Seno y coseno

Funciones trigonométricas fundamentales

En matemáticas , el seno y el coseno son funciones trigonométricas de un ángulo . El seno y el coseno de un ángulo agudo se definen en el contexto de un triángulo rectángulo : para el ángulo especificado, su seno es la relación entre la longitud del lado opuesto a ese ángulo y la longitud del lado más largo del triángulo ( la hipotenusa ), y el coseno es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa . Para un ángulo , las funciones seno y coseno se denotan como y . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$

Las definiciones de seno y coseno se han extendido a cualquier valor real en términos de las longitudes de ciertos segmentos de línea en un círculo unitario . Las definiciones más modernas expresan el seno y el coseno como series infinitas , o como soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales , permitiendo su extensión a valores positivos y negativos arbitrarios e incluso a números complejos .

Las funciones seno y coseno se utilizan comúnmente para modelar fenómenos periódicos como las ondas de luz y sonido , la posición y velocidad de osciladores armónicos, la intensidad de la luz solar y la duración del día, y las variaciones de temperatura promedio a lo largo del año. Se remontan a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta .

Descripciones elementales

Definición de triángulo rectángulo

Para el ángulo α , la función seno da la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

Para definir el seno y el coseno de un ángulo agudo , comience con un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida ; En la figura adjunta, el ángulo de un triángulo rectángulo es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se nombran de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ABC}$

• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo de interés; en este caso, lo es . ${\displaystyle a}$
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto; en este caso, lo es . La hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo. ${\displaystyle h}$
• El lado adyacente es el lado restante; en este caso, lo es . Forma un lado (y es adyacente a) tanto el ángulo de interés como el ángulo recto. ${\displaystyle b}$

Una vez elegido dicho triángulo, el seno del ángulo es igual a la longitud del lado opuesto dividido por la longitud de la hipotenusa, y el coseno del ángulo es igual a la longitud del lado adyacente dividido por la longitud del hipotenusa: ^[1] $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}$$

Otras funciones trigonométricas

Las otras funciones trigonométricas del ángulo se pueden definir de manera similar; por ejemplo, la tangente es la relación entre los lados opuestos y adyacentes o, de manera equivalente, la relación entre las funciones seno y coseno. El recíproco del seno es cosecante, lo que da la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado opuesto. De manera similar, el recíproco del coseno es secante, lo que da la relación entre la longitud de la hipotenusa y la del lado adyacente. La función cotangente es la relación entre los lados adyacentes y opuestos, un recíproco de una función tangente. Estas funciones se pueden formular como: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adjacent}}{\text{opposite}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}.\end{aligned}}}$$

Medidas de ángulos especiales

Como se indicó, los valores y parecen depender de la elección de un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida . Sin embargo, este no es el caso, ya que todos estos triángulos son similares y, por lo tanto, las proporciones son las mismas para cada uno de ellos. Por ejemplo, cada cateto del triángulo rectángulo 45-45-90 es 1 unidad y su hipotenusa es ; por lo tanto, . ^[2] La siguiente tabla muestra el valor especial de cada entrada tanto para seno como para coseno con el dominio entre . La entrada de esta tabla proporciona varios sistemas de unidades, como grados, radianes, etc. Los ángulos distintos de esos cinco se pueden obtener usando una calculadora. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

leyes

Ilustración de la ley de los senos y cosenos

La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. ^[5] Dado que un triángulo con lados , y , y ángulos opuestos a esos lados , y . La ley establece: Esto es equivalente a la igualdad de las tres primeras expresiones siguientes: ¿ dónde está el circunradio del triángulo ? ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$ ${\displaystyle R}$

La ley de los cosenos es útil para calcular la longitud de un lado desconocido si se conocen otros dos lados y un ángulo. ^[5] La ley establece, En el caso de que , la ecuación resultante se convierte en el teorema de Pitágoras . ^[6] $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$ ${\displaystyle \gamma =\pi /2}$ ${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

Definición de vectores

El producto cruzado es una operación entre dos vectores en el espacio vectorial euclidiano , y el producto escalar son dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas ) y devuelve un solo número. Tanto la función seno como la coseno se pueden definir usando el producto cruz y el producto escalar, respectivamente, como se muestra a continuación: dado y son los vectores y es el vector unitario perpendicular al plano que contiene y , entonces se pueden definir tanto la función seno como el coseno manipulando la fórmula algebraicamente como: ${\displaystyle \mathbb {a} }$ ${\displaystyle \mathbb {b} }$ ${\displaystyle \mathbb {n} }$ ${\displaystyle \mathbb {a} }$ ${\displaystyle \mathbb {b} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{\mathbb {n} \cdot \|\mathbb {a} \|\|\mathbb {b} \|}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a|\cdot |b|}}.\end{aligned}}}$$

