En matemáticas , dos conjuntos o clases A y B son equinumerosos si existe una correspondencia biyectiva (o biyección) entre ellos, es decir, si existe una función de A a B tal que para cada elemento y de B , hay exactamente un elemento x de A con f ( x ) = y . [1] Se dice que los conjuntos equinumerosos tienen la misma cardinalidad (número de elementos). [2] El estudio de la cardinalidad a menudo se denomina equinumerosidad ( igualdad de número ). A veces se utilizan en su lugar los términos equipolencia ( igualdad de fuerza ) y equipotencia ( igualdad de potencia ).
La equinumerosidad tiene las propiedades características de una relación de equivalencia . [1] La afirmación de que dos conjuntos A y B son equinumeros se denota habitualmente
La definición de equinumerosidad mediante biyecciones se puede aplicar tanto a conjuntos finitos como infinitos , y permite afirmar si dos conjuntos tienen el mismo tamaño incluso si son infinitos. Georg Cantor , el inventor de la teoría de conjuntos , demostró en 1874 que hay más de un tipo de infinito, específicamente que la colección de todos los números naturales y la colección de todos los números reales , aunque ambas infinitas, no son equinumerosas (véase la primera prueba de incontabilidad de Cantor ). En su controvertido artículo de 1878, Cantor definió explícitamente la noción de "potencia" de conjuntos y la utilizó para demostrar que el conjunto de todos los números naturales y el conjunto de todos los números racionales son equinumerosos (un ejemplo en el que un subconjunto propio de un conjunto infinito es equinumeroso al conjunto original), y que el producto cartesiano de incluso un número infinito contable de copias de los números reales es equinumeroso a una sola copia de los números reales.
El teorema de Cantor de 1891 implica que ningún conjunto es equinumeroso a su propio conjunto potencia (el conjunto de todos sus subconjuntos). [1] Esto permite definir conjuntos infinitos cada vez mayores a partir de un único conjunto infinito.
Si se cumple el axioma de elección, entonces el número cardinal de un conjunto puede considerarse como el menor número ordinal de esa cardinalidad (véase ordinal inicial ). De lo contrario, puede considerarse (mediante el truco de Scott ) como el conjunto de conjuntos de rango mínimo que tienen esa cardinalidad. [1]
La afirmación de que dos conjuntos son equinumerosos o uno tiene una cardinalidad menor que el otro es equivalente al axioma de elección . [3]
Los conjuntos equinumeros tienen una correspondencia biunívoca entre ellos, [4] y se dice que tienen la misma cardinalidad . La cardinalidad de un conjunto X es esencialmente una medida del número de elementos del conjunto. [1] La equinumerosidad tiene las propiedades características de una relación de equivalencia ( reflexividad , simetría y transitividad ): [1]
Un intento de definir la cardinalidad de un conjunto como la clase de equivalencia de todos los conjuntos equinumerosos a él es problemático en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomática , porque la clase de equivalencia de cualquier conjunto no vacío sería demasiado grande para ser un conjunto: sería una clase propia . Dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, las relaciones están por definición restringidas a conjuntos (una relación binaria en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A × A ), y no hay un conjunto de todos los conjuntos en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, en lugar de definir la cardinalidad de un conjunto como la clase de equivalencia de todos los conjuntos equinumerosos a él, se intenta asignar un conjunto representativo a cada clase de equivalencia ( asignación cardinal ). En algunos otros sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos, por ejemplo en la teoría de conjuntos de Von Neumann–Bernays–Gödel y la teoría de conjuntos de Morse–Kelley , las relaciones se extienden a las clases .
Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad menor o igual que la cardinalidad de un conjunto B , si existe una función biunívoca (una inyección) de A en B . Esto se denota | A | ≤ | B |. Si A y B no son equinumerosos, entonces se dice que la cardinalidad de A es estrictamente menor que la cardinalidad de B . Esto se denota | A | < | B |. Si se cumple el axioma de elección, entonces se cumple la ley de tricotomía para los números cardinales , de modo que dos conjuntos cualesquiera son equinumerosos o uno tiene una cardinalidad estrictamente menor que el otro. [1] La ley de tricotomía para los números cardinales también implica el axioma de elección . [3]
El teorema de Schröder-Bernstein establece que cualesquiera dos conjuntos A y B para los cuales existen dos funciones biunívocas f : A → B y g : B → A son equinumerosas: si | A | ≤ | B | y | B | ≤ | A |, entonces | A | = | B |. [1] [3] Este teorema no se basa en el axioma de elección .
