numero normal

En matemáticas , se dice que un número real es simplemente normal en un entero de base b ^[1] si su secuencia infinita de dígitos se distribuye uniformemente en el sentido de que cada uno de los valores de b dígitos tiene la misma densidad natural 1/ b . Se dice que un número es normal en base b si, para cada entero positivo n , todas las cadenas posibles de n dígitos de longitud tienen densidad b ^{− n} .

Intuitivamente, que un número sea simplemente normal significa que ningún dígito aparece con más frecuencia que otro. Si un número es normal, ninguna combinación finita de dígitos de una longitud determinada ocurre con más frecuencia que cualquier otra combinación de la misma longitud. Un número normal puede considerarse como una secuencia infinita de lanzamientos de moneda ( binario ) o lanzamientos de un dado ( base 6 ). Aunque habrá secuencias como 10, 100 o más cruces consecutivas (binario) o cinco (base 6) o incluso 10, 100 o más repeticiones de una secuencia como cola-cara (dos lanzamientos de moneda consecutivos) o 6 -1 (dos tiradas consecutivas de un dado), también habrá tantas de cualquier otra secuencia de igual longitud. Ningún dígito o secuencia está "favorecido".

Se dice que un número es normal (a veces llamado absolutamente normal ) si es normal en todas las bases enteras mayores o iguales a 2.

Si bien se puede dar una prueba general de que casi todos los números reales son normales (lo que significa que el conjunto de números no normales tiene medida de Lebesgue cero), ^[2] esta prueba no es constructiva y solo se ha demostrado que unos pocos números específicos son normal. Por ejemplo, cualquier constante de Chaitin es normal (e incalculable ). Se cree ampliamente que los números (computables) √ 2 , π y e son normales, pero sigue siendo difícil demostrarlo. ^[3]

Definiciones

Sea $Σ$ un alfabeto finito de $b$ -dígitos, $Σ ω$ el conjunto de todas las secuencias infinitas que pueden extraerse de ese alfabeto, y $Σ *$ el conjunto de secuencias finitas, o cadenas . ^[4] Sea $S \in Σ ω$ tal secuencia. Para cada $a$ en $Σ,$ sea $N S (a, n)$ el número de veces que el dígito $a$ aparece en los primeros $n$ dígitos de la secuencia $S$ . Decimos que $S$ es simplemente normal si el límite

$\lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}={\frac {1}{b}}$

para cada $a$ . Ahora sea $w$ cualquier cadena finita en $Σ *$ y sea $N S (w, n)$ el número de veces que la cadena $w$ aparece como una subcadena en los primeros $n$ dígitos de la secuencia $S$ . (Por ejemplo, si $S = .mw-parser-output .monospaced{font-family:monospace,monospace} 01010101 ...$ , entonces $N S (010, 8) = 3$ .) $S$ es normal si, para todas las cadenas finitas $w \in Σ *$ ,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}={\frac {1}{b^{|w|}}}$

donde $| w |$ denota la longitud de la cadena $w$ . En otras palabras, $S$ es normal si todas las cadenas de igual longitud ocurren con la misma frecuencia asintótica . Por ejemplo, en una secuencia binaria normal (una secuencia sobre el alfabeto ${0, 1}$ ), 0 y 1 ocurren cada uno con una frecuencia 1 ⁄ 2 ; 00 , 01 , 10 y 11 ocurren cada uno con una frecuencia de 1⁄4 ; 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 y 111 ocurren cada uno con una frecuencia de 1 ⁄ 8 ; etc. En términos generales, la probabilidad de encontrar la cadena $w$ en cualquier posición dada en $S$ es precisamente la esperada si la secuencia se hubiera producido al azar .