Descripciones analíticas

Definición del círculo unitario

Las funciones seno y coseno también se pueden definir de una manera más general usando un círculo unitario , un círculo de radio uno centrado en el origen , formulado como la ecuación de en el sistema de coordenadas cartesiano . Deje que una línea que pasa por el origen interseque el círculo unitario, formando un ángulo con la mitad positiva del eje - . Las coordenadas - y - de este punto de intersección son iguales a y , respectivamente; es decir, ^[7] ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ $${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

Esta definición es consistente con la definición de seno y coseno del triángulo rectángulo cuando la longitud de la hipotenusa del círculo unitario es siempre 1; matemáticamente hablando, el seno de un ángulo es igual al lado opuesto del triángulo, que es simplemente la coordenada - . Se puede presentar un argumento similar a favor de la función coseno para mostrar que el coseno de un ángulo es , incluso bajo la nueva definición que utiliza el círculo unitario. ^{[8] [9]} ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

Gráfica de una función y sus propiedades elementales.

Animación que demuestra cómo se grafica la función seno (en rojo) a partir de la coordenada y (punto rojo) de un punto en el círculo unitario (en verde), en un ángulo de θ . El coseno (en azul) es la coordenada x .

Usar la definición de círculo unitario tiene la ventaja de dibujar una gráfica de funciones seno y coseno. Esto se puede hacer girando en sentido antihorario un punto a lo largo de la circunferencia de un círculo, dependiendo de la entrada . En una función seno, si la entrada es , el punto gira en sentido antihorario y se detiene exactamente en el eje - . Si , el punto está en la mitad del círculo. Si , el punto volvió a su origen. Esto da como resultado que tanto las funciones seno como coseno tienen el rango entre . ^[10] ${\displaystyle \theta >0}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

Extendiendo el ángulo a cualquier dominio real, el punto giraba continuamente en sentido antihorario. Esto también se puede hacer de manera similar para la función coseno, aunque el punto se gira inicialmente desde la coordenada - . En otras palabras, tanto las funciones seno como coseno son periódicas , lo que significa que cualquier ángulo agregado por el círculo de la circunferencia es el ángulo mismo. Matemáticamente, ^[11] ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

Se dice que una función es impar si y se dice que es par si . La función seno es impar, mientras que la función coseno es par. ^[12] Tanto las funciones seno como coseno son similares, y su diferencia se desplaza en . Esto significa, ^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

La iteración de punto fijo x _{n +1}  = cos( x _n ) con valor inicial x ₀  = −1 converge al número de Dottie.

El cero es el único punto fijo real de la función seno; en otras palabras, la única intersección de la función seno y la función identidad es . El único punto fijo real de la función coseno se llama número de Dottie . El número de Dottie es la única raíz real de la ecuación . La expansión decimal del número de Dottie es aproximadamente 0,739085. ^[14] ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$

Continuidad y diferenciación

Los cuadrantes del círculo unitario y de sen( x ), utilizando el sistema de coordenadas cartesiano .

Las funciones seno y coseno son infinitamente diferenciables. ^[15] La derivada del seno es el coseno, y la derivada del coseno es el seno negativo: ^[16] Continuar el proceso en la derivada de orden superior da como resultado las mismas funciones repetidas; la cuarta derivada de un seno es el seno mismo. ^[15] Estas derivadas se pueden aplicar a la prueba de la primera derivada , según la cual la monotonicidad de una función se puede definir como la desigualdad de la primera derivada de una función mayor o menor que igual a cero. ^[17] También se puede aplicar al test de la segunda derivada , según el cual la concavidad de una función se puede definir aplicando la desigualdad de la segunda derivada de la función mayor o menor que igual a cero. ^[18] La siguiente tabla muestra que tanto las funciones seno como coseno tienen concavidad y monotonicidad (el signo positivo ( ) indica que una gráfica está aumentando (hacia arriba) y el signo negativo ( ) está disminuyendo (hacia abajo), en ciertos intervalos. ^[19] Esta información se puede representar como un sistema de coordenadas cartesianas dividido en cuatro cuadrantes. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

Tanto las funciones seno como coseno se pueden definir mediante ecuaciones diferenciales. El par de es la solución del sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales y con las condiciones iniciales y . Se podría interpretar que el círculo unitario en las definiciones anteriores define la trayectoria del espacio de fase de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas. Puede interpretarse como una trayectoria en el espacio de fases del sistema de ecuaciones diferenciales y partiendo de las condiciones iniciales y . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$

Integral y su uso en medición.

