medida de probabilidad de Borel única que sea ergódica para . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

En los ejemplos considerados anteriormente, las rotaciones irracionales del círculo son únicamente ergódicas; ^[22] los mapas de turnos no lo son.

Interpretación probabilística: procesos ergódicos

Si es un proceso estocástico de tiempo discreto en un espacio , se dice que es ergódico si la distribución conjunta de las variables es invariante bajo el mapa de desplazamiento . Este es un caso particular de las nociones discutidas anteriormente. ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}\mapsto \left(x_{n+1}\right)_{n\geq 1}}$

El caso más simple es el de un proceso independiente e idénticamente distribuido que corresponde al mapa de desplazamiento descrito anteriormente. Otro caso importante es el de una cadena de Markov que se analiza en detalle a continuación.

Una interpretación similar es válida para los procesos estocásticos de tiempo continuo, aunque la construcción de la estructura mensurable de la acción es más complicada.

Ergodicidad de las cadenas de Markov.

El sistema dinámico asociado a una cadena de Markov.

Sea un conjunto finito. Una cadena de Markov está definida por una matriz , donde es la probabilidad de transición de a , por lo que para cada tenemos . Una medida estacionaria para es una medida de probabilidad tal que  ; eso es para todos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$ ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \nu P=\nu }$ ${\textstyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$ ${\displaystyle s\in S}$

Usando estos datos podemos definir una medida de probabilidad en el conjunto con su producto σ-álgebra dando las medidas de los cilindros de la siguiente manera: ${\displaystyle \mu _{\nu }}$ ${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle \mu _{\nu }(\cdots \times S\times \{(s_{n},\ldots ,s_{m})\}\times S\times \cdots )=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

La estacionariedad de then significa que la medida es invariante bajo el mapa de desplazamiento . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu _{\nu }}$ ${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} })\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }}$

Criterio de ergodicidad

La medida siempre es ergódica para el mapa de desplazamiento si la cadena de Markov asociada es irreducible (cualquier estado puede alcanzarse con probabilidad positiva desde cualquier otro estado en un número finito de pasos). ^[23] ${\displaystyle \mu _{\nu }}$

Las hipótesis anteriores implican que existe una medida estacionaria única para la cadena de Markov. En términos de la matriz, una condición suficiente para esto es que 1 sea un valor propio simple de la matriz y que todos los demás valores propios de (in ) sean de módulo <1. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Tenga en cuenta que en teoría de probabilidad la cadena de Markov se llama ergódica si además cada estado es aperiódico (los tiempos donde la probabilidad de retorno es positiva no son múltiplos de un único entero >1). Esto no es necesario para que la medida invariante sea ergódica; de ahí que las nociones de "ergodicidad" para una cadena de Markov y la medida invariante de cambio asociada sean diferentes (la de la cadena es estrictamente más fuerte). ^[24]

Además, el criterio es "si y sólo si" si todas las clases comunicantes en la cadena son recurrentes y consideramos todas las medidas estacionarias.

Ejemplos

medida de conteo

Si para todos entonces la medida estacionaria es la medida de conteo, la medida es el producto de las medidas de conteo. La cadena de Markov es ergódica, por lo que el ejemplo de desplazamiento anterior es un caso especial del criterio. ${\displaystyle P(s,s')=1/|S|}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle \mu _{P}}$

Cadenas de Markov no ergódicas

Las cadenas de Markov con clases comunicantes recurrentes no son irreductibles ni ergódicas, y esto se puede ver inmediatamente de la siguiente manera. Si hay dos clases comunicantes recurrentes distintas, hay medidas estacionarias distintas de cero compatibles respectivamente con los subconjuntos y ambas son invariantes de cambio y de medida 1.2 para la medida de probabilidad invariante . Un ejemplo muy simple de esto es la cadena dada por la matriz (ambos estados son estacionarios). ${\displaystyle S_{1}\subsetneq S}$ ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle S_{2}^{\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\nu _{1}+\nu _{2})}$ ${\displaystyle S=\{1,2\}}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$

Una cadena periódica

La cadena de Markov dada por la matriz es irreducible pero periódica. Por lo tanto, no es ergódico en el sentido de la cadena de Markov, aunque la medida asociada es ergódica para el mapa de desplazamiento. Sin embargo el turno no se mezcla para este compás, como para los conjuntos. ${\displaystyle S=\{1,2\}}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{1,2\}^{\mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle A=\cdots \times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\cdots }$$

y

$${\displaystyle B=\cdots \times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\cdots }$$

tenemos pero ${\textstyle \mu (A)={\frac {1}{2}}=\mu (B)}$

$${\displaystyle \mu \left(T^{-n}A\cap B\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}n{\text{ is odd}}\\0{\text{ if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$

Generalizaciones

La definición de ergodicidad también tiene sentido para las acciones grupales . La teoría clásica (para transformaciones invertibles) corresponde a acciones de o . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para grupos no abelianos puede que no haya medidas invariantes incluso en espacios métricos compactos. Sin embargo, la definición de ergodicidad se mantiene sin cambios si se reemplazan las medidas invariantes por medidas cuasi-invariantes .

Ejemplos importantes son la acción de un grupo de Lie semisimple (o una red dentro del mismo) en su límite de Furstenberg .

Se dice que una relación de equivalencia medible es ergódica si todos los subconjuntos saturados son nulos o conull.

Notas

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6. Heller, Eric J. (15 de octubre de 1984). "Funciones propias de estado ligado de sistemas hamiltonianos clásicamente caóticos: cicatrices de órbitas periódicas". Cartas de revisión física . 53 (16): 1515-1518. Código bibliográfico : 1984PhRvL..53.1515H. doi :10.1103/PhysRevLett.53.1515.
7. Kaplan, L (1 de marzo de 1999). "Cicatrices en funciones de onda caóticas cuánticas". No linealidad . 12 (2): R1–R40. doi :10.1088/0951-7715/2/12/009. ISSN  0951-7715. S2CID  250793219.
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20. Walters 1982, pág. 152.
21. Walters 1982, pág. 153.
22. Walters 1982, pág. 159.
23. Walters 1982, pág. 42.
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Referencias

• Walters, Peter (1982). Una introducción a la teoría ergódica . Saltador . ISBN 0-387-95152-0.
• Brin, Michael; Garrett, atascado (2002). Introducción a los Sistemas Dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80841-3.

enlaces externos

• Karma Dajani y Sjoerd Dirksin, "Una sencilla introducción a la teoría ergódica"