El esqueleto de un cuboctaedro , considerando sus aristas como vigas rígidas conectadas en juntas flexibles en sus vértices pero omitiendo sus caras, no tiene rigidez estructural . En consecuencia, sus vértices pueden reposicionarse mediante plegado (cambiando el ángulo diedro) en las aristas y diagonales de las caras. La cinemática del cuboctaedro es notable en el sentido de que sus vértices pueden reposicionarse a las posiciones de los vértices del icosaedro regular , el icosaedro de Jessen y el octaedro regular , de acuerdo con la simetría piritoédrica del icosaedro . [1] [2]
Cuando se interpreta como un marco de caras planas rígidas, conectadas a lo largo de los bordes por bisagras, el cuboctaedro es una estructura rígida, como lo son todos los poliedros convexos, según el teorema de Cauchy . Sin embargo, cuando se eliminan las caras, dejando solo los bordes rígidos conectados por articulaciones flexibles en los vértices, el resultado no es un sistema rígido (a diferencia de los poliedros cuyas caras son todas triángulos, a los que se aplica el teorema de Cauchy a pesar de las caras faltantes).
Al añadir un vértice central, conectado por aristas rígidas a todos los demás vértices, el cuboctaedro se subdivide en pirámides cuadradas y tetraedros, que se unen en el vértice central. A diferencia del cuboctaedro en sí, el sistema resultante de aristas y uniones es rígido y forma parte de la estructura de celosía de octetos infinitos .
El cuboctaedro puede transformarse cíclicamente mediante cuatro poliedros, repitiéndose el ciclo infinitamente. Topológicamente, la transformación sigue un bucle de Möbius : se trata de una doble envoltura orientable del octaedro. Físicamente, es un espinor .
En sus relaciones espaciales, el cuboctaedro, el icosaedro, el icosaedro de Jessen y el octaedro se anidan como muñecas rusas y están relacionados por una contracción helicoidal . La contracción comienza con las caras cuadradas del cuboctaedro plegándose hacia adentro a lo largo de sus diagonales para formar pares de triángulos. Los 12 vértices del cuboctaedro se espiralan hacia adentro (hacia el centro) y se acercan hasta que alcanzan los puntos donde forman un icosaedro regular; se acercan ligeramente hasta formar un icosaedro de Jessen ; y continúan en espiral hacia el otro hasta que coinciden en pares como los 6 vértices del octaedro. [3]
La transformación general del cuboctaedro se puede parametrizar a lo largo de un continuo de transformaciones de casos especiales con dos casos límite: uno en el que los bordes del cuboctaedro son rígidos y otro en el que son elásticos.
La transformación del cuboctaedro de arista rígida transforma simétricamente el cuboctaedro en un icosaedro regular , un icosaedro de Jessen y un octaedro regular , en el sentido de que los vértices del poliedro toman las posiciones de los vértices de esos poliedros sucesivamente.
El cuboctaedro en realidad no se convierte en esos otros poliedros, y no pueden transformarse entre sí (si tienen aristas rígidas), porque a diferencia del cuboctaedro sí tienen rigidez estructural como consecuencia de tener solo caras triangulares.
En lo que realmente se puede transformar el cuboctaedro con aristas rígidas (y a través de él) es en un icosaedro regular al que le faltan 6 aristas (un pseudoicosaedro ), [4] en un icosaedro de Jessen al que le faltan 6 aristas reflejas o es elástico, y en una doble cubierta del octaedro que tiene dos aristas rígidas coincidentes que conectan cada par de vértices (formada al hacer coincidir pares de vértices del cuboctaedro).
Existe un poliedro de tensegridad que encarna y refuerza la transformación cuboctaédrica de arista elástica estrechamente relacionada . El icosaedro de tensegridad tiene una rigidez estructural dinámica llamada movilidad infinitesimal y solo se puede deformar en poliedros simétricos a lo largo de ese espectro desde el cuboctaedro hasta el octaedro. [5] Se llama icosaedro de tensegridad porque su forma estable media es el icosaedro de Jessen.
