En geometría , los círculos apolíneos son dos familias ( lápices ) de círculos tales que cada círculo de la primera familia interseca a cada círculo de la segunda familia ortogonalmente , y viceversa. Estos círculos forman la base de las coordenadas bipolares . Fueron descubiertos por Apolonio de Perge , un renombrado geómetra griego .
Los círculos apolíneos se definen de dos maneras diferentes mediante un segmento de línea denominado CD .
Cada círculo de la primera familia (los círculos azules en la figura) está asociado con un número real positivo r , y se define como el lugar geométrico de los puntos X tales que la relación de las distancias de X a C y a D es igual a r . Para valores de r cercanos a cero, el círculo correspondiente está cerca de C , mientras que para valores de r cercanos a ∞ , el círculo correspondiente está cerca de D ; para el valor intermedio r = 1 , el círculo degenera en una línea, la bisectriz perpendicular de CD . La ecuación que define estos círculos como un lugar geométrico se puede generalizar para definir los círculos de Fermat-Apolonio de conjuntos más grandes de puntos ponderados.
Cada círculo de la segunda familia (los círculos rojos en la figura) está asociado con un ángulo θ , y se define como el lugar geométrico de los puntos X tales que el ángulo inscrito ∠ CXD es igual a θ ,
Al escanear θ de 0 a π se genera el conjunto de todos los círculos que pasan por los dos puntos C y D.
Los dos puntos donde se cruzan todos los círculos rojos son los puntos límite de los pares de círculos de la familia azul.
Un círculo azul dado y un círculo rojo dado se cortan en dos puntos. Para obtener coordenadas bipolares , se requiere un método para especificar qué punto es el correcto. Un arco isóptico es el lugar geométrico de los puntos X que ve los puntos C, D bajo un ángulo orientado dado de vectores, es decir, un arco de este tipo está contenido en un círculo rojo y está limitado por los puntos C, D. La parte restante del círculo rojo correspondiente es isopt( θ + π ) . Cuando realmente queremos todo el círculo rojo, se debe utilizar una descripción utilizando ángulos orientados de líneas rectas:
Ambas familias de círculos apolíneos son lápices de círculos . Cada una está determinada por dos de sus miembros, llamados generadores del lápiz. En concreto, uno es un lápiz elíptico (familia de círculos rojos en la figura) que se define por dos generadores que pasan uno a través del otro en exactamente dos puntos ( C, D ). El otro es un lápiz hiperbólico (familia de círculos azules en la figura) que se define por dos generadores que no se cruzan entre sí en ningún punto. [1]
Dos de estos círculos dentro de un lápiz tienen el mismo eje radical y todos los círculos en el lápiz tienen centros colineales . Tres o más círculos de la misma familia se denominan círculos coaxiales o círculos coaxiales . [2]
El lápiz elíptico de círculos que pasa por los dos puntos C, D (el conjunto de círculos rojos, en la figura) tiene como eje radical la línea CD . Los centros de los círculos de este lápiz se encuentran en la mediatriz de CD . El lápiz hiperbólico definido por los puntos C, D (los círculos azules) tiene su eje radical en la mediatriz de la línea CD y todos sus centros de círculo en la línea CD .
La inversión de círculos transforma el plano de tal manera que los círculos se transforman en círculos y los lápices de círculos en lápices de círculos. Se conserva el tipo de lápiz: la inversión de un lápiz elíptico es otro lápiz elíptico, la inversión de un lápiz hiperbólico es otro lápiz hiperbólico y la inversión de un lápiz parabólico es otro lápiz parabólico.
Es relativamente fácil demostrar mediante inversión que, en los círculos apolíneos, cada círculo azul interseca a cada círculo rojo ortogonalmente, es decir, en un ángulo recto . La inversión de los círculos apolíneos azules con respecto a un círculo centrado en el punto C da como resultado un lápiz de círculos concéntricos centrados en la imagen del punto D. La misma inversión transforma los círculos rojos en un conjunto de líneas rectas que contienen todas la imagen de D. Por lo tanto, esta inversión transforma el sistema de coordenadas bipolares definido por los círculos apolíneos en un sistema de coordenadas polares . Obviamente, los lápices transformados se encuentran en ángulos rectos. Como la inversión es una transformación conforme , conserva los ángulos entre las curvas que transforma, por lo que los círculos apolíneos originales también se encuentran en ángulos rectos.
Alternativamente, [3] la propiedad ortogonal de los dos lápices se sigue de la propiedad definitoria del eje radical, que desde cualquier punto X en el eje radical de un lápiz P las longitudes de las tangentes desde X a cada círculo en P son todas iguales. De esto se sigue que el círculo centrado en X con longitud igual a estas tangentes cruza todos los círculos de P perpendicularmente. La misma construcción se puede aplicar para cada X en el eje radical de P , formando otro lápiz de círculos perpendiculares a P .
En términos más generales, para cada conjunto de círculos existe un único lápiz formado por los círculos que son perpendiculares al primer lápiz. Si un lápiz es elíptico, su lápiz perpendicular es hiperbólico, y viceversa; en este caso, los dos lápices forman un conjunto de círculos apolíneos. El conjunto de círculos perpendicular a un lápiz parabólico también es parabólico; está formado por los círculos que tienen el mismo punto de tangente común pero con una línea tangente perpendicular en ese punto. [4]
Se ha demostrado que las trayectorias apolíneas son seguidas en su movimiento por núcleos de vórtices u otros estados de pseudoespín definidos en algunos sistemas físicos que involucran campos interferenciales o acoplados, tales como ondas fotónicas o polaritones acoplados . [5] Las trayectorias surgen de la rotación de Rabi de la esfera de Bloch y su proyección estereográfica sobre el espacio real donde se realiza la observación.
