En geometría elemental , un politopo es un objeto geométrico con lados planos ( caras ). Los politopos son la generalización de los poliedros tridimensionales a cualquier número de dimensiones. Los politopos pueden existir en cualquier número general de dimensiones n como un politopo n -dimensional o un n -politopo . Por ejemplo, un polígono bidimensional es un 2-politopo y un poliedro tridimensional es un 3-politopo. En este contexto, "lados planos" significa que los lados de un ( k + 1) -politopo consisten en k -politopos que pueden tener ( k – 1) -politopos en común.
Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos tales como apeirótopos y teselaciones ilimitados , descomposiciones o teselación de variedades curvas que incluyen poliedros esféricos y politopos abstractos de teoría de conjuntos .
Los politopos de más de tres dimensiones fueron descubiertos por primera vez por Ludwig Schläfli antes de 1853, quien llamó a dicha figura polisquima . [1] El término alemán politopo fue acuñado por el matemático Reinhold Hoppe , y fue introducido a los matemáticos ingleses como politopo por Alicia Boole Stott .
En la actualidad, el término politopo es un término amplio que cubre una amplia clase de objetos, y aparecen varias definiciones en la literatura matemática. Muchas de estas definiciones no son equivalentes entre sí, lo que da como resultado diferentes conjuntos superpuestos de objetos que se denominan politopos . Representan diferentes enfoques para generalizar los politopos convexos para incluir otros objetos con propiedades similares.
El enfoque original, ampliamente seguido por Ludwig Schläfli , Thorold Gosset y otros, comienza con la extensión por analogía a cuatro o más dimensiones de la idea de un polígono y un poliedro respectivamente en dos y tres dimensiones. [2]
Los intentos de generalizar la característica de Euler de los poliedros a politopos de dimensiones superiores condujeron al desarrollo de la topología y al tratamiento de una descomposición o complejo CW como análogo a un politopo. [3] En este enfoque, un politopo puede considerarse como una teselación o descomposición de alguna variedad dada . Un ejemplo de este enfoque define un politopo como un conjunto de puntos que admite una descomposición simplicial . En esta definición, un politopo es la unión de un número finito de símplices , con la propiedad adicional de que, para dos símplices cualesquiera que tengan una intersección no vacía, su intersección es un vértice, una arista o una cara de dimensión superior de los dos. [4] Sin embargo, esta definición no permite politopos en estrella con estructuras interiores, y por lo tanto está restringida a ciertas áreas de las matemáticas.
El descubrimiento de poliedros estrellados y otras construcciones inusuales condujo a la idea de un poliedro como una superficie delimitadora, ignorando su interior. [5] Desde este punto de vista, los politopos convexos en el espacio p son equivalentes a teselas de la ( p −1)-esfera , mientras que otros pueden ser teselas de otras superficies ( p −1) elípticas , planas o toroidales – véase teselas elípticas y poliedro toroidal . Un poliedro se entiende como una superficie cuyas caras son polígonos , un 4-politopo como una hipersuperficie cuyas facetas ( celdas ) son poliedros, y así sucesivamente.
La idea de construir un politopo superior a partir de aquellos de dimensión inferior también se extiende a veces hacia abajo en dimensión, con un ( borde ) visto como un politopo 1 limitado por un par de puntos, y un punto o vértice como un politopo 0. Este enfoque se utiliza, por ejemplo, en la teoría de politopos abstractos .
En ciertos campos de las matemáticas, los términos "politopo" y "poliedro" se utilizan en un sentido diferente: un poliedro es el objeto genérico en cualquier dimensión (denominado politopo en este artículo) y politopo significa un poliedro acotado . [6] Esta terminología se limita típicamente a politopos y poliedros que son convexos . Con esta terminología, un poliedro convexo es la intersección de un número finito de semiespacios y se define por sus lados, mientras que un politopo convexo es la envoltura convexa de un número finito de puntos y se define por sus vértices.
Los politopos en números menores de dimensiones tienen nombres estándar:
Un politopo está compuesto por elementos de diferente dimensionalidad, como vértices, aristas, caras, celdas, etc. La terminología para estos no es completamente consistente entre los diferentes autores. Por ejemplo, algunos autores usan face para referirse a un elemento de ( n − 1) dimensión, mientras que otros usan face para denotar específicamente una cara de 2. Los autores pueden usar j -face o j -facet para indicar un elemento de j dimensiones. Algunos usan edge para referirse a una cresta, mientras que HSM Coxeter usa cell para denotar un elemento de ( n − 1) dimensión. [8] [ cita requerida ]
Los términos adoptados en este artículo se detallan en la siguiente tabla:
Un politopo n -dimensional está limitado por un número de facetas ( n − 1)-dimensionales . Estas facetas son en sí mismas politopos, cuyas facetas son crestas ( n − 2)-dimensionales del politopo original. Cada cresta surge como la intersección de dos facetas (pero la intersección de dos facetas no necesita ser una cresta). Las crestas son, una vez más, politopos cuyas facetas dan lugar a límites ( n − 3)-dimensionales del politopo original, y así sucesivamente. Estos subpolitopos delimitadores pueden denominarse caras , o específicamente caras j -dimensionales o j -caras. Una cara 0-dimensional se llama vértice y consta de un solo punto. Una cara unidimensional se llama arista y consta de un segmento de línea. Una cara bidimensional consta de un polígono , y una cara tridimensional, a veces llamada celda , consta de un poliedro .