Su área bajo una curva se puede obtener usando la integral con un cierto intervalo acotado. Sus antiderivadas son: donde denota la constante de integración . ^[20] Estas antiderivadas se pueden aplicar para calcular las propiedades de medición de las curvas de funciones seno y coseno con un intervalo determinado. Por ejemplo, la longitud del arco de la curva seno entre y es donde está la integral elíptica incompleta de segundo tipo con módulo . No se puede expresar usando funciones elementales . ^[21] En el caso de un período completo, su longitud de arco es donde está la función gamma y es la constante de lemniscata . ^[22] $${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404\ldots }$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varpi }$

Funciones inversas

Los valores principales habituales de las funciones arcsin( x ) y arccos( x ) graficadas en el plano cartesiano

La función inversa del seno es arcoseno o seno inverso, denotado como "arcoseno", "aseno" o . ^[23] La función inversa del coseno es arcocoseno, denotado como "arccos", "acos" o . ^[a] Como el seno y el coseno no son inyectivos , sus inversas no son funciones inversas exactas, sino funciones inversas parciales. Por ejemplo, pero también , y así sucesivamente. De ello se deduce que la función arcoseno tiene varios valores: , pero también , , etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada uno en el dominio, la expresión se evaluará solo como un valor único, llamado valor principal . El rango estándar de valores principales para arcsin es de hasta y el rango estándar para arccos es de hasta . ^[24] ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$ ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$ ${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$ ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$

La función inversa del seno y el coseno se define como: ^{[ cita necesaria ]} donde, para algún número entero , por definición, ambas funciones satisfacen las ecuaciones: ^{[ cita necesaria ]} y $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

Otras identidades

Según el teorema de Pitágoras , la hipotenusa al cuadrado es la suma de dos catetos cuadrados de un triángulo rectángulo. Dividiendo la fórmula en ambos lados con hipotenusa al cuadrado dando como resultado la identidad trigonométrica pitagórica , la suma de un seno al cuadrado y un coseno al cuadrado es igual a 1: ^{[25] [b]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

El seno y el coseno satisfacen las siguientes fórmulas de doble ángulo: ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

Función seno en azul y función seno al cuadrado en rojo. El eje x está en radianes.

La fórmula del coseno del doble ángulo implica que sen ² y cos ² son, en sí mismos, ondas sinusoidales desplazadas y escaladas. Específicamente, ^[26] La gráfica muestra funciones seno y seno cuadrado, con el seno en azul y el seno al cuadrado en rojo. Ambas gráficas tienen la misma forma pero con diferentes rangos de valores y diferentes períodos. El seno al cuadrado solo tiene valores positivos, pero el doble de períodos. ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

Series y polinomios

Esta animación muestra cómo incluir más y más términos en la suma parcial de su serie de Taylor se aproxima a una curva sinusoidal.

Tanto las funciones seno como coseno se pueden definir utilizando una serie de Taylor , una serie de potencias que involucra las derivadas de orden superior. Como se menciona en § Continuidad y diferenciación, la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el negativo del seno. Esto significa que las derivadas sucesivas de son , , , , continuando repitiendo esas cuatro funciones. La -ésima derivada, evaluada en el punto 0: donde el superíndice representa una diferenciación repetida. Esto implica la siguiente expansión en serie de Taylor en . Luego se puede utilizar la teoría de las series de Taylor para demostrar que las siguientes identidades son válidas para todos los números reales : ¿dónde está el ángulo en radianes? ^[27] De manera más general, para todos los números complejos : ^[28] Tomando la derivada de cada término se obtiene la serie de Taylor para el coseno: ^{[27] [28]} ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle -\sin(x)}$ ${\displaystyle -\cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle (4n+k)}$ $${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

Tanto las funciones seno como coseno con múltiples ángulos pueden aparecer como su combinación lineal , lo que da como resultado un polinomio. Un polinomio de este tipo se conoce como polinomio trigonométrico . Las amplias aplicaciones del polinomio trigonométrico se pueden adquirir en su interpolación y su extensión de una función periódica conocida como serie de Fourier . Sea y cualquier coeficiente, entonces el polinomio trigonométrico de un grado —denotado como— se define como: ^{[29] [30]} ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T(x)}$ $${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

