ciclo rabi

Fenómeno mecánico cuántico

Oscilaciones de Rabi, que muestran la probabilidad de que un sistema de dos niveles inicialmente termine en diferentes desafinaciones Δ. ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$

En física , el ciclo de Rabi (o Rabi flop ) es el comportamiento cíclico de un sistema cuántico de dos niveles en presencia de un campo impulsor oscilatorio. Una gran variedad de procesos físicos pertenecientes a las áreas de la computación cuántica , la materia condensada , la física atómica y molecular, y la física nuclear y de partículas pueden estudiarse convenientemente en términos de sistemas mecánicos cuánticos de dos niveles , y exhiben el fracaso de Rabi cuando se acoplan a un óptico. campo de conducción. El efecto es importante en óptica cuántica , resonancia magnética y computación cuántica , y lleva el nombre de Isidor Isaac Rabi .

Un sistema de dos niveles es aquel que tiene dos niveles de energía posibles. Estos dos niveles son un estado fundamental con menor energía y un estado excitado con mayor energía. Si los niveles de energía no están degenerados (es decir, no tienen energías iguales), el sistema puede absorber una cantidad de energía y pasar del estado fundamental al estado "excitado". Cuando un átomo (o algún otro sistema de dos niveles ) es iluminado por un haz coherente de fotones , absorberá fotones cíclicamente y los reemitirá mediante emisión estimulada . Uno de esos ciclos se llama ciclo Rabi y la inversa de su duración es la frecuencia Rabi del sistema. El efecto se puede modelar utilizando el modelo de Jaynes-Cummings y el formalismo vectorial de Bloch .

Descripción matemática

Puede encontrar una descripción matemática detallada del efecto en la página del problema de Rabi . Por ejemplo, para un átomo de dos estados (un átomo en el que un electrón puede estar en el estado excitado o fundamental) en un campo electromagnético con frecuencia sintonizada con la energía de excitación, se encuentra la probabilidad de encontrar el átomo en el estado excitado. de las ecuaciones de Bloch para ser

${\displaystyle |c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2),}$

¿ Dónde está la frecuencia de Rabi? ${\displaystyle \omega }$

De manera más general, se puede considerar un sistema donde los dos niveles considerados no son estados propios de energía . Por tanto, si el sistema se inicializa en uno de estos niveles, la evolución temporal hará que la población de cada uno de los niveles oscile con alguna frecuencia característica, cuya frecuencia angular ^[1] también se conoce como frecuencia de Rabi. El estado de un sistema cuántico de dos estados se puede representar como vectores de un espacio de Hilbert complejo bidimensional , lo que significa que cada vector de estado está representado por coordenadas complejas : ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},}$

donde y son las coordenadas. ^[2] ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Si los vectores están normalizados y están relacionados por . Los vectores base se representarán como y . ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$ ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

Todas las cantidades físicas observables asociadas con este sistema son matrices hermitianas de 2 × 2 , lo que significa que el hamiltoniano del sistema también es una matriz similar.

Procedimiento

Se puede construir un experimento de oscilación mediante los siguientes pasos: ^[3]

1. Prepare el sistema en un estado fijo; Por ejemplo, ${\displaystyle |1\rangle }$
2. Dejemos que el estado evolucione libremente, bajo un hamiltoniano H para el tiempo t
3. Encuentre la probabilidad de que el estado esté en ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si es un estado propio de H, no habrá oscilaciones. Además, si los dos estados y son degenerados, cada estado incluido es un estado propio de H. Como resultado, no habrá oscilaciones. ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle P(t)=1}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Por otro lado, si H no tiene estados propios degenerados y el estado inicial no es un estado propio, entonces habrá oscilaciones. Se da la forma más general del hamiltoniano de un sistema de dos estados.

