Círculo de nueve puntos

Lados del triángulo

  Altitudes (concurren en el ortocentro )

  Segmentos de recta perpendiculares a los puntos medios de los lados (concurren en el circuncentro )

  **Círculo de nueve puntos** (centrado en el centro de nueve puntos )
Tenga en cuenta que la construcción aún funciona incluso si el ortocentro y el circuncentro quedan fuera del triángulo.

En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son:

El punto medio de cada lado del triángulo.
El pie de cada altitud
El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres alturas; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas alturas). ^[1]^[2]

El círculo de nueve puntos también se conoce como círculo de Feuerbach (en honor a Karl Wilhelm Feuerbach ), círculo de Euler (en honor a Leonhard Euler ), círculo de Terquem (en honor a Olry Terquem ), círculo de seis puntos , círculo de doce puntos , círculo de $n$ puntos , círculo medioscrito , círculo medio o círculo circunscrito . Su centro es el centro de nueve puntos del triángulo. ^[3]^[4]

Nueve puntos importantes

El diagrama de arriba muestra los nueve puntos significativos del círculo de nueve puntos. Los puntos $D, E, F$ son los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los puntos $G, H, I$ son los pies de las alturas del triángulo. Los puntos $J, K, L$ son los puntos medios de los segmentos de línea entre la intersección de los vértices de cada altura (puntos $A, B, C$ ) y el ortocentro del triángulo (punto $S$ ).

En un triángulo agudo , seis de los puntos (los puntos medios y los pies de altura) se encuentran en el propio triángulo; en un triángulo obtuso, dos de las alturas tienen pies fuera del triángulo, pero estos pies siguen perteneciendo al círculo de nueve puntos.

Descubrimiento

Aunque se le atribuye su descubrimiento, Karl Wilhelm Feuerbach no descubrió por completo el círculo de nueve puntos, sino más bien el círculo de seis puntos, reconociendo la importancia de los puntos medios de los tres lados del triángulo y los pies de las alturas de ese triángulo. ( Véase la figura 1, puntos $D, E, F, G, H, I.$ ) (En una fecha ligeramente anterior, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían enunciado y demostrado el mismo teorema.) Pero poco después de Feuerbach, el propio matemático Olry Terquem demostró la existencia del círculo. Fue el primero en reconocer la importancia añadida de los tres puntos medios entre los vértices del triángulo y el ortocentro. ( Véase la figura 1, puntos $J, K, L.$ ) Por tanto, Terquem fue el primero en utilizar el nombre de círculo de nueve puntos.

Círculos tangentes

El círculo de nueve puntos es tangente al círculo inscrito y al círculo exscrito.

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es tangente externamente a los tres excírculos de ese triángulo y tangente internamente a su incírculo ; este resultado se conoce como el teorema de Feuerbach . Demostró que:

...el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo...

^[5]

El centro del triángulo en el que se tocan el círculo inscrito y el círculo de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .

Otras propiedades del círculo de nueve puntos

El radio del círculo circunscrito de un triángulo es el doble del radio del círculo de nueve puntos de ese triángulo. ^[6]^{: p.153}

Figura 3

Un círculo de nueve puntos biseca un segmento de línea que va desde el ortocentro del triángulo correspondiente hasta cualquier punto de su círculo circunscrito.

Figura 4

El centro $N$ del círculo de nueve puntos biseca un segmento desde el ortocentro $H$ hasta el circuncentro $O$ (lo que convierte al ortocentro en un centro de dilatación para ambos círculos): ^[6]^{: p.152}

{\overline {ON}}={\overline {NH}}.

El centro de nueve puntos $N$ está a una cuarta parte del camino a lo largo de la línea de Euler desde el centroide $G$ hasta el ortocentro $H$ : ^[6]^{: p.153}

{\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.

