En matemáticas , un conjunto A es Dedekind-infinito (llamado así por el matemático alemán Richard Dedekind ) si algún subconjunto propio B de A es equinumeroso a A. Explícitamente, esto significa que existe una función biyectiva de A sobre algún subconjunto propio B de A. Un conjunto es Dedekind-finito si no es Dedekind-infinito (es decir, no existe tal biyección). Propuesta por Dedekind en 1888, la infinitud de Dedekind fue la primera definición de "infinito" que no se basaba en la definición de los números naturales . [1]
Un ejemplo sencillo es el conjunto de los números naturales . De la paradoja de Galileo se deduce que existe una biyección que asigna cada número natural n a su cuadrado n 2 . Como el conjunto de cuadrados es un subconjunto propio de , es infinito según el método de Dedekind.
Hasta que la crisis fundacional de las matemáticas mostró la necesidad de un tratamiento más cuidadoso de la teoría de conjuntos, la mayoría de los matemáticos asumieron que un conjunto es infinito si y solo si es Dedekind-finito. A principios del siglo XX, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , hoy la forma más comúnmente utilizada de teoría de conjuntos axiomática , se propuso como un sistema axiomático para formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la paradoja de Russell . Usando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección originalmente muy controvertido incluido ( ZFC ) se puede demostrar que un conjunto es Dedekind-finito si y solo si es finito en el sentido habitual. Sin embargo, existe un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ( ZF ) en el que existe un conjunto infinito, Dedekind-finito, mostrando que los axiomas de ZF no son lo suficientemente fuertes para probar que todo conjunto que es Dedekind-finito es finito. [2] [1] Existen definiciones de finitud e infinitud de conjuntos además de la dada por Dedekind que no dependen del axioma de elección.
Una noción vagamente relacionada es la de anillo de Dedekind-finito .
Esta definición de " conjunto infinito " debe compararse con la definición habitual: un conjunto A es infinito cuando no se puede poner en biyección con un ordinal finito , es decir, un conjunto de la forma {0, 1, 2, ..., n −1} para algún número natural n – un conjunto infinito es uno que literalmente "no es finito", en el sentido de biyección.
Durante la segunda mitad del siglo XIX, la mayoría de los matemáticos simplemente asumieron que un conjunto es infinito si y solo si es infinito según el método de Dedekind. Sin embargo, esta equivalencia no se puede demostrar con los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (AC) (usualmente denotado como " ZF "). No se necesita toda la fuerza del AC para demostrar la equivalencia; de hecho, la equivalencia de las dos definiciones es estrictamente más débil que el axioma de elección contable (CC). (Véanse las referencias a continuación).
Un conjunto A es Dedekind-infinito si satisface alguna, y luego todas, las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):
Es dualmente Dedekind-infinito si:
Es débilmente Dedekind-infinito si satisface alguna, y luego todas, las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):
y es infinito si:
Luego, ZF demuestra las siguientes implicaciones: Dedekind-infinito ⇒ dualmente Dedekind-infinito ⇒ débilmente Dedekind-infinito ⇒ infinito.
Existen modelos de ZF que tienen un conjunto infinito Dedekind-finito. Sea A un conjunto de este tipo, y sea B el conjunto de sucesiones inyectivas finitas desde A . Como A es infinito, la función "eliminar el último elemento" de B a sí mismo es sobreyectiva pero no inyectiva, por lo que B es dualmente Dedekind-infinito. Sin embargo, como A es Dedekind-finito, entonces también lo es B (si B tuviera un subconjunto numerablemente infinito, entonces usando el hecho de que los elementos de B son sucesiones inyectivas, uno podría exhibir un subconjunto numerablemente infinito de A ).
Cuando los conjuntos tienen estructuras adicionales, ambos tipos de infinitud a veces pueden demostrarse equivalentes sobre ZF . Por ejemplo, ZF demuestra que un conjunto bien ordenado es Dedekind-infinito si y solo si es infinito.
El término recibe su nombre del matemático alemán Richard Dedekind , quien introdujo por primera vez la definición de manera explícita. Cabe destacar que esta definición fue la primera definición de "infinito" que no se basó en la definición de los números naturales (a menos que uno siga a Poincaré y considere la noción de número como anterior incluso a la noción de conjunto). Aunque Bernard Bolzano conocía dicha definición , se le impidió publicar su trabajo en cualquier revista que no fuera la más oscura debido a los términos de su exilio político de la Universidad de Praga en 1819. Además, la definición de Bolzano era más precisamente una relación que se mantenía entre dos conjuntos infinitos, en lugar de una definición de un conjunto infinito per se .
