En geometría , un centro homotético (también llamado centro de semejanza o centro de similitud ) es un punto a partir del cual al menos dos figuras geométricamente similares pueden verse como una dilatación o contracción entre sí. Si el centro es externo , las dos figuras son directamente similares entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido de rotación. Si el centro es interno , las dos figuras son imágenes especulares escaladas una de la otra; sus ángulos tienen el sentido opuesto.
Si dos figuras geométricas poseen un centro homotético, son similares entre sí; en otras palabras, deben tener los mismos ángulos en los puntos correspondientes y diferir sólo en su escala relativa. No es necesario que el centro homotético y las dos figuras se encuentren en el mismo plano; se pueden relacionar mediante una proyección del centro homotético.
Los centros homotéticos pueden ser externos o internos. Si el centro es interno, las dos figuras geométricas son imágenes especulares a escala una de otra; en lenguaje técnico, tienen quiralidad opuesta . Un ángulo en el sentido de las agujas del reloj en una figura correspondería a un ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj en la otra. Por el contrario, si el centro es externo, las dos figuras son directamente similares entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido.
Los círculos son geométricamente similares entre sí y simétricos como espejo. Por tanto, un par de círculos tiene ambos tipos de centros homotéticos, internos y externos, a menos que los centros sean iguales o los radios sean iguales; Estos casos excepcionales se tratan según la postura general . Estos dos centros homotéticos se encuentran en la línea que une los centros de los dos círculos dados, que se llama línea de centros (Figura 3). También se pueden incluir círculos con radio cero (ver casos excepcionales), y también se pueden utilizar radios negativos, conmutando externos e internos.
Para un par de círculos dado, los centros homotéticos internos y externos se pueden encontrar de varias maneras. En geometría analítica , el centro homotético interno es el promedio ponderado de los centros de los círculos, ponderado por el radio del círculo opuesto; la distancia desde el centro del círculo al centro interior es proporcional a ese radio, por lo que la ponderación es proporcional al radio opuesto . Denotando los centros de los círculos C 1 , C 2 por ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) y sus radios por r 1 , r 2 y denotando el centro por ( x 0 , y 0 ) , esto es:
En geometría sintética se dibujan dos diámetros paralelos, uno por cada círculo; estos forman el mismo ángulo α con la línea de centros. Las líneas A 1 A 2 , B 1 B 2 trazadas a través de los puntos finales correspondientes de esos radios, que son puntos homólogos, se cruzan entre sí y con la línea de centros en el centro homotético externo . Por el contrario, las líneas A 1 B 2 , B 1 A 2 trazadas a través de un punto final y el punto final opuesto de su contraparte se cruzan entre sí y la línea de centros en el centro homotético interno .
Como caso límite de esta construcción, una recta tangente a ambos círculos (una recta bitangente) pasa por uno de los centros homotéticos, ya que forma ángulos rectos con ambos diámetros correspondientes, que por tanto son paralelos; vea líneas tangentes a dos círculos para más detalles. Si los círculos caen en lados opuestos de la línea, ésta pasa por el centro homotético interno, como en A 2 B 1 en la figura anterior. Por el contrario, si los círculos caen en el mismo lado de la línea, ésta pasa por el centro homotético externo (no se muestra en la imagen).
Si los círculos tienen el mismo radio (pero diferentes centros), no tienen ningún centro homotético externo en el plano afín : en geometría analítica esto resulta en una división por cero, mientras que en geometría sintética las líneas A 1 A 2 , B 1 B 2 son paralelo a la línea de centros (tanto para las rectas secantes como para las rectas bitangentes) y por tanto no tienen intersección. Un centro externo se puede definir en el plano proyectivo como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de esta línea. Este es también el límite del centro externo si los centros de los círculos son fijos y los radios se varían hasta igualarlos.
Si los círculos tienen el mismo centro pero diferentes radios, tanto el externo como el interno coinciden con el centro común de los círculos. Esto se puede ver en la fórmula analítica, y también es el límite de los dos centros homotéticos ya que los centros de los dos círculos varían hasta que coinciden, manteniendo los radios iguales. Sin embargo, no existe una línea de centros y la construcción sintética falla cuando las dos líneas paralelas coinciden.
Si un radio es cero pero el otro no es cero (un punto y un círculo), tanto el centro externo como el interno coinciden con el punto (centro del círculo de radio cero).
Si los dos círculos son idénticos (mismo centro, mismo radio), el centro interno es su centro común, pero no hay un centro externo bien definido; propiamente, la función desde el espacio de parámetros de dos círculos en el plano hasta el centro externo tiene una discontinuidad no removible en el lugar geométrico de círculos idénticos. En el límite de dos circunferencias con el mismo radio pero distintos centros que pasan a tener el mismo centro, el centro externo es el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la recta de centros, que puede ser cualquier cosa, por lo que no existe límite para todas las posibles. pares de tales círculos.
Por el contrario, si ambos radios son cero (dos puntos) pero los puntos son distintos, el centro externo se puede definir como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, pero no hay un centro interno bien definido.
En general, una recta que pasa por un centro homotético corta cada uno de sus círculos en dos lugares. De estos cuatro puntos, se dice que dos son homólogos si los radios trazados hacia ellos forman el mismo ángulo con la línea que conecta los centros; por ejemplo, los puntos Q, Q' en la Figura 4. Los puntos que son colineales con respecto al centro homotético pero que no son homólogos se dicen antihomólogos ; [1] por ejemplo, puntos Q, P' en la Figura 4.
Cuando dos rayos del mismo centro homotético cortan los círculos, cada conjunto de puntos antihomólogos se encuentra en un círculo.
Considere los triángulos △ EQS , △ EQ'S' (Figura 4).