El teorema de Cantor implica que ningún conjunto es equinumeroso con respecto a su conjunto potencia (el conjunto de todos sus subconjuntos ). [1] Esto es válido incluso para conjuntos infinitos . En concreto, el conjunto potencia de un conjunto infinito numerable es un conjunto incontable .
Suponiendo la existencia de un conjunto infinito N que consiste en todos los números naturales y suponiendo la existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto dado, se puede definir una secuencia N , P ( N ), P ( P ( N )), P ( P ( P ( N ))), … de conjuntos infinitos donde cada conjunto es el conjunto potencia del conjunto que lo precede. Por el teorema de Cantor, la cardinalidad de cada conjunto en esta secuencia excede estrictamente la cardinalidad del conjunto que lo precede, lo que conduce a conjuntos infinitos cada vez mayores.
El trabajo de Cantor fue duramente criticado por algunos de sus contemporáneos, por ejemplo por Leopold Kronecker , quien se adhirió firmemente a una filosofía finitista [5] de las matemáticas y rechazó la idea de que los números pueden formar una totalidad real y completa (un infinito real ). Sin embargo, las ideas de Cantor fueron defendidas por otros, por ejemplo por Richard Dedekind , y finalmente fueron ampliamente aceptadas, fuertemente apoyadas por David Hilbert . Ver Controversia sobre la teoría de Cantor para más información.
En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de conjunto potencia garantiza la existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto dado. Además, el axioma de infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, es decir, un conjunto que contenga los números naturales. Existen teorías de conjuntos alternativas , por ejemplo, la " teoría general de conjuntos " (GST), la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y la teoría de conjuntos de bolsillo (PST), que omiten deliberadamente el axioma de conjunto potencia y el axioma de infinito y no permiten la definición de la jerarquía infinita de infinitos propuesta por Cantor.
Las cardinalidades correspondientes a los conjuntos N , P ( N ), P ( P ( N )), P ( P ( P ( N ))), … son los números beth , , , , …, siendo el primer número beth igual a ( aleph cero ), la cardinalidad de cualquier conjunto infinito contable, y el segundo número beth igual a , la cardinalidad del continuo .
En algunas ocasiones, es posible que un conjunto S y su subconjunto propio sean equinumerosos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales pares es equinumeroso al conjunto de todos los números naturales. Un conjunto que es equinumeroso a un subconjunto propio de sí mismo se llama Dedekind-infinito . [1] [3]
El axioma de elección numerable (AC ω ), una variante débil del axioma de elección (AC), es necesario para demostrar que un conjunto que no es infinito de Dedekind es en realidad finito . Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF) no son lo suficientemente fuertes para demostrar que todo conjunto infinito es infinito de Dedekind, pero los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección numerable ( ZF + AC ω ) son lo suficientemente fuertes. [6] Otras definiciones de finitud e infinitud de conjuntos distintas a la dada por Dedekind no requieren el axioma de elección para esto, véase Conjunto finito § Condiciones necesarias y suficientes para la finitud . [1]
La equinumerosidad es compatible con las operaciones básicas de conjuntos de una manera que permite la definición de aritmética cardinal . [1] Específicamente, la equinumerosidad es compatible con uniones disjuntas : Dados cuatro conjuntos A , B , C y D con A y C por un lado y B y D por otro lado disjuntos por pares y con A ~ B y C ~ D entonces A ∪ C ~ B ∪ D. Esto se usa para justificar la definición de adición cardinal .
Además, la equinumerosidad es compatible con los productos cartesianos :
Estas propiedades se utilizan para justificar la multiplicación cardinal .
Dados dos conjuntos X e Y , el conjunto de todas las funciones de Y a X se denota por X Y . Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:
Estas propiedades se utilizan para justificar la exponenciación cardinal .
Además, el conjunto potencia de un conjunto dado A (el conjunto de todos los subconjuntos de A ) es equinumeroso al conjunto 2 A , el conjunto de todas las funciones del conjunto A a un conjunto que contiene exactamente dos elementos.
En teoría de categorías , la categoría de conjuntos , denominada Conjunto , es la categoría que consiste en la colección de todos los conjuntos como objetos y la colección de todas las funciones entre conjuntos como morfismos , con la composición de funciones como la composición de los morfismos. En Conjunto , un isomorfismo entre dos conjuntos es precisamente una biyección, y dos conjuntos son equinumerosos precisamente si son isomorfos como objetos en Conjunto .
