Ortobicúpula triangular

27.o sólido Johnson; 2 cúpulas triangulares unidas de base a base

En geometría , la ortobicúpula triangular es uno de los sólidos de Johnson ( J ₂₇ ). Como sugiere su nombre, se puede construir uniendo dos cúpulas triangulares ( J ₃ ) a lo largo de sus bases. Tiene un número igual de cuadrados y triángulos en cada vértice; sin embargo, no es transitiva por vértice . También se le llama anticuboctaedro , cuboctaedro torcido o disheptaedro . También es un poliedro canónico .

Un sólido de Johnson es uno de los 92 poliedros estrictamente convexos que están compuestos por caras de polígonos regulares pero no son poliedros uniformes (es decir, no son sólidos platónicos , sólidos arquimedianos , prismas o antiprismas ). Fueron nombrados por Norman Johnson , quien enumeró por primera vez estos poliedros en 1966. ^[1]

La ortobicúpula triangular es la primera de un conjunto infinito de ortobicúpulas .

Construcción

La ortobicúpula triangular se puede construir uniendo dos cúpulas triangulares sobre sus bases. De manera similar al cuboctaedro , que se conocería como girobicúpula triangular , la diferencia es que las dos cúpulas triangulares que forman la ortobicúpula triangular se unen de manera que los pares de lados coincidentes se topen (de ahí, "orto"); el cuboctaedro se une de manera que los triángulos se topen con los cuadrados y viceversa. Dada una ortobicúpula triangular, una rotación de 60 grados de una cúpula antes de la unión produce un cuboctaedro. ^[2] Por lo tanto, otro nombre para la ortobicúpula triangular es anticuboctaedro . ^[3] Debido a que la ortobicúpula triangular tiene la propiedad de convexidad y sus caras son polígonos regulares (ocho triángulos equiláteros y seis cuadrados ), se clasifica como un sólido de Johnson . Se enumera como el vigésimo séptimo sólido de Johnson ^{[4] [5]} ${\displaystyle J_{27}}$

Propiedades

El área de la superficie y el volumen de una ortobicúpula triangular son los mismos que los de un cuboctaedro. Su área de la superficie se puede obtener sumando todas sus caras poligonales, y su volumen se obtiene dividiendo la ortobicúpula en dos cúpulas triangulares y sumando sus volúmenes. Con una longitud de arista de , son: ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9.464a^{2},\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}$$

El poliedro dual de una ortobicúpula triangular es el dodecaedro trapezo-rómbico . Tiene 6 caras rómbicas y 6 trapezoidales, y es similar al dodecaedro rómbico . ^[3]

Referencias

1. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169–200, doi :10.4153/cjm-1966-021-8, MR  0185507, Zbl  0132.14603.
2. Ogievetsky, O.; Shlosman, S. (2021). "Compuestos y cilindros platónicos". En Novikov, S.; Krichever, I.; Ogievetsky, O.; Shlosman, S. (eds.). Integrabilidad, cuantificación y geometría: II. Teorías cuánticas y geometría algebraica. American Mathematical Society . pág. 477. ISBN 978-1-4704-5592-7.
3. Becker, David A. (2012). "Un zigododecaedro convexo y peculiarmente cerebroide es una "casa del blues" axiomáticamente equilibrada: del círculo de quintas al círculo de Willis y las cadencias de Cadherin". Simetría . 4 (4): 644–666. Bibcode :2012Symm....4..644B. ​​doi : 10.3390/sym4040644 .
4. Berman, M. (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
5. Francis, D. (2013). "Sólidos de Johnson y sus acrónimos". Word Ways . 46 (3): 177.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Sólido de Johnson" ("Ortobicúpula triangular") en MathWorld .