Supongamos ahora que $b$ es un número entero mayor que 1 y $x$ es un número real . Considere la expansión de secuencia de dígitos infinitos $S x, b$ de $x$ en el sistema numérico posicional de base $b$ (ignoramos el punto decimal). Decimos que $x$ es simplemente normal en base $b$ si la secuencia $S$ $x$ $,$ $b$ es simplemente normal ^[5] y que $x$ es normal en base $b$ si la secuencia $S$ $x$ $,$ $b$ es normal. ^[6] El número $x$ se llama número normal (o a veces número absolutamente normal ) si es normal en base $b$ para todo número entero $b$ mayor que 1. ^[7]^[8]

Una secuencia infinita dada es normal o no normal, mientras que un número real, que tiene una expansión en base $b$ diferente para cada entero $b \geq 2$ , puede ser normal en una base pero no en otra ^[9]^[10] (en cuyo caso no es un número normal). Para bases $r$ y $s$ con $log r / log s$ racional (de modo que $r = b m$ y $s = b n$ ) todo número normal en base $r$ es normal en base $s$ . Para las bases $r$ y $s$ con $log r / log s$ irracional, hay incontables números normales en cada base pero no en la otra. ^[10]

Una secuencia disyuntiva es una secuencia en la que aparece cada cadena finita. Una secuencia normal es disyuntiva, pero no tiene por qué ser normal. Un número rico en base $b$ es aquel cuya expansión en base $b$ es disyuntiva: ^[11] uno que es disyuntivo a toda base se llama absolutamente disyuntivo o se dice que es un léxico . Un número normal en base $b$ es rico en base $b$ , pero no necesariamente a la inversa. El número real $x$ es rico en base $b$ si y sólo si el conjunto ${x b n mod 1 : n \in N}$ es denso en el intervalo unitario . ^[11]^[12]

Definimos un número como simplemente normal en base $b$ si cada dígito individual aparece con una frecuencia de 1 ⁄ $b$ . Para una base $b$ dada , un número puede ser simplemente normal (pero no normal ni rico), rico (pero no simplemente normal o normal), normal (y por lo tanto simplemente normal y rico) o ninguno de estos. Un número es absolutamente anormal o absolutamente anormal si no es simplemente normal en alguna base. ^[7]^[13]

Propiedades y ejemplos

El concepto de número normal fue introducido por Émile Borel (1909). Utilizando el lema de Borel-Cantelli , demostró que casi todos los números reales son normales, estableciendo la existencia de números normales. Wacław Sierpiński (1917) demostró que es posible especificar un número determinado. Becher y Figueira (2002) demostraron que existe un número absolutamente normal computable . Aunque esta construcción no proporciona directamente los dígitos de los números construidos, muestra que, en principio, es posible enumerar cada dígito de un número normal particular.

El conjunto de números no normales, a pesar de ser "grande" en el sentido de ser incontables , también es un conjunto nulo (ya que su medida de Lebesgue como subconjunto de los números reales es cero, por lo que esencialmente no ocupa espacio dentro de los números reales). números). Además, los números no normales (así como los números normales) son densos en los reales: el conjunto de números no normales entre dos números reales distintos no está vacío ya que contiene todos los números racionales (de hecho, es incontable). infinito ^[14] e incluso comeagre ). Por ejemplo, hay incontables números cuyas expansiones decimales (en base 3 o superior) no contienen el dígito 1, y ninguno de estos números es normal.

La constante de Champernowne

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829...,

obtenida concatenando en orden las representaciones decimales de los números naturales , es normal en base 10. Asimismo, las diferentes variantes de la constante de Champernowne (realizada realizando la misma concatenación en otras bases) son normales en sus respectivas bases (por ejemplo, la base -2 La constante de Champernowne es normal en la base 2), pero no se ha demostrado que sea normal en otras bases.

La constante de Copeland-Erdős

0.23571113171923293137414347535961677173798389...,

obtenida concatenando los números primos en base 10, es normal en base 10, como lo demostraron AH Copeland y Paul Erdős (1946). De manera más general, estos últimos autores demostraron que el número real representado en base b por la concatenación

0. f (1) f (2) f (3)...,

donde f ( n ) es el n ^-ésimo primo expresado en base b , es normal en base b . Besicovitch (1935) demostró que el número representado por la misma expresión, con f ( n ) = n ² ,

0.149162536496481100121144...,

obtenido concatenando los números cuadrados en base 10, es normal en base 10. Harold Davenport y Erdős (1952) demostraron que el número representado por la misma expresión, siendo f cualquier polinomio no constante cuyos valores sobre los números enteros positivos sean números enteros positivos , expresado en base 10, es normal en base 10.

