cuboctaedro

Poliedro de 8 caras triangulares y 6 caras cuadradas.

Un cuboctaedro es un poliedro con 8 caras triangulares y 6 caras cuadradas. Un cuboctaedro tiene 12 vértices idénticos , con 2 triángulos y 2 cuadrados que se unen en cada uno, y 24 aristas idénticas , cada una de las cuales separa un triángulo de un cuadrado. Como tal, es un poliedro cuasiregular , es decir, un sólido de Arquímedes que no sólo es transitivo por vértices sino también transitivo por aristas . ^[1] Es radialmente equilátero. Su poliedro dual es el dodecaedro rómbico .

Construcción

El cuboctaedro se puede construir de muchas formas:

• Su construcción se puede iniciar uniendo dos cúpulas triangulares regulares de base a base. Esto es similar a uno de los sólidos de Johnson, la ortobicúpula triangular . La diferencia es que la ortobicúpula triangular se construye con una de las cúpulas torcida de modo que caras poligonales similares sean adyacentes, mientras que el cuboctaedro no lo es. Como resultado, el cuboctaedro también puede llamarse girobicúpula triangular . ^[2]
• Su construcción se puede partir de un cubo o de un octaedro regular , marcando los puntos medios de sus aristas, y cortando todos los vértices en esos puntos. Este proceso se conoce como rectificación , por lo que al cuboctaedro se le denomina cubo rectificado y octaedro rectificado . ^[3]
• Una construcción alternativa es cortando todos los vértices, lo que se conoce como truncamiento . Se puede partir de un tetraedro regular , cortando los vértices y biselando las aristas. Este proceso se conoce como cantelación , haciendo que el cuboctaedro sea denominado tetraedro cantelado . ^[4]

De todas estas construcciones, el cuboctaedro tiene 14 caras: 8 triángulos equiláteros y 6 cuadrados. También tiene 24 aristas y 12 vértices. ^[5]

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cuboctaedro con la longitud de la arista centrada en el origen son: ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0),\qquad (\pm 1,0,\pm 1),\qquad (0,\pm 1,\pm 1).}$$

Propiedades

Medición y otras propiedades métricas.

El área de superficie de un cuboctaedro se puede determinar sumando toda el área de sus caras poligonales. El volumen de un cuboctaedro se puede determinar cortándolo en dos cúpulas triangulares regulares, sumando su volumen. Dado que la longitud del borde , su área de superficie y volumen son: ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}$$

El ángulo diédrico de un cuboctaedro se puede calcular con el ángulo de las cúpulas triangulares. El ángulo diédrico de una cúpula triangular entre cuadrado y triángulo es de aproximadamente 125 °, el de cuadrado a hexágono es de 54,7 ° y el de triángulo a hexágono es de 70,5 °. Por lo tanto, el ángulo diédrico de un cuboctaedro entre cuadrado y triángulo, en el borde donde se unen las bases de dos cúpulas triangulares es 54,7° + 70,5° aproximadamente 125°. Por lo tanto, el ángulo diédrico de un cuboctaedro entre un cuadrado y un triángulo es de aproximadamente 125°. ^[7]

El proceso de transformación del jitterbug.

Buckminster Fuller descubrió que el cuboctaedro es el único poliedro en el que la distancia entre su centro y el vértice es la misma que la distancia entre sus aristas. En otras palabras, tiene vectores de la misma longitud en el espacio tridimensional, lo que se conoce como equilibrio vectorial . ^[8] Los puntales rígidos y los vértices flexibles de un cuboctaedro también pueden transformarse progresivamente en un icosaedro regular , octaedro regular, tetraedro regular. Fuller llamó a esto la transformación jitterbug . ^[9]

Un cuboctaedro tiene la propiedad de Rupert , es decir, hay un poliedro del mismo o mayor tamaño que puede pasar por su agujero. ^[10]

Simetría y clasificación.

Modelo 3D de un cuboctaedro.

El cuboctaedro es un sólido de Arquímedes , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[11] El cuboctaedro tiene dos simetrías, resultantes de las construcciones como se ha mencionado anteriormente: la misma simetría que el octaedro regular o cubo, la simetría octaédrica , y la misma simetría que el tetraedro regular, simetría tetraédrica . ^[12] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son dos triángulos equiláteros y dos cuadrados, y la figura del vértice de un cuboctaedro es . El dual de un cuboctaedro es el dodecaedro rómbico . ^[13] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle (3\cdot 4)^{2}=3^{2}\cdot 4^{2}}$

Simetría radial equilátera

En un cuboctaedro, el radio largo (del centro al vértice) es igual a la longitud del borde; por lo tanto, su diámetro largo (de vértice a vértice opuesto) es de 2 longitudes de arista. Su centro es como el vértice apical de una pirámide canónica: a una arista de distancia de todos los demás vértices. (En el caso del cuboctaedro, el centro es en realidad el vértice de 6 pirámides cuadradas y 8 pirámides triangulares). Esta simetría radial equilátera es una propiedad de sólo unos pocos politopos uniformes, incluido el hexágono bidimensional , el cuboctaedro tridimensional y el teseracto tetradimensional de 24 y 8 celdas . Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que se pueden construir, con sus radios largos, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro del politopo, aportando cada uno de ellos dos radios y una arista. Por lo tanto, todos los elementos interiores que se encuentran en el centro de estos politopos tienen caras internas de triángulos equiláteros, como en la disección del cuboctaedro en 6 pirámides cuadradas y 8 tetraedros.