Sea $ω$ el círculo de nueve puntos del triángulo diagonal de un cuadrilátero cíclico . El punto de intersección de las bimedianas del cuadrilátero cíclico pertenece al círculo de nueve puntos. ^[7]^[8]

El círculo de nueve puntos de un triángulo de referencia es el círculo circunscrito tanto del triángulo medial del triángulo de referencia (con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo de referencia) como de su triángulo órtico (con vértices en los pies de las alturas del triángulo de referencia). ^[6]^{: p.153}
El centro de todas las hipérbolas rectangulares que pasan por los vértices de un triángulo se encuentra en su círculo de nueve puntos. Entre los ejemplos se encuentran las conocidas hipérbolas rectangulares de Keipert , Jeřábek y Feuerbach. Este hecho se conoce como el teorema de la cónica de Feuerbach.

Si se da un sistema ortocéntrico de cuatro puntos $A, B, C, H , entonces los cuatro triángulos formados por cualquier combinación de tres puntos distintos de ese sistema comparten el mismo círculo de nueve puntos. Esto es una consecuencia de la simetría: los$ lados de un triángulo adyacentes a un vértice que es ortocentro de otro triángulo son segmentos de ese segundo triángulo. Un tercer punto medio se encuentra en su lado común. (Los mismos "puntos medios" definen círculos de nueve puntos separados; esos círculos deben ser concurrentes).
En consecuencia, estos cuatro triángulos tienen circunferencias circunscritas con radios idénticos. Sea $N$ el centro común de nueve puntos y $P$ un punto arbitrario en el plano del sistema ortocéntrico. Entonces

{\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}

donde

R

es el circunradio común ; y si

{\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},

donde

K

se mantiene constante, entonces el lugar geométrico de

P

es un círculo centrado en

N

con un radio A medida que

P

se acerca

a N,

el lugar geométrico de

P

para la constante correspondiente

K

, colapsa sobre

N,

el centro de nueve puntos. Además, el círculo de nueve puntos es el lugar geométrico de

P

tal que

{\frac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.

{\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.

Los centros de los círculos inscritos y exscritos de un triángulo forman un sistema ortocéntrico. El círculo de nueve puntos creado para ese sistema ortocéntrico es el círculo circunscrito del triángulo original. Los pies de las alturas en el sistema ortocéntrico son los vértices del triángulo original.
Si se dan cuatro puntos arbitrarios $A, B, C, D$ que no forman un sistema ortocéntrico, entonces los círculos de nueve puntos de $△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ concurren en un punto, el punto Poncelet de $A, B, C, D$ . Los seis puntos de intersección restantes de estos círculos de nueve puntos concurren cada uno con los puntos medios de los cuatro triángulos. Sorprendentemente, existe una única cónica de nueve puntos, centrada en el centroide de estos cuatro puntos arbitrarios, que pasa por los siete puntos de intersección de estos círculos de nueve puntos. Además, debido al teorema de la cónica de Feuerbach mencionado anteriormente, existe una única circuncónica rectangular , centrada en el punto de intersección común de los cuatro círculos de nueve puntos, que pasa por los cuatro puntos arbitrarios originales así como por los ortocentros de los cuatro triángulos.
Si se dan cuatro puntos $A, B, C, D que forman un$ cuadrilátero cíclico , entonces los círculos de nueve puntos de $△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ concurren en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos son todos congruentes con un radio de la mitad del del círculo circunscrito del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos forman un conjunto de cuatro círculos de Johnson . En consecuencia, los cuatro centros de nueve puntos son cíclicos y se encuentran en un círculo congruente con los cuatro círculos de nueve puntos que está centrado en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Además, el cuadrilátero cíclico formado a partir de los cuatro centros de nueve puntos es homotético al cuadrilátero cíclico de referencia $ABCD$ por un factor de – ⁠1/2⁠ y su centro homotético $N$ se encuentra en la línea que une el circuncentro $O$ con el anticentro $M$ donde

{\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.

El ortopolo de las líneas que pasan por el circuncentro se encuentra en el círculo de nueve puntos.
El círculo circunscrito de un triángulo, su círculo de nueve puntos, su círculo polar y el círculo circunscrito de su triángulo tangencial ^[9] son coaxiales . ^[10]
Las coordenadas trilineales para el centro de la hipérbola de Kiepert son

{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}

Las coordenadas trilineales para el centro de la hipérbola de Jeřábek son

\cos(A)\sin ^{2}(BC):\cos(B)\sin ^{2}(CA):\cos(C)\sin ^{2}(AB)

Sea $x : y : z$ un punto variable en coordenadas trilineales, una ecuación para el círculo de nueve puntos es

x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0.

