La teoría general de conjuntos ( GST ) es el nombre que George Boolos (1998) le dio a un fragmento de la teoría axiomática de conjuntos Z. La GST es suficiente para todas las matemáticas que no requieren conjuntos infinitos , y es la teoría de conjuntos más débil conocida cuyos teoremas incluyen los axiomas de Peano .
La ontología de GST es idéntica a la de ZFC y, por lo tanto, es completamente canónica. GST presenta una única noción ontológica primitiva , la de conjunto , y un único supuesto ontológico, a saber, que todos los individuos en el universo del discurso (y, por lo tanto, todos los objetos matemáticos ) son conjuntos. Existe una única relación binaria primitiva , la pertenencia al conjunto ; que el conjunto a sea un miembro del conjunto b se escribe a ∈ b (normalmente se lee " a es un elemento de b ").
Los axiomas simbólicos que se muestran a continuación son de Boolos (1998: 196) y rigen el comportamiento e interacción de los conjuntos. Al igual que con Z , la lógica de fondo para GST es la lógica de primer orden con identidad . De hecho, GST es el fragmento de Z obtenido al omitir los axiomas Unión , Conjunto Potencia , Conjuntos Elementales (esencialmente, Emparejamiento ) e Infinito y luego tomar un teorema de Z, Adjunción, como axioma. Las versiones en lenguaje natural de los axiomas tienen como objetivo ayudar a la intuición.
1) Axioma de extensionalidad : Los conjuntos x e y son el mismo conjunto si tienen los mismos miembros.
El recíproco de este axioma se sigue de la propiedad de sustitución de la igualdad.
2) Esquema axiomático de especificación (o separación o comprensión restringida ): si z es un conjunto y es cualquier propiedad que puede ser satisfecha por todos, algunos o ningún elemento de z , entonces existe un subconjunto y de z que contiene sólo aquellos elementos x en z que satisfacen la propiedad . La restricción a z es necesaria para evitar la paradoja de Russell y sus variantes. Más formalmente, sea cualquier fórmula en el lenguaje de la teoría general de la teoría en la que x puede aparecer libremente e y no. Entonces todas las instancias del siguiente esquema son axiomas:
3) Axioma de adjunción : Si x e y son conjuntos, entonces existe un conjunto w , la adjunción de x e y , cuyos miembros son simplemente y y los miembros de x . [1]
La adjunción se refiere a una operación elemental sobre dos conjuntos y no tiene relación con el uso de ese término en otras partes de las matemáticas, incluida la teoría de categorías .
ST es GST con el esquema axiomático de especificación reemplazado por el axioma del conjunto vacío :
Obsérvese que la especificación es un esquema axiomático. La teoría dada por estos axiomas no es finitamente axiomatizable . Montague (1961) demostró que la ZFC no es finitamente axiomatizable, y su argumento se aplica a la teoría general de conjuntos. Por lo tanto, cualquier axiomatización de la teoría general de conjuntos debe incluir al menos un esquema axiomático . Con sus axiomas simples, la teoría general de conjuntos también es inmune a las tres grandes antinomias de la teoría ingenua de conjuntos : la de Russell , la de Burali-Forti y la de Cantor .
La GST es interpretable en el álgebra de relaciones porque ninguna parte de ningún axioma de la GST se encuentra dentro del alcance de más de tres cuantificadores . Esta es la condición necesaria y suficiente que se da en Tarski y Givant (1987).
Si se establece φ( x ) en Separación en x ≠ x , y se supone que el dominio no está vacío, se asegura la existencia del conjunto vacío . La adjunción implica que si x es un conjunto, entonces también lo es . Dada la adjunción , se puede proceder a la construcción habitual de los ordinales sucesores a partir del conjunto vacío , en la que los números naturales se definen como . Véanse los axiomas de Peano . La GST es mutuamente interpretable con la aritmética de Peano (por lo tanto, tiene la misma fuerza teórica de demostración que PA).
El hecho más notable sobre ST (y por lo tanto GST), es que estos pequeños fragmentos de teoría de conjuntos dan lugar a metamatemáticas tan ricas. Mientras que ST es un pequeño fragmento de las conocidas teorías de conjuntos canónicas ZFC y NBG , ST interpreta la aritmética de Robinson (Q), de modo que ST hereda la metamatemática no trivial de Q. Por ejemplo, ST es esencialmente indecidible porque Q lo es, y toda teoría consistente cuyos teoremas incluyen los axiomas de ST también es esencialmente indecidible. [2] [3] Esto incluye GST y toda teoría de conjuntos axiomática en la que valga la pena pensar, suponiendo que sean consistentes. De hecho, la indecidibilidad de ST implica la indecidibilidad de la lógica de primer orden con una sola letra de predicado binario . [4]
Q también es incompleta en el sentido del teorema de incompletitud de Gödel . Cualquier teoría axiomatizable, como la ST y la GST, cuyos teoremas incluyen los axiomas Q, es igualmente incompleta. Además, la consistencia de la GST no puede probarse dentro de la propia GST, a menos que la GST sea de hecho inconsistente.
Dado cualquier modelo M de ZFC, la colección de conjuntos finitos hereditarios en M satisfará los axiomas de GST. Por lo tanto, GST no puede probar la existencia de un conjunto infinito numerable , es decir, de un conjunto cuya cardinalidad sea . Incluso si GST proporcionara un conjunto infinito numerable, GST no podría probar la existencia de un conjunto cuya cardinalidad sea , porque GST carece del axioma de conjunto potencia . Por lo tanto, GST no puede fundamentar el análisis y la geometría , y es demasiado débil para servir como fundamento para las matemáticas .
Boolos estaba interesado en la GST sólo como un fragmento de Z que es lo suficientemente potente como para interpretar la aritmética de Peano . Nunca se detuvo en la GST, sólo la mencionó brevemente en varios artículos que discutían los sistemas de Grundlagen y Grundgesetze de Frege , y cómo podrían modificarse para eliminar la paradoja de Russell . El sistema Aξ' [δ 0 ] en Tarski y Givant (1987: 223) es esencialmente GST con un esquema axiomático de inducción que reemplaza a Especificación , y con la existencia de un conjunto vacío asumido explícitamente.
En Burgess (2005), p. 223, se denomina GST a STZ. [5] La teoría ST de Burgess [6] es GST con el conjunto vacío reemplazando el esquema axiomático de especificación . El hecho de que las letras "ST" también aparezcan en "GST" es una coincidencia.
![{\displaystyle \para todo x\para todo y[\para todo z[z\en x\leftrightarrow z\en y]\rightarrow x=y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9de6c6d114db7301b6879074f51ac73eaf8ada9)
![{\displaystyle \para todo z\existe y\para todo x[x\en y\leftrightarrow (x\en z\land \phi (x))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397e537f1b4f835e38bfe1b3eac5dfb30536386e)
![{\displaystyle \para todo x\para todo y\existe w\para todo z[z\en w\leftrightarrow (z\en x\lor z=y)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de75516db6b8cb9e1d90ec20a65859cfe4488cd)
![{\displaystyle \existe x\para todo y[y\no en x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226bbcba396e13900a61e0c05a3b4374d429e0ce)