Cada uno de estos politopos radialmente equiláteros también se presenta como células de un mosaico característico que llena el espacio : el mosaico de hexágonos regulares, el panal cúbico rectificado (de cuboctaedros y octaedros alternados), el panal de 24 celdas y el panal teseractico , respectivamente. Cada teselación tiene una teselación dual ; los centros de celda en un teselado son vértices de celda en su teselado dual. El empaquetado de esferas regular más denso conocido en dos, tres y cuatro dimensiones utiliza los centros de las celdas de una de estas teselaciones como centros de esferas.

Debido a que es radialmente equilátero, el centro del cuboctaedro está a una longitud de arista de distancia de los 12 vértices.

Poliedros y panales relacionados

El cuboctaedro, cubohemioctaedro y octahemioctaedro .

El cuboctaedro comparte su esqueleto con los dos poliedros uniformes no convexos , el cubohemioctaedro y el octahemioctaedro . Estos poliedros se construyen a partir del esqueleto de un cuboctaedro en el que los cuatro planos hexagonales bisecan su diagonal, intersectando su interior. La suma de seis cuadrados u ocho triángulos equiláteros da como resultado el cubohemicotaedro u octahemioctaedro, respectivamente. ^[14]

El cuboctaedro 2-cubre el tetrahemihexaedro , que en consecuencia tiene la misma figura abstracta de vértice (dos triángulos y dos cuadrados :) y la mitad de los vértices, aristas y caras. (La figura del vértice real del tetrahemihexaedro es , con el factor debido a la cruz.) ^[15] ${\displaystyle 3\cdot 4\cdot 3\cdot 4}$ ${\textstyle 3\cdot 4\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 4}$ ${\textstyle {\frac {a}{2}}}$

La disección en pirámides cuadradas y tetraedros.

El cuboctaedro se puede dividir en 6 pirámides cuadradas y 8 tetraedros que se reúnen en un punto central. Esta disección se expresa en el panal tetraédrico-octaédrico donde se combinan pares de pirámides cuadradas en octaedros . ^[dieciséis]

Grafico

La gráfica de un cuboctaedro.

El esqueleto de un cuboctaedro se puede representar como el gráfico , uno de los gráficos de Arquímedes . Tiene 12 vértices y 24 aristas. Es un gráfico cuártico , que consta de cuatro vértices que conectan cada vértice. ^[17]

La gráfica de un cuboctaedro se puede construir como la gráfica lineal del cubo, lo que la convierte en una gráfica localmente lineal . ^[18]

Apariencia

El cuboctaedro probablemente era conocido por Platón : las Definiciones de Herón citan a Arquímedes diciendo que Platón conocía un sólido formado por 8 triángulos y 6 cuadrados. ^[19]

Referencias

Notas a pie de página

1. Coxeter 1973, págs. 18-19, §2.3 Poliedros cuasi regulares.
2. • Berman 1971
   • Ogievetsky y Shlosman 2021, pág. 477
3. van Leeuwen, Freixa y Cano 2023, pag. 50.
4. Linti 2013, pag. 41.
5. Berman 1971.
6. Coxeter 1973, pag. 52, §3.7 Coordenadas de los vértices de los sólidos regulares y cuasi regulares.
7. Johnson 1966.
8. Cockram 2020, pag. 53.
9. Verheyen 1989.
10. Chai, Yuan y Zamfirescu 2018.
11. Diudea 2018, pag. 39.
12. • Koca y Koca (2013), pág. 48
    • Cromwell (1997). Para simetría octaédrica, consulte la pág. 378, Figura 10.13. Para simetría tetraédrica, consulte la pág. 380, Figura 10.15.
13. Williams 1979, pag. 74.
14. • Pisanski y Servatius 2013, pág. 108
    • Barnes 2012, pág. 53
15. Grünbaum 2003, pag. 338.
16. Posamentier y col. 2022, pág. 233–235.
17. Leer y Wilson 1998, pag. 269.
18. Fanático 1996.
19. Turnball 1931.

Trabajos citados

• Barnes, J. (2012). Gemas de la Geometría . Saltador . doi :10.1007/978-3-642-30964-9. ISBN 978-3-642-30964-9.
• Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
• Chai, Ying; Yuan, Liping; Zamfirescu, Tudor (2018). "Propiedad de Rupert de los sólidos de Arquímedes". El Mensual Matemático Estadounidense . 125 (6): 497–504. doi :10.1080/00029890.2018.1449505. S2CID  125508192.
• Cockram, Bernice (2020). Enfoque Geometría Sagrada: Su guía personal. Prensa de Wellfleet. ISBN 978-1-57715-225-5.
• Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover .
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• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño. Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 978-0-486-23729-9.

enlaces externos

• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
• Weisstein, Eric W. , "Cuboctahedron" ("Sólido de Arquímedes") en MathWorld .
• The Cuboctahedron en Hexnet, un sitio web dedicado a las matemáticas de hexágonos.
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3x4o - co".
• Red imprimible editable de un Cuboctaedro con vista 3D interactiva