La serie trigonométrica se puede definir de manera similar al polinomio trigonométrico, su inversión infinita. Sea y cualquier coeficiente, entonces la serie trigonométrica se puede definir como: ^[31] En el caso de una serie de Fourier con una función integrable dada , los coeficientes de una serie trigonométrica son: ^[32] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

Relación de números complejos

Definiciones de funciones exponenciales complejas

Tanto el seno como el coseno se pueden ampliar aún más mediante números complejos , un conjunto de números compuestos tanto por números reales como imaginarios . Para números reales , la definición de funciones seno y coseno se puede ampliar en un plano complejo en términos de una función exponencial de la siguiente manera: ^[33] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

Alternativamente, ambas funciones se pueden definir en términos de la fórmula de Euler : ^[33] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

Cuando se traza en el plano complejo , la función para valores reales de traza el círculo unitario en el plano complejo. Tanto las funciones seno como coseno se pueden simplificar a las partes imaginaria y real de como: ^[34] ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

Cuando para valores reales y , donde , tanto las funciones seno como coseno se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales como: ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

Coordenadas polares

${\displaystyle \cos(\theta )}$y son las partes real e imaginaria de . ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

El seno y el coseno se utilizan para conectar las partes real e imaginaria de un número complejo con sus coordenadas polares : y las partes real e imaginaria son: donde y representa la magnitud y el ángulo del número complejo . ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$

Para cualquier número real , la fórmula de Euler en términos de coordenadas polares se expresa como . ${\displaystyle \theta }$ ${\textstyle z=re^{i\theta }}$

Argumentos complejos

Coloración de dominio de sin ( z ) en el plano complejo. El brillo indica magnitud absoluta, el tono representa un argumento complejo.

sin( z ) como campo vectorial

Aplicando la definición de serie del seno y el coseno a un argumento complejo, z , se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

donde sinh y cosh son el seno y el coseno hiperbólicos . Estas son funciones completas .

A veces también es útil expresar las funciones complejas seno y coseno en términos de las partes real e imaginaria de su argumento:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

Fracciones parciales y expansiones de productos del seno complejo.

Usando la técnica de expansión de fracciones parciales en análisis complejos , se puede encontrar que las series infinitas convergen y son iguales a . De manera similar, se puede demostrar que $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

Utilizando la técnica de expansión del producto, se puede derivar. Alternativamente, el producto infinito del seno se puede demostrar utilizando series complejas de Fourier . ^[do] $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

Uso del seno complejo

sin( z ) se encuentra en la ecuación funcional de la función Gamma ,

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

que a su vez se encuentra en la ecuación funcional de la función zeta de Riemann ,

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

Como función holomorfa , sen z es una solución 2D de la ecuación de Laplace :

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

La función seno compleja también está relacionada con las curvas de nivel de los péndulos . ^{[ ¿cómo? ] [36] [ se necesita una mejor fuente ]}

Gráficos complejos

Fondo

Etimología

La palabra seno se deriva, indirectamente, de la palabra sánscrita jyā 'cuerda de arco' o más específicamente de su sinónimo jīvá (ambos adoptados del griego antiguo χορδή 'cuerda', debido a la similitud visual entre el arco de un círculo con su correspondiente cuerda y un arco con su cuerda (ver jyā, koti-jyā y utkrama-jyā ) . Esto fue transliterado en árabe como jība , que no tiene significado en ese idioma y se escribió como jb ( جب ) . interpretado como el homógrafo jayb (جيب), que significa 'seno', 'bolsillo' o 'pliegue' ^{[37] [38]} Cuando los textos árabes de Al-Battani y al-Khwārizmī fueron traducidos al latín medieval en el siglo XII. siglo por Gerardo de Cremona , utilizó el equivalente latino sinus (que también significa 'bahía' o 'pliegue', y más específicamente 'el pliegue que cuelga de una toga sobre el pecho' ^{[39] [40] [41]} Gerard ). Probablemente no fue el primer erudito en utilizar esta traducción; Robert de Chester parece haberle precedido y hay evidencia de un uso incluso anterior. ^{[42] [43]} La forma inglesa seno se introdujo en la década de 1590. ^[d]