Un politopo puede ser convexo . Los politopos convexos son el tipo más simple de politopos y forman la base para varias generalizaciones diferentes del concepto de politopos. Un politopo convexo a veces se define como la intersección de un conjunto de semiespacios . Esta definición permite que un politopo no sea ni acotado ni finito. Los politopos se definen de esta manera, por ejemplo, en programación lineal . Un politopo es acotado si hay una bola de radio finito que lo contiene. Se dice que un politopo es puntiagudo si contiene al menos un vértice. Todo politopo no vacío acotado es puntiagudo. Un ejemplo de un politopo no puntiagudo es el conjunto . Un politopo es finito si se define en términos de un número finito de objetos, por ejemplo, como una intersección de un número finito de semiplanos. Es un politopo entero si todos sus vértices tienen coordenadas enteras.
Una cierta clase de politopos convexos son politopos reflexivos . Un politopo -integral es reflexivo si para alguna matriz integral , , donde denota un vector de todos unos, y la desigualdad es componente a componente. De esta definición se deduce que es reflexivo si y solo si para todos los . En otras palabras, un -dilatado de difiere, en términos de puntos reticulares enteros, de un -dilatado de solo por los puntos reticulares obtenidos en el límite. De manera equivalente, es reflexivo si y solo si su politopo dual es un politopo integral. [9]
Los politopos regulares tienen el mayor grado de simetría de todos los politopos. El grupo de simetría de un politopo regular actúa transitivamente sobre sus banderas ; por lo tanto, el politopo dual de un politopo regular también es regular.
Hay tres clases principales de politopo regular que aparecen en cualquier número de dimensiones:
Las dimensiones dos, tres y cuatro incluyen figuras regulares que tienen simetrías quíntuples y algunas de las cuales son estrellas no convexas, y en dos dimensiones hay infinitos polígonos regulares de simetría n -pliegue, tanto convexos como (para n ≥ 5) en forma de estrella. Pero en dimensiones superiores no hay otros politopos regulares. [2]
En tres dimensiones, los sólidos platónicos convexos incluyen el dodecaedro y el icosaedro quíntuplemente simétricos , y también hay cuatro poliedros estrellados de Kepler-Poinsot con simetría quíntuple, lo que hace un total de nueve poliedros regulares.
En cuatro dimensiones, los 4-politopos regulares incluyen un sólido convexo adicional con simetría cuádruple y dos con simetría quíntuple. Hay diez 4-politopos de Schläfli-Hess en forma de estrella , todos con simetría quíntuple, lo que da un total de dieciséis 4-politopos regulares.
Un politopo no convexo puede ser autointersecante; esta clase de politopos incluye los politopos estrella . Algunos politopos regulares son estrellas. [2]
Dado que un politopo convexo (relleno) P en dimensiones es contráctil hasta un punto, la característica de Euler de su límite ∂P está dada por la suma alternada:
Esto generaliza la fórmula de Euler para poliedros . [10]
El teorema de Gram-Euler generaliza de manera similar la suma alternada de ángulos internos para poliedros convexos a politopos de dimensiones superiores: [10]
No todas las variedades son finitas. Cuando un politopo se entiende como una teselación o descomposición de una variedad, esta idea puede extenderse a variedades infinitas. Las teselaciónes planas , las teselaciónes que llenan el espacio ( panales de abeja ) y las teselaciónes hiperbólicas son en este sentido politopos, y a veces se los llama apeirótopos porque tienen infinitas celdas.
Entre estas, hay formas regulares que incluyen los poliedros oblicuos regulares y las series infinitas de teselas representadas por el apeirógono regular , la tesela cuadrada, el panal cúbico, etc.
La teoría de politopos abstractos intenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando sus propiedades puramente combinatorias. Esto permite ampliar la definición del término para incluir objetos para los que es difícil definir un espacio subyacente intuitivo, como el de 11 celdas .
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado de elementos o miembros, que obedece a ciertas reglas. Es una estructura puramente algebraica, y la teoría fue desarrollada para evitar algunos de los problemas que dificultan la conciliación de las diversas clases geométricas dentro de un marco matemático consistente. Se dice que un politopo geométrico es una realización en algún espacio real del politopo abstracto asociado. [11]
Existen estructuras análogas a los politopos en espacios de Hilbert complejos donde n dimensiones reales están acompañadas por n dimensiones imaginarias . Los politopos complejos regulares se tratan más apropiadamente como configuraciones . [12]
Cada n -politopo tiene una estructura dual, obtenida intercambiando sus vértices por facetas, aristas por crestas, y así sucesivamente, intercambiando generalmente sus elementos ( j − 1 )-dimensionales por elementos ( n − j )-dimensionales (para j = 1 a n − 1), mientras se conserva la conectividad o incidencia entre elementos.