Generalización

El círculo es una instancia de una sección cónica y el círculo de nueve puntos es una instancia de la cónica general de nueve puntos que se ha construido con relación a un triángulo $△ ABC$ y un cuarto punto $P$ , donde la instancia particular del círculo de nueve puntos surge cuando $P$ es el ortocentro de $△ ABC$ . Los vértices del triángulo y $P$ determinan un cuadrilátero completo y tres "puntos diagonales" donde se intersecan los lados opuestos del cuadrilátero. Hay seis "líneas laterales" en el cuadrilátero; la cónica de nueve puntos interseca los puntos medios de estas y también incluye los puntos diagonales. La cónica es una elipse cuando $P$ es interior a $△ ABC$ o en una región que comparte ángulos verticales con el triángulo, pero una hipérbola de nueve puntos ocurre cuando $P$ está en una de las tres regiones adyacentes, y la hipérbola es rectangular cuando P se encuentra en el circuncírculo de $△ ABC$ .

Véase también

Círculo de Hart , una construcción relacionada con los triángulos circulares.
Teorema de Lester
Punta de poncelet
Geometría sintética

Notas

^ Altshiller-Court (1925, págs. 103-110)
^ Kay (1969, págs. 18, 245)
^ Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "Desenredar un triángulo". América. Matemáticas. Mensual . 116 (3): 228–237. doi :10.4169/193009709x470065.Kocik y Solecki (ganadores del premio Lester R. Ford 2010 ) ofrecen una prueba del teorema del círculo de nueve puntos.
^ Casey, John (1886). Teorema del círculo de nueve puntos, en Una secuela de los primeros seis libros de Euclides (4.ª ed.). Londres: Longmans, Green, & Co. pág. 58.
^ Feuerbach y Buzengeiger 1822.
^ abcd Posamentier, Alfred S., y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
^ Fraivert, David (julio de 2019). «Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos». The Mathematical Gazette . 103 (557): 222–232. doi :10.1017/mag.2019.53. S2CID 213935239.
^ Fraivert, David (2018). "Nuevas aplicaciones del método de números complejos en la geometría de cuadriláteros cíclicos" (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 7 (1): 5–16.
^ Altshiller-Court (1925, pág. 98)
^ Altshiller-Court (1925, pág. 241)

Referencias

Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN 52013504
Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (edición monográfica), Núremberg: Wiessner.
Kay, David C. (1969), Geometría universitaria , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN 69012075
Fraivert, David (2019), "Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos", The Mathematical Gazette , 103 (557): 222–232, doi :10.1017/mag.2019.53, S2CID 213935239
Fraivert, David (2018), "Nuevas aplicaciones del método de números complejos en la geometría de cuadriláteros cíclicos" (PDF) , International Journal of Geometry , 7 (1): 5–16

Enlaces externos

"Una demostración en Javascript del círculo de nueve puntos" en rykap.com
Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling. El centro de nueve puntos está indexado como X(5), el punto de Feuerbach como X(11), el centro de la hipérbola de Kiepert como X(115) y el centro de la hipérbola de Jeřábek como X(125).
Historia del círculo de nueve puntos basada en el artículo de JS MacKay de 1892: Historia del círculo de nueve puntos
Weisstein, Eric W. "Círculo de nueve puntos". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Ortopolo". MathWorld .
Círculo de nueve puntos en Java en el momento de cortar el nudo
Teorema de Feuerbach: una demostración a toda prueba
Líneas y círculos especiales en un triángulo de Walter Fendt
Subprograma interactivo de círculo de nueve puntos del proyecto de demostraciones de Wolfram
Generalización de una cónica de nueve puntos y una línea de Euler en Dynamic Geometry Sketches Generaliza un círculo de nueve puntos a una cónica de nueve puntos con una generalización asociada de la línea de Euler.
NJ Wildberger. Cromogeometría. Analiza el círculo de nueve puntos en relación con tres formas cuadráticas diferentes (azul, rojo, verde).
Stefan Götz, Franz Hofbauer: Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordinatenfreien Vektoren