Aunque la transformación se describe arriba como una contracción del cuboctaedro, el punto de equilibrio estable de la tensegridad es el icosaedro de Jessen; el icosaedro de la tensegridad se resiste a ser deformado de esa forma y solo puede ser forzado a expandirse o contraerse de ella en la medida en que sus bordes sean elásticos (capaces de alargarse bajo tensión). Forzar al poliedro a alejarse de su forma estable de reposo (en cualquier dirección) implica estirar sus 24 bordes cortos levemente y de manera uniforme. La fuerza aplicada a cualquier par de bordes largos paralelos, para acercarlos o alejarlos, se transfiere automáticamente para estirar todos los bordes cortos de manera uniforme, encogiendo el poliedro desde su icosaedro de Jessen de tamaño mediano hacia el octaedro más pequeño, o expandiéndolo hacia el icosaedro regular más grande y el cuboctaedro aún más grande, respectivamente. Al liberar la fuerza, el poliedro vuelve a su forma de reposo de icosaedro de Jessen.
En la transformación de aristas elásticas, las aristas del cuboctaedro no son rígidas (aunque las 6 aristas largas del icosaedro de Jessen sí lo son). [a] En lo que se transforma el cuboctaedro es en un icosaedro regular de radio más corto y longitud de arista más corta, un icosaedro de Jessen de radio aún más corto y longitud de arista (mínima) y, finalmente, un octaedro de radio aún más corto pero la misma longitud de arista (máxima) que el cuboctaedro (pero solo después de que las aristas se hayan acortado y alargado nuevamente, y se hayan unido en pares coincidentes).
Las transformaciones cuboctaédricas de arista rígida y de arista elástica difieren solo en que tienen parámetros recíprocos: en la transformación de arista elástica, las aristas cortas del icosaedro de Jessen se estiran y sus aristas largas son rígidas, y en la transformación de arista rígida, sus aristas largas se comprimen y sus aristas cortas son rígidas. Todo lo mencionado en las descripciones anteriores, excepto las métricas, se aplica a todas las transformaciones cuboctaédricas. En particular, los vértices siempre se mueven en hélices hacia el centro a medida que el cuboctaedro se transforma en octaedro, [8] [9] y el icosaedro de Jessen (con ángulos diedros de 90° y tres planos ortogonales invariantes) es siempre el punto medio, estable en la medida en que exista resistencia al estiramiento o la compresión. [10]
La transformación del cuboctaedro de aristas elásticas suele presentarse como la matemática del icosaedro de tensegridad [11] porque es la que más se acerca a modelar cómo se comportan la mayoría de las estructuras de icosaedro de tensegridad reales. Sin embargo, se podría construir un icosaedro de tensegridad en el que las aristas cortas (cables) fueran perfectamente inelásticas y las aristas largas (puntales) fueran resortes compresibles. Una tensegridad de este tipo realizaría la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas.
Finalmente, ambas transformaciones son abstracciones puras, los dos casos límite de una familia infinita de transformaciones cuboctaédricas en las que hay dos parámetros de elasticidad y no hay requisito de que uno de ellos sea 0. Ninguno de los casos límite es apto para aplicarse perfectamente a la mayoría de las estructuras de tensegridad reales, que suelen tener cierta elasticidad tanto en los cables como en los puntales, lo que da lugar a sus métricas de comportamiento reales que no son triviales de calcular. [12] En la práctica de la ingeniería, solo se requiere una pequeña cantidad de elasticidad para permitir un grado significativo de movimiento, por lo que la mayoría de las estructuras de tensegridad se construyen para que sean "herméticas" utilizando puntales y cables casi inelásticos. Una transformación icosaédrica de tensegridad es una transformación cuboctaédrica cinemática con parámetros de elasticidad recíprocos pequeños.
Las transformaciones expansivas-contractivas retorcidas entre estos poliedros fueron denominadas transformaciones Jitterbug por Buckminster Fuller . Fuller no proporcionó ninguna matemática; [13] [14] como muchos grandes geómetras antes que él ( Alicia Boole Stott por ejemplo) no tenía ninguna matemática que dar. Pero fue el primero en enfatizar la importancia de la simetría equilátera radial del cuboctaedro que aplicó estructuralmente (y patentó) como la armadura de octeto , intuyendo que juega un papel fundamental no solo en la integridad estructural sino en las relaciones dimensionales entre politopos . Descubrió las transformaciones de simetría del cuboctaedro, entendió su relación con el icosaedro de tensegridad e incluso dio demostraciones de la transformación del cuboctaedro de arista rígida ante el público (en los días anteriores a las animaciones renderizadas por computadora). Su demostración con comentarios del "equilibrio vectorial", [15] como llamó al cuboctaedro, es todavía mucho más esclarecedora que las animaciones de este artículo.