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}}$

aquí, y son números reales. Esta matriz se puede descomponer como, ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$

${\displaystyle \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};}$

La matriz es la matriz identidad 2 2 y las matrices son las matrices de Pauli . Esta descomposición simplifica el análisis del sistema, especialmente en el caso independiente del tiempo donde los valores de y son constantes. Considere el caso de una partícula de espín 1/2 en un campo magnético . La interacción hamiltoniana para este sistema es ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \sigma _{k}\;(k=1,2,3)}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}}$, ${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},}$

donde es la magnitud del momento magnético de la partícula , es la relación giromagnética y es el vector de matrices de Pauli . Aquí los estados propios del hamiltoniano son estados propios de , es decir y , con sus correspondientes valores propios de . La probabilidad de que un sistema en el estado pueda encontrarse en el estado arbitrario está dada por . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\ ,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}}$

Deje que el sistema esté preparado en su estado actual . Tenga en cuenta que es un estado propio de : ${\displaystyle \left|+X\right\rangle }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \left|+X\right\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

${\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$

Aquí el hamiltoniano es independiente del tiempo. Así, resolviendo la ecuación de Schrödinger estacionaria, el estado después del tiempo t viene dado por

$${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle ,}$$

${\displaystyle E}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }$.

Ahora supongamos que el giro se mide en la dirección x en el instante t. La probabilidad de encontrar spin-up viene dada por:

$${\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}$$

frecuencia angular^[4] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{\hbar }}=\gamma B}$ ${\displaystyle E_{-}\leq E_{+}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left|+X\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|+Z\right\rangle }$ ${\displaystyle {\tfrac {\hbar }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle E_{+}=E_{-}}$

Observe que si un sistema está en un estado propio de un hamiltoniano dado , el sistema permanece en ese estado.

Esto es cierto incluso para los hamiltonianos que dependen del tiempo. Tomando por ejemplo ; Si el estado de giro inicial del sistema es , entonces la probabilidad de que una medición del giro en la dirección y resulte en un tiempo es . ^[5] ${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$ ${\displaystyle \left|+Y\right\rangle }$ ${\displaystyle +{\tfrac {\hbar }{2}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}$

Derivación mediante procedimiento no perturbativo mediante las matrices de Pauli

Considere un hamiltoniano de la forma

$${\displaystyle {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{+}&=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\\\lambda _{-}&=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {W} =W_{1}+iW_{2}}$ ${\displaystyle {\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{i\phi }}$

Ahora, los vectores propios para se pueden encontrar a partir de la ecuación ${\displaystyle E_{+}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}.}$$

${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1}$

$${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1.}$$

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}$ ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}$ ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}}$

Entonces conseguimos . Es decir , utilizando la identidad . ${\textstyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1}$ ${\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}$ ${\textstyle \tan({\tfrac {\theta }{2}})={\tfrac {1-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}}$

La fase de relativo a debería ser . ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle -\phi }$

Si se elige ser real, el vector propio para el valor propio viene dado por ${\textstyle a}$ ${\displaystyle E_{+}}$

$${\displaystyle \left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .}$$

${\textstyle E_{-}}$

$${\displaystyle \left|E_{-}\right\rangle =\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{i\phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|0\right\rangle &=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle \\\left|1\right\rangle &=e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .\end{aligned}}}$$

${\displaystyle |0\rangle }$ ${\textstyle t=0}$

$${\displaystyle \left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .}$$

t

$${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle .}$$

^[6] ${\displaystyle |E_{+}\rangle }$ ${\displaystyle |E_{-}\rangle }$

La amplitud de probabilidad de encontrar el sistema en el tiempo t en el estado está dada por . ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right)}$

Ahora bien, la probabilidad de que se encuentre que un sistema en el estado está en el estado está dada por ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\textstyle |1\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}}$$

Esto muestra que existe una probabilidad finita de encontrar el sistema en el estado cuando el sistema se encuentra originalmente en el estado . La probabilidad es oscilatoria con frecuencia angular , que es simplemente la frecuencia de Bohr única del sistema y también llamada frecuencia de Rabi . La fórmula ( 1 ) se conoce como fórmula de Rabi . Ahora, después del tiempo t, la probabilidad de que el sistema esté en el estado está dada por , que también es oscilatoria. ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)}$

Este tipo de oscilaciones de sistemas de dos niveles se denominan oscilaciones de Rabi, las cuales surgen en muchos problemas como la oscilación de neutrinos , la molécula de Hidrógeno ionizado , la computación cuántica , el máser de amoníaco , etc.