Durante mucho tiempo, muchos matemáticos ni siquiera consideraron la idea de que pudiera existir una distinción entre las nociones de conjunto infinito y conjunto infinito de Dedekind. De hecho, la distinción no se comprendió realmente hasta después de que Ernst Zermelo formulara explícitamente el AC. La existencia de conjuntos infinitos y finitos de Dedekind fue estudiada por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en 1912; estos conjuntos se denominaron en un principio cardinales mediatos o cardinales de Dedekind .
Con la aceptación general del axioma de elección en la comunidad matemática, estas cuestiones relacionadas con los conjuntos infinitos y los conjuntos infinitos de Dedekind han perdido importancia para la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, el estudio de los conjuntos infinitos de Dedekind desempeñó un papel importante en el intento de aclarar la frontera entre lo finito y lo infinito, y también un papel importante en la historia del CA.
Dado que todo conjunto infinito bien ordenado es Dedekind-infinito, y dado que la AC es equivalente al teorema de buen orden que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado, es evidente que la AC general implica que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de las dos definiciones es mucho más débil que la fuerza total de la AC.
En particular, existe un modelo de ZF en el que existe un conjunto infinito sin ningún subconjunto infinito numerable . Por lo tanto, en este modelo existe un conjunto infinito, finito de Dedekind. Por lo anterior, dicho conjunto no puede estar bien ordenado en este modelo.
Si asumimos el axioma CC (es decir, AC ω ), entonces se sigue que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de estas dos definiciones es, de hecho, estrictamente más débil que incluso la CC. Explícitamente, existe un modelo de ZF en el que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito, pero el CC falla (suponiendo consistencia de ZF ).
Que todo conjunto Dedekind-infinito es infinito se puede demostrar fácilmente en ZF: todo conjunto finito tiene por definición una biyección con algún ordinal finito n , y se puede demostrar por inducción sobre n que éste no es Dedekind-infinito.
Utilizando el axioma de elección contable (denotación: axioma CC) se puede demostrar el recíproco, es decir, que todo conjunto infinito X es Dedekind-infinito, como sigue:
Primero, definamos una función sobre los números naturales (es decir, sobre los ordinales finitos) f : N → Potencia(Potencia( X )) , de modo que para cada número natural n , f ( n ) es el conjunto de subconjuntos finitos de X de tamaño n (es decir, que tienen una biyección con el ordinal finito n ). f ( n ) nunca está vacío, o de lo contrario X sería finito (como se puede demostrar por inducción sobre n ).
La imagen de f es el conjunto numerable { f ( n ) | n ∈ N }, cuyos miembros son en sí mismos conjuntos infinitos (y posiblemente incontables). Al usar el axioma de elección numerable podemos elegir un miembro de cada uno de estos conjuntos, y este miembro es en sí mismo un subconjunto finito de X . Más precisamente, de acuerdo con el axioma de elección numerable, existe un conjunto (contable), G = { g ( n ) | n ∈ N }, de modo que para cada número natural n , g ( n ) es un miembro de f ( n ) y es por lo tanto un subconjunto finito de X de tamaño n .
Ahora, definimos U como la unión de los miembros de G . U es un subconjunto numerable infinito de X , y una biyección de los números naturales a U , h : N → U , se puede definir fácilmente. Ahora podemos definir una biyección B : X → X \ h (0) que toma cada miembro no en U a sí mismo, y toma h ( n ) para cada número natural a h ( n + 1) . Por lo tanto, X es Dedekind-infinito, y hemos terminado.
Expresado en términos de teoría de categorías , un conjunto A es Dedekind-finito si en la categoría de conjuntos , cada monomorfismo f : A → A es un isomorfismo . Un anillo regular de von Neumann R tiene la propiedad análoga en la categoría de R - módulos (izquierdos o derechos) si y solo si en R , xy = 1 implica yx = 1 . De manera más general, un anillo Dedekind-finito es cualquier anillo que satisface la última condición. Tenga en cuenta que un anillo puede ser Dedekind-finito incluso si su conjunto subyacente es Dedekind-infinito, por ejemplo, los números enteros .