En el caso de un politopo abstracto, esto simplemente invierte el orden del conjunto. Esta inversión se observa en los símbolos de Schläfli para politopos regulares, donde el símbolo del politopo dual es simplemente el inverso del original. Por ejemplo, {4, 3, 3} es dual a {3, 3, 4}.
En el caso de un politopo geométrico, es necesaria alguna regla geométrica para la dualización, véanse, por ejemplo, las reglas descritas para los poliedros duales . Según las circunstancias, la figura dual puede ser o no otro politopo geométrico. [13]
Si se invierte el dual, se recupera el politopo original. Por lo tanto, los politopos existen en pares duales.
Si un politopo tiene el mismo número de vértices que de facetas, de aristas que de crestas, etcétera, y las mismas conectividades, entonces la figura dual será similar a la original y el politopo es autodual.
Algunos politopos autoduales comunes incluyen:
Los polígonos y poliedros se conocen desde la antigüedad.
Un primer indicio de dimensiones superiores apareció en 1827, cuando August Ferdinand Möbius descubrió que dos sólidos que son imágenes especulares pueden superponerse rotando uno de ellos a través de una cuarta dimensión matemática. En la década de 1850, un puñado de otros matemáticos, como Arthur Cayley y Hermann Grassmann, también habían considerado dimensiones superiores.
Ludwig Schläfli fue el primero en considerar análogos de polígonos y poliedros en estos espacios superiores. Describió los seis 4-politopos regulares convexos en 1852, pero su trabajo no se publicó hasta 1901, seis años después de su muerte. En 1854, la Habilitationsschrift de Bernhard Riemann había establecido firmemente la geometría de dimensiones superiores y, por lo tanto, el concepto de politopos n -dimensionales se hizo aceptable. Los politopos de Schläfli fueron redescubiertos muchas veces en las décadas siguientes, incluso durante su vida.
En 1882, Reinhold Hoppe , escribiendo en alemán, acuñó la palabra politopo para referirse a este concepto más general de polígonos y poliedros. Con el tiempo, Alicia Boole Stott , hija del lógico George Boole , introdujo el término anglicanizado politopo en el idioma inglés. [2] : vi
En 1895, Thorold Gosset no sólo redescubrió los politopos regulares de Schläfli, sino que también investigó las ideas de los politopos semirregulares y las teselaciones que llenan el espacio en dimensiones superiores. También comenzaron a estudiarse los politopos en espacios no euclidianos, como el espacio hiperbólico.
Un hito importante se alcanzó en 1948 con el libro de HSM Coxeter Regular Polytopes , que resumía el trabajo realizado hasta la fecha y añadía nuevos hallazgos propios.
Mientras tanto, el matemático francés Henri Poincaré había desarrollado la idea topológica de un politopo como la descomposición por partes (por ejemplo, el complejo CW ) de una variedad . Branko Grünbaum publicó su influyente trabajo sobre politopos convexos en 1967.
En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de que los politopos complejos están en un espacio complejo, donde cada dimensión real tiene una dimensión imaginaria asociada. Coxeter desarrolló la teoría aún más.
Las cuestiones conceptuales planteadas por los politopos complejos, la no convexidad, la dualidad y otros fenómenos llevaron a Grünbaum y a otros al estudio más general de las propiedades combinatorias abstractas que relacionan vértices, aristas, caras, etc. Una idea relacionada fue la de los complejos de incidencia, que estudiaban la incidencia o conexión de los diversos elementos entre sí. Estos desarrollos condujeron finalmente a la teoría de los politopos abstractos como conjuntos parcialmente ordenados, o posets, de dichos elementos. Peter McMullen y Egon Schulte publicaron su libro Abstract Regular Polytopes en 2002.
La enumeración de los politopos uniformes , convexos y no convexos, en cuatro o más dimensiones sigue siendo un problema pendiente. Los 4-politopos uniformes convexos fueron enumerados completamente por John Conway y Michael Guy usando una computadora en 1965; [14] [15] en dimensiones superiores este problema seguía abierto en 1997. [16] La enumeración completa para los politopos uniformes no convexos no se conoce en dimensiones cuatro y superiores en 2008. [17]
En la actualidad, los politopos y conceptos relacionados han encontrado muchas aplicaciones importantes en campos tan diversos como los gráficos por computadora , la optimización , los motores de búsqueda , la cosmología , la mecánica cuántica y muchos otros campos. En 2013 se descubrió el amplituhedro como un constructo simplificador en ciertos cálculos de física teórica.
En el campo de la optimización , la programación lineal estudia los máximos y mínimos de las funciones lineales ; estos máximos y mínimos se producen en el límite de un politopo de n dimensiones. En la programación lineal, los politopos se producen en el uso de coordenadas baricéntricas generalizadas y variables de holgura .
En la teoría de twistores , una rama de la física teórica , se utiliza un politopo llamado amplituhedro para calcular las amplitudes de dispersión de partículas subatómicas cuando colisionan. El concepto es puramente teórico y no se conoce su manifestación física, pero se dice que simplifica enormemente ciertos cálculos. [18]