La palabra coseno deriva de una abreviatura del latín complementi sinus 'seno del ángulo complementario ' como coseno en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter , que también incluye una definición similar de cotangentes . ^[44]

Historia

Cuadrante de la Turquía otomana de la década de 1840 con ejes para buscar el seno y el versino de los ángulos

Si bien los primeros estudios de la trigonometría se remontan a la antigüedad, las funciones trigonométricas tal como se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de la cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). ^[45]

Las funciones seno y coseno se remontan a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta ( Aryabhatiya y Surya Siddhanta ), mediante traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^[39]

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^[46] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos árabes, incluidos el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. ^[46] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. ^{[47] [48]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1° a 90°. ^[48]

El primer uso publicado de las abreviaturas sin , cos y tan es del matemático francés del siglo XVI Albert Girard ; estos fueron promulgados además por Euler (ver más abajo). El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , un estudiante de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; Este trabajo fue terminado por el alumno de Rheticus, Valentin Otho, en 1596.

En un artículo publicado en 1682, Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[49] Roger Cotes calculó la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). ^[50] La Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fue la principal responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas también como series infinitas y presentando la " fórmula de Euler ", así como las abreviaturas casi modernas sin . , porque. , sabor. , cuna. , segundo y cosec. ^[39]

Implementaciones de software

No existe un algoritmo estándar para calcular el seno y el coseno. IEEE 754 , el estándar más utilizado para la especificación de cálculos confiables de punto flotante, no aborda el cálculo de funciones trigonométricas como el seno. La razón es que no se conoce ningún algoritmo eficiente para calcular el seno y el coseno con una precisión específica, especialmente para entradas grandes. ^[51]

Los algoritmos para calcular el seno se pueden equilibrar para restricciones tales como velocidad, precisión, portabilidad o rango de valores de entrada aceptados. Esto puede conducir a diferentes resultados para diferentes algoritmos, especialmente en circunstancias especiales como entradas muy grandes, por ejemplo .sin(1022)

Una optimización de programación común, utilizada especialmente en gráficos 3D, es precalcular una tabla de valores sinusoidales, por ejemplo, un valor por grado, luego, para los valores intermedios, elegir el valor precalculado más cercano o interpolar linealmente entre los 2 valores más cercanos. valores para aproximarlo. Esto permite buscar los resultados en una tabla en lugar de calcularlos en tiempo real. Con las arquitecturas de CPU modernas, este método puede no ofrecer ninguna ventaja. ^{[ cita necesaria ]}

El algoritmo CORDIC se utiliza habitualmente en calculadoras científicas.

Las funciones seno y coseno, junto con otras funciones trigonométricas, están ampliamente disponibles en todos los lenguajes y plataformas de programación. En informática, normalmente se abrevian como siny cos.

Algunas arquitecturas de CPU tienen una instrucción sinusoidal incorporada, incluidas las FPU Intel x87 desde 80387.

En los lenguajes de programación, siny cosnormalmente son una función incorporada o se encuentran dentro de la biblioteca matemática estándar del lenguaje. Por ejemplo, la biblioteca estándar de C define funciones sinusoidales dentro de math.h :, y . El parámetro de cada uno es un valor de punto flotante , que especifica el ángulo en radianes. Cada función devuelve el mismo tipo de datos que acepta. Muchas otras funciones trigonométricas también se definen en math.h , como coseno, arcoseno y seno hiperbólico (sinh). De manera similar, Python define y dentro del módulo integrado . Dentro del módulo también están disponibles funciones complejas de seno y coseno , p . Las funciones matemáticas de CPython llaman a la biblioteca C y utilizan un formato de punto flotante de doble precisión .sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z) math

Implementaciones basadas en turnos

Algunas bibliotecas de software proporcionan implementaciones de seno y coseno utilizando el ángulo de entrada en medias vueltas , siendo una media vuelta un ángulo de 180 grados o radianes. Representar ángulos en vueltas o medias vueltas tiene ventajas de precisión y ventajas de eficiencia en algunos casos. ^{[52] [53]} En MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA y ARM, estas funciones se llaman y . ^{[52] [54] [53] [55] [56] [57]} Por ejemplo, se evaluaría hasta dónde x se expresa en medias vueltas y, en consecuencia, la entrada final a la función, πx, se puede interpretar en radianes mediante sen. . ${\displaystyle \pi }$sinpicospisinpi(x) ${\displaystyle \sin(\pi x),}$