Son similares porque
La prueba es similar para el centro homotético interno I :
Dos circunferencias tienen un eje radical , que es la línea de puntos a partir de la cual las tangentes a ambas circunferencias tienen la misma longitud. De manera más general, cada punto del eje radical tiene la propiedad de que sus potencias relativas a los círculos son iguales. El eje radical es siempre perpendicular a la recta de centros, y si dos circunferencias se cortan, su eje radical es la recta que une sus puntos de intersección. Para tres círculos se pueden definir tres ejes radicales, uno para cada par de círculos ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 , C 2 / C 3 ); Sorprendentemente, estos tres ejes radicales se cruzan en un solo punto, el centro radical . Las tangentes trazadas desde el centro radical hasta los tres círculos tendrían todas la misma longitud.
Se pueden utilizar dos pares cualesquiera de puntos antihomólogos para encontrar un punto en el eje radical. Considere los dos rayos que emanan del centro homotético externo E en la Figura 4. Estos rayos intersecan los dos círculos dados (verde y azul en la Figura 4) en dos pares de puntos antihomólogos, Q, P' para el primer rayo y S, R. ' para el segundo rayo. Estos cuatro puntos se encuentran en un solo círculo que corta a ambos círculos dados. Por definición, la línea QS es el eje radical del nuevo círculo con el círculo verde dado, mientras que la línea P'R' es el eje radical del nuevo círculo con el círculo azul dado. Estas dos rectas se cruzan en el punto G , que es el centro radical del nuevo círculo y de los dos círculos dados. Por tanto, el punto G también se encuentra en el eje radical de los dos círculos dados.
Para cada par de puntos antihomólogos de dos círculos existe un tercer círculo que es tangente a los dados y los toca en los puntos antihomólogos.
Lo contrario también es cierto: cada círculo que es tangente a otros dos círculos los toca en un par de puntos antihomólogos.
Dejemos que nuestros dos círculos tengan centros O 1 , O 2 (Figura 5). E es su centro homotético externo. Construimos un rayo arbitrario a partir de E que corta los dos círculos en P, Q, P' y Q' . Extienda O 1 Q , O 2 P' hasta que se crucen en T 1 . Se demuestra fácilmente que los triángulos △ O 1 PQ , △ O 2 P'Q' son semejantes debido a la homotecia . También son isósceles porque ( radio ), por lo tanto
La prueba para el otro par de puntos antihomólogos ( P, Q' ), así como para el centro homotético interno, es análoga.
Si construimos las circunferencias tangentes para cada posible par de puntos antihomólogos obtenemos dos familias de circunferencias, una para cada centro homotético. La familia de círculos del centro homotético externo es tal que cada círculo tangente contiene ambos círculos dados o ninguno (Figura 6). Por el contrario, los círculos de la otra familia siempre contienen sólo uno de los círculos indicados (Figura 7).
Todos los círculos de una familia de tangentes tienen un centro radical común y coincide con el centro homotético.
Para mostrar esto, considere dos rayos desde el centro homotético, que cortan los círculos dados (Figura 8). Existen dos círculos tangentes T 1 , T 2 que tocan los círculos dados en los puntos antihomólogos. Como ya hemos mostrado, estos puntos se encuentran en un círculo C y, por tanto, los dos rayos son ejes radicales para C / T 1 , C / T 2 . Entonces el punto de intersección de los dos ejes radicales también debe pertenecer al eje radical de T 1 / T 2 . Este punto de intersección es el centro homotético E .
Si los dos círculos tangentes tocan pares colineales de puntos antihomólogos, como en la Figura 5, entonces, debido a la homotecia
Cualquier par de círculos tiene dos centros de similitud, por lo tanto, tres círculos tendrían seis centros de similitud, dos por cada par distinto de círculos dados. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, tres puntos en cada línea. Aquí hay una manera de mostrar esto.
Considere el plano de los tres círculos (Figura 9). Desplace cada punto central perpendicularmente al plano una distancia igual al radio correspondiente. Los centros se pueden desplazar a cualquier lado del avión. Los tres puntos de desplazamiento definen un solo plano. En ese plano construimos tres rectas que pasen por cada par de puntos. Las rectas atraviesan el plano de las circunferencias en los puntos H AB , H BC , H AC . Dado que el lugar geométrico de los puntos que son comunes a dos planos distintos y no paralelos es una línea, entonces necesariamente estos tres puntos se encuentran en dicha línea. De la semejanza de los triángulos △ H AB AA', △ H AB BB' vemos que
Repetir el procedimiento anterior para diferentes combinaciones de centros homotéticos (en nuestro método esto está determinado por el lado hacia el cual desplazamos los centros de los círculos) produciría un total de cuatro líneas: tres centros homotéticos en cada línea (Figura 10).
Aquí hay otra manera de demostrarlo.
Sean C 1 , C 2 un par conjugado de círculos tangentes a los tres círculos dados (Figura 11). Por conjugado implicamos que ambos círculos tangentes pertenecen a la misma familia con respecto a cualquiera de los pares de círculos dados. Como ya hemos visto, el eje radical de dos círculos tangentes cualesquiera de la misma familia pasa por el centro homotético de los dos círculos dados. Dado que las circunferencias tangentes son comunes para los tres pares de circunferencias dadas, entonces todos sus centros homotéticos pertenecen al eje radical de C 1 , C 2 , por ejemplo, se encuentran en una sola recta.
Esta propiedad se explota en la solución general de Joseph Diaz Gergonne al problema de Apolonio . Dados los tres círculos, se pueden encontrar los centros homotéticos y, por tanto, el eje radical de un par de círculos solución. Por supuesto, hay infinitos círculos con el mismo eje radical, por lo que se hace trabajo adicional para descubrir exactamente cuáles dos círculos son la solución.