En computación cuántica

Cualquier sistema cuántico de dos estados puede usarse para modelar un qubit . Considere un sistema de espín con momento magnético colocado en un campo magnético clásico . Sea la relación giromagnética del sistema. El momento magnético es entonces . El hamiltoniano de este sistema viene dado por donde y . Se pueden encontrar los valores propios y los vectores propios de este hamiltoniano mediante el procedimiento mencionado anteriormente. Ahora, dejemos que el qubit esté en estado en el momento . Entonces, en el momento , la probabilidad de que se encuentre en el estado está dada por donde . Este fenómeno se llama oscilación de Rabi. Por tanto, el qubit oscila entre los estados y . La amplitud máxima de oscilación se alcanza en , que es la condición para la resonancia . En resonancia, la probabilidad de transición viene dada por . Para pasar de un estado a otro basta con ajustar el tiempo durante el cual actúa el campo giratorio de manera que o . Esto se llama pulso. Si se elige un tiempo intermedio entre 0 y obtenemos una superposición de y . En particular para , tenemos un pulso, que actúa como: . Esta operación tiene una importancia crucial en la computación cuántica. Las ecuaciones son esencialmente idénticas en el caso de un átomo de dos niveles en el campo de un láser cuando se realiza la aproximación de onda giratoria generalmente satisfactoria. Entonces , la diferencia de energía entre los dos niveles atómicos, es la frecuencia de la onda láser y la frecuencia de Rabi es proporcional al producto del momento dipolar eléctrico de transición del átomo y el campo eléctrico de la onda láser, es decir . En resumen, las oscilaciones de Rabi son el proceso básico utilizado para manipular qubits. Estas oscilaciones se obtienen exponiendo los qubits a campos eléctricos o magnéticos periódicos durante intervalos de tiempo adecuadamente ajustados. ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)}$ ${\displaystyle \omega _{0}=\gamma B_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=\gamma B_{1}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ ${\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle |0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$

Ver también

• coherencia atómica
• Esfera de Bloch
• bombeo láser
• bombeo óptico
• problema de rabi
• Oscilación de vacío Rabi
• Oscilación de partículas neutras

Referencias

1. Oscilaciones de Rabi, frecuencia de Rabi, emisión estimulada. Enciclopedia de física y tecnología láser.
2. Griffiths, David (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). pag. 341.
3. Sourendu Gupta (27 de agosto de 2013). "La física de los sistemas de 2 estados" (PDF) . Instituto Tata de Investigaciones Fundamentales.
4. Griffiths, David (2012). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.) p. 191.
5. Griffiths, David (2012). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307 
6. Merlín, R. (2021). "Oscilaciones de Rabi, estados de Floquet, la regla de oro de Fermi y todo eso: conocimientos de un modelo de dos niveles con solución exacta". Revista Estadounidense de Física . 89 (1): 26–34. Código Bib : 2021AmJPh..89...26M. doi : 10.1119/10.0001897 . S2CID  234321681.
7. Una breve introducción a la información cuántica y la computación cuántica por Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567 

• Mecánica cuántica Volumen 1 por C. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, ISBN 9780471164333 
• Una breve introducción a la información cuántica y la computación cuántica por Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567 
• Las conferencias Feynman sobre física, volumen III
• Enfoque moderno de la mecánica cuántica por John S Townsend, ISBN 9788130913148