La ventaja de la precisión surge de la capacidad de representar perfectamente ángulos clave como giro completo, media vuelta y cuarto de vuelta sin pérdidas en punto flotante binario o punto fijo. Por el contrario, representar , y en punto flotante binario o punto fijo escalado binario siempre implica una pérdida de precisión ya que los números irracionales no se pueden representar con un número finito de dígitos binarios. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Los giros también tienen una ventaja de precisión y eficiencia para calcular el módulo en un período. El cálculo de medias vueltas de módulo 1 o de módulo 2 se puede calcular de manera eficiente y sin pérdidas tanto en punto flotante como en punto fijo. Por ejemplo, calcular el módulo 1 o el módulo 2 para un valor de punto fijo escalado en un punto binario requiere sólo un desplazamiento de bits o una operación AND bit a bit. Por el contrario, el módulo de cálculo implica imprecisiones en la representación . ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Para aplicaciones que involucran sensores de ángulo, el sensor generalmente proporciona mediciones de ángulo en una forma directamente compatible con vueltas o medias vueltas. Por ejemplo, un sensor de ángulo puede contar de 0 a 4096 en una revolución completa. ^[58] Si se utilizan medias vueltas como unidad de ángulo, entonces el valor proporcionado por el sensor se asigna directamente y sin pérdidas a un tipo de datos de punto fijo con 11 bits a la derecha del punto binario. Por el contrario, si se utilizan radianes como unidad para almacenar el ángulo, entonces se incurriría en las imprecisiones y el costo de multiplicar el entero bruto del sensor por una aproximación de. ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

Ver también

• Tabla de senos de Āryabhaṭa
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I
• Transformada seno discreta
• Funciones elípticas de Dixon
• la fórmula de euler
• Trigonometría generalizada
• función hiperbólica
• Funciones elípticas de lemniscata
• ley de los senos
• Lista de funciones periódicas
• Lista de identidades trigonométricas
• serie madhava
• Tabla de senos de Madhava
• Teorema del seno óptico
• Seno polar : una generalización a los ángulos de los vértices
• Pruebas de identidades trigonométricas.
• función sincrónica
• Transformadas de seno y coseno
• Integral seno
• Cuadrante seno
• onda sinusoidal
• Ecuación seno-Gordon
• modelo sinusoidal
• SOH-CAH-TOA
• Funciones trigonométricas
• Integral trigonométrica

Referencias

Notas a pie de página

1. El superíndice de −1 en y denota la inversa de una función, en lugar de la exponenciación . ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$
2. Aquí, significa la función seno al cuadrado . ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$
3. Usando series complejas de Fourier, la función se puede descomponer como La configuración produce Por lo tanto, la función es la derivada de . Además, si , entonces la función tal que la serie emergida converge en algún subconjunto abierto y conexo de es , lo cual se puede demostrar utilizando la prueba M de Weierstrass . El intercambio de la suma y la derivada se justifica por la convergencia uniforme . De ello se deduce que al exponenciar se obtiene Dado que y , resulta en . Por tanto, para algún subconjunto abierto y conectado de . Dejar . Dado que converge uniformemente en cualquier disco cerrado, también converge uniformemente en cualquier disco cerrado. ^[35] De ello se deduce que el producto infinito es holomorfo en . Según el teorema de la identidad , el producto infinito del seno es válido para todos , lo que completa la demostración. ${\displaystyle \cos(zx)}$ $${\displaystyle \cos(zx)={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\,e^{inx}}{z^{2}-n^{2}}},\,z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} ,\,x\in [-\pi ,\pi ].}$$ ${\displaystyle x=\pi }$ $${\displaystyle \cos(\pi z)={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\left({\frac {1}{z^{2}}}+2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\right).}$$ $${\displaystyle \pi \cot(\pi z)={\frac {1}{z}}+2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}.}$$ ${\displaystyle \pi \cot(\pi z)}$ ${\displaystyle \ln(\sin(\pi z))+C_{0}}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ $${\displaystyle \ln(\sin(\pi z))=\ln(z)+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C.}$$ $${\displaystyle \sin(\pi z)=ze^{C}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ${\displaystyle e^{C}=\pi }$ $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(z)|}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. La forma inglesa se registró por primera vez en 1593 en Horologiographia, the Art of Dialing de Thomas Fale .

Citas

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43. Varias fuentes atribuyen el primer uso de los senos nasales a
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Obras citadas

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Enlaces externos

• Medios relacionados con la función seno en Wikimedia Commons