Nakai y Shiokawa (1992) demostraron que si f ( x ) es cualquier polinomio no constante con coeficientes reales tales que f ( x ) > 0 para todo x > 0, entonces el número real representado por la concatenación

0.[ f (1)][ f (2)][ f (3)]...,

donde [ f ( n ) ] es la parte entera de f ( n ) expresada en base b , es normal en base b . (Este resultado incluye como casos especiales todos los resultados de Champernowne, Besicovitch y Davenport & Erdős mencionados anteriormente). Los autores también muestran que el mismo resultado se cumple de manera aún más general cuando f es cualquier función de la forma

f ( x ) = α· x ^β + α ₁ · x ^{β ₁} + ... + α _d · x ^{β _d} ,

donde los α y β son números reales con β > β ₁ > β ₂ > ... > β _d ≥ 0, y f ( x ) > 0 para todo x > 0.

Bailey y Crandall (2002) muestran una clase explícita e infinita de números b -normales perturbando los números de Stoneham .

Ha sido un objetivo difícil de alcanzar demostrar la normalidad de los números que no están construidos artificialmente. Si bien se conjetura fuertemente que √ 2 , π , ln(2) y e son normales, todavía no se sabe si son normales o no. Ni siquiera se ha demostrado que todos los dígitos realmente aparezcan infinitas veces en las expansiones decimales de esas constantes (por ejemplo, en el caso de π, no se sabe que sea cierta la afirmación popular "toda cadena de números eventualmente aparece en π"). ). ^[15] También se ha conjeturado que todo número algebraico irracional es absolutamente normal (lo que implicaría que √ 2 es normal), y no se conocen contraejemplos en ninguna base. Sin embargo, no se ha demostrado que ningún número algebraico irracional sea normal en ninguna base.

Números no normales

Ningún número racional es normal en ninguna base, ya que las secuencias de dígitos de los números racionales son eventualmente periódicas .

Martin (2001) da un ejemplo de un número irracional que es absolutamente anormal. ^[16] Deja que

$f\left(n\right)={\begin{cases}n^{\frac {f\left(n-1\right)}{n-1}},&n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right)\\4,&n=2\end{cases}}$

$\alpha =\prod _{m=2}^{\infty }\left({1-{\frac {1}{f\left(m\right)}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{9}}\right)\left(1-{\frac {1}{64}}\right)\left(1-{\frac {1}{152587890625}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{\left(5^{15}\right)}}}\right)\ldots =0.6562499999956991\underbrace {99999\ldots 99999} _{23,747,291,559}8528404201690728\ldots$

Entonces α es un número de Liouville y es absolutamente anormal.

Propiedades

Las propiedades adicionales de los números normales incluyen:

Todo número real distinto de cero es producto de dos números normales. Esto se desprende del hecho general de que todo número es producto de dos números de un conjunto si el complemento de X tiene medida 0. $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$
Si x es normal en base b y a ≠ 0 es un número racional, entonces también es normal en base b . ^[17] $x\cdot a$
Si es denso (para todos y para todos suficientemente grande n , ) y son las expansiones en base b de los elementos de A , entonces el número , formado al concatenar los elementos de A , es normal en base b (Copeland y Erdős 1946) . De esto se deduce que el número de Champernowne es normal en base 10 (ya que el conjunto de todos los números enteros positivos es obviamente denso) y que la constante de Copeland-Erdős es normal en base 10 (ya que el teorema de los números primos implica que el conjunto de primos es denso ). $A\subseteq \mathbb {N}$ $\alpha <1$ $|A\cap \{1,\ldots ,n\}|\geq n^{\alpha }$ $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$
Una secuencia es normal si y sólo si cada bloque de igual longitud aparece con la misma frecuencia. (Un bloque de longitud k es una subcadena de longitud k que aparece en una posición de la secuencia que es múltiplo de k : por ejemplo, el primer bloque de longitud k en S es S [1.. k ], el segundo bloque de longitud k es S [ k +1..2 k ], etc.) Esto estaba implícito en el trabajo de Ziv y Lempel (1978) y se hizo explícito en el trabajo de Bourke, Hitchcock y Vinodchandran (2005).
Un número es normal en base b si y sólo si es simplemente normal en base b ^k para todos . Esto se desprende de la caracterización de normalidad del bloque anterior: dado que el n.ésimo bloque de longitud k en su expansión en base ^bcorresponde al n.ésimo ^dígito en su expansión en base ^bk , un número es simplemente normal en base ^bk si y solo si los bloques de longitud k aparecen en su expansión en base b con igual frecuencia. $k\in \mathbb {Z} ^{+}$
Un número es normal si y sólo si es simplemente normal en todas las bases. Esto se desprende de la caracterización anterior de la normalidad en base b .
Un número es b -normal si y sólo si existe un conjunto de enteros positivos donde el número es simplemente normal en bases b ^m para todos ^[18] Ningún conjunto finito es suficiente para demostrar que el número es b -normal. $m_{1}<m_{2}<m_{3}<\cdots$ $m\in \{m_{1},m_{2},\ldots \}.$
Todas las secuencias normales están cerradas bajo variaciones finitas : agregar, eliminar o cambiar un número finito de dígitos en cualquier secuencia normal la deja normal. De manera similar, si se agrega, elimina o cambia un número finito de dígitos en cualquier secuencia simplemente normal, la nueva secuencia sigue siendo simplemente normal.

Conexión a máquinas de estados finitos

Agafonov mostró una conexión temprana entre las máquinas de estados finitos y las secuencias normales: cada subsecuencia infinita seleccionada de una secuencia normal mediante un lenguaje regular también es normal. En otras palabras, si uno ejecuta una máquina de estados finitos en una secuencia normal, donde cada uno de los estados de la máquina de estados finitos está etiquetado como "salida" o "sin salida", y la máquina genera el dígito que lee a continuación después de ingresar un estado de "salida", pero no genera el siguiente dígito después de ingresar a un "estado sin salida", entonces la secuencia que genera será normal. ^[19]

Existe una conexión más profunda con los jugadores de estados finitos (FSG) y los compresores de estados finitos sin pérdida de información (ILFSC).

Un jugador de estados finitos (también conocido como martingala de estados finitos ) es una máquina de estados finitos sobre un alfabeto finito , cada uno de cuyos estados está etiquetado con porcentajes de dinero para apostar en cada dígito . Por ejemplo, para un FSG sobre el alfabeto binario , el estado actual q apuesta un porcentaje del dinero del jugador en el bit 0, y la fracción restante del dinero del jugador en el bit 1. El dinero apuesta en el dígito que viene a continuación en la entrada (dinero total multiplicado por el porcentaje de apuesta) se multiplica por y el resto del dinero se pierde. Después de leer el bit, el FSG pasa al siguiente estado según la entrada que recibió. Un FSG d tiene éxito en una secuencia infinita S si, a partir de $1, gana dinero ilimitado apostando en la secuencia; es decir, si donde está la cantidad de dinero que tiene el jugador d después de leer los primeros n dígitos de S (ver límite superior ). $\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma =\{0,1\}$ $q_{0}\in [0,1]$ $q_{1}=1-q_{0}$ $|\Sigma |$ $\limsup _{n\to \infty }d(S\upharpoonright n)=\infty ,$ $d(S\upharpoonright n)$
Un compresor de estados finitos es una máquina de estados finitos con cadenas de salida que etiquetan sus transiciones de estado , incluida posiblemente la cadena vacía. (Dado que se lee un dígito de la secuencia de entrada para cada transición de estado, es necesario poder generar la cadena vacía para lograr cualquier compresión). Un compresor de estado finito sin pérdida de información es un compresor de estado finito cuya entrada se puede recuperar de forma única de su salida y estado final. En otras palabras, para un compresor de estado finito C con conjunto de estados Q , C no tiene pérdida de información si la función , que asigna la cadena de entrada de C a la cadena de salida y al estado final de C , es 1–1 . Las técnicas de compresión, como la codificación de Huffman o la codificación de Shannon-Fano, se pueden implementar con ILFSC. Un ILFSC C comprime una secuencia infinita S si donde está el número de dígitos generados por C después de leer los primeros n dígitos de S. La relación de compresión (el límite inferior anterior) siempre puede ser igual a 1 mediante el ILFSC de 1 estado que simplemente copia su entrada en la salida. $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ $\liminf _{n\to \infty }{\frac {|C(S\upharpoonright n)|}{n}}<1,$ $|C(S\upharpoonright n)|$

Schnorr y Stimm demostraron que ninguna FSG puede tener éxito en una secuencia normal, y Bourke, Hitchcock y Vinodchandran demostraron lo contrario . Por lo tanto:

Una secuencia es normal si y sólo si no hay ningún jugador de estados finitos que tenga éxito en ella.

Ziv y Lempel mostraron:

Una secuencia es normal si y sólo si es incompresible mediante cualquier compresor de estado finito sin pérdidas de información.

(En realidad, demostraron que la relación de compresión óptima de la secuencia sobre todos los ILFSC es exactamente su tasa de entropía , una medida cuantitativa de su desviación de la normalidad, que es 1 exactamente cuando la secuencia es normal). Dado que el algoritmo de compresión LZ comprime asintóticamente tan bien como cualquier ILFSC, esto significa que el algoritmo de compresión LZ puede comprimir cualquier secuencia no normal. ^[20]

Estas caracterizaciones de secuencias normales pueden interpretarse en el sentido de que "normal" = "aleatorio de estado finito"; es decir, las secuencias normales son precisamente aquellas que parecen aleatorias para cualquier máquina de estados finitos. Compare esto con las secuencias algorítmicamente aleatorias , que son esas secuencias infinitas que parecen aleatorias para cualquier algoritmo (y de hecho tienen caracterizaciones similares de juego y compresión con las máquinas de Turing reemplazando a las máquinas de estados finitos).

Conexión a secuencias equidistribuidas.

Un número x es normal en base b si y solo si la secuencia está equidistribuida módulo 1, ^[21]^[22] o de manera equivalente, usando el criterio de Weyl , si y solo si ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\quad {\text{ for all integers }}m\geq 1.$

Esta conexión lleva a la terminología de que x es normal en base β para cualquier número real β si y sólo si la secuencia está equidistribuida módulo 1. ^[22] $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$

Notas

^ Las únicas bases consideradas aquí son los números naturales mayores que 1.
^ Beck 2009.
^ Bailey y Crandall 2002.
^ ω es el número ordinal infinito más pequeño ; ^∗ es la estrella Kleene .
^ Bugeaud 2012, pag. 78.
^ Bugeaud 2012, pag. 79.
^ ab Bugeaud 2012, pag. 102.
^ Adamczewski y Bugeaud 2010, pág. 413.
^ Cassels 1959.
^ ab Schmidt 1960.
^ ab Bugeaud 2012, pag. 92.
^ $x b n mod 1$ denota la parte fraccionaria de $x b n$ .
^ Martín 2001.
^ Billingsley 2012.
^ Bailey y otros. 2012.
^ Bugeaud 2012, pag. 113.
^ Muro 1949.
^ Largo 1957.
^ Agafonov 1968.
^ Ziv y Lempel 1978.
^ Bugeaud 2012, pag. 89.
^ ab Everest y otros. 2003, pág. 127.

Ver también

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Número normal". MundoMatemático .