Esfera de Bloch

Representación geométrica del espacio de estados puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles.

Esfera de Bloch

En mecánica cuántica y computación , la esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ), llamado así en honor al físico Felix Bloch . ^[1]

Matemáticamente cada sistema de mecánica cuántica está asociado a un espacio de Hilbert complejo separable . Un estado puro de un sistema cuántico está representado por un vector distinto de cero en . Como los vectores y (con ) representan el mismo estado, el nivel del sistema cuántico corresponde a la dimensión del espacio de Hilbert y los estados puros se pueden representar como clases de equivalencia o rayos en un espacio de Hilbert proyectivo . ^[2] Para un espacio de Hilbert bidimensional, el espacio de todos esos estados es la línea proyectiva compleja. Esta es la esfera de Bloch, que se puede asignar a la esfera de Riemann . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \psi }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$

La esfera de Bloch es una unidad de 2 esferas , con puntos antípodas correspondientes a un par de vectores de estado mutuamente ortogonales. Los polos norte y sur de la esfera de Bloch normalmente se eligen para que correspondan a los vectores de base estándar y , respectivamente, que a su vez podrían corresponder, por ejemplo, a los estados de espín ascendente y descendente de un electrón. Sin embargo, esta elección es arbitraria. Los puntos de la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos del interior corresponden a los estados mixtos . ^{[3] [4]} La esfera de Bloch puede generalizarse a un sistema cuántico de nivel n , pero la visualización es menos útil. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

La métrica natural en la esfera de Bloch es la métrica de Fubini-Study . El mapeo de la unidad de 3 esferas en el espacio de estados bidimensional a la esfera de Bloch es la fibración de Hopf , en la que cada rayo de espinores se asigna a un punto de la esfera de Bloch. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Definición

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores base y , donde el coeficiente de (o la contribución de) cada uno de los dos vectores base es un número complejo . Esto significa que el estado se describe mediante cuatro números reales. Sin embargo, sólo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores básicos tiene algún significado físico (la fase del sistema cuántico no se puede medir directamente ), por lo que hay redundancia en esta descripción. Podemos tomar el coeficiente de como real y no negativo. Esto permite describir el estado mediante sólo tres números reales, dando lugar a las tres dimensiones de la esfera de Bloch. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$

También sabemos por la mecánica cuántica que la probabilidad total del sistema tiene que ser uno:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$, o equivalente . ${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

Dada esta restricción, podemos escribir usando la siguiente representación: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$, dónde y . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

La representación es siempre única, porque, aunque el valor de no es único cuando es uno de los estados (ver notación Bra-ket ) o , el punto representado por y es único. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Los parámetros y , reinterpretados en coordenadas esféricas como respectivamente la colatitud con respecto al eje z y la longitud con respecto al eje x , especifican un punto ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

en la esfera unitaria en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Para estados mixtos , se considera el operador de densidad . Cualquier operador de densidad bidimensional ρ se puede expandir usando la identidad I y las matrices hermitianas de Pauli sin rastro , ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$,

donde se llama vector de Bloch . ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Es este vector el que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. Específicamente, como característica básica del vector de Pauli , los valores propios de ρ son . Los operadores de densidad deben ser semidefinidos positivos, por lo que se deduce que . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$ ${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

Para estados puros, entonces se tiene

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

en conformidad con lo anterior. ^[5]

Como consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

u , v , w representación

El vector de Bloch se puede representar de la siguiente manera, con referencia al operador de densidad : ^[6] ${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

dónde

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

Esta base se utiliza a menudo en la teoría del láser , donde se la conoce como inversión de población . ^[7] En esta base, los números son las expectativas de las tres matrices de Pauli , lo que permite identificar las tres coordenadas con los ejes xy y z. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

estados puros

Considere un sistema mecánico cuántico de nivel n . Este sistema se describe mediante un espacio de Hilbert de n dimensiones H _n . El espacio de estados puro es por definición el conjunto de rayos de H _n .

Teorema . Sea U( n ) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n . Entonces el espacio de estados puros de H _n se puede identificar con el espacio lateral compacto

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

Para probar este hecho, observe que existe una acción grupal natural de U( n ) sobre el conjunto de estados _de Hn . Esta acción es continua y transitiva en los estados puros. Para cualquier estado , el grupo de isotropía de (definido como el conjunto de elementos de U( n ) tal que ) es isomorfo al grupo de productos. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

En términos de álgebra lineal, esto se puede justificar de la siguiente manera. Cualquiera de U( n ) que deje invariante debe tener como vector propio . Dado que el valor propio correspondiente debe ser un número complejo de módulo 1, esto da el factor U(1) del grupo de isotropía. La otra parte del grupo de isotropía está parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal de , que es isomorfo a U ( n − 1). De aquí la afirmación del teorema se deriva de hechos básicos sobre las acciones grupales transitivas de grupos compactos. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

El hecho importante a tener en cuenta anteriormente es que el grupo unitario actúa transitivamente sobre estados puros.

Ahora la dimensión (real) de U( n ) es n ² . Esto es fácil de ver ya que el mapa exponencial

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

es un homeomorfismo local del espacio de matrices complejas autoadjuntas a U ( n ). El espacio de matrices complejas autoadjuntas tiene dimensión real n ² .

Corolario . La dimensión real del espacio de estados puro de H _n es 2 n − 2.

De hecho,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico de m qubit. El espacio de Hilbert correspondiente tiene una dimensión de 2 ^m .

Corolario . La dimensión real del espacio de estados puro de un registro cuántico m - qubit es 2 ^{m +1} − 2.

Trazado de estados puros de dos espinores mediante proyección estereográfica

Esfera de Bloch centrada en el origen de . Un par de puntos sobre él, y han sido elegidos como base. Matemáticamente son ortogonales aunque gráficamente el ángulo entre ellos es π. En esos puntos tienen coordenadas (0,0,1) y (0,0,−1). Un espinor arbitrario en la esfera de Bloch se puede representar como una combinación lineal única de los dos espinores básicos, siendo los coeficientes un par de números complejos; Llámalos α y β . Sea su razón , que también es un número complejo . Consideremos el plano z  = 0, el plano ecuatorial de la esfera, por así decirlo, como un plano complejo y que el punto u está trazado sobre él como . Proyecte el punto u estereográficamente sobre la esfera de Bloch lejos del Polo Sur, por así decirlo, (0,0,−1). La proyección se realiza sobre un punto marcado en la esfera como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u={\beta \over \alpha }}$ ${\displaystyle u_{x}+iu_{y}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

Matemáticamente, la esfera de Bloch para un estado de dos espinores se puede asignar a una esfera de Riemann , es decir, el espacio proyectivo de Hilbert con el espacio de Hilbert complejo bidimensional como un espacio de representación de SO(3) . ^[8] Dado un estado puro ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$ ${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

donde y son números complejos que están normalizados de modo que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

y tal que y , es decir, tal que y forman una base y tienen representaciones diametralmente opuestas en la esfera de Bloch, entonces sean ${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

sea ​​su relación.

Si se piensa que la esfera de Bloch está incrustada con su centro en el origen y con radio uno, entonces se puede pensar que el plano z  = 0 (que cruza la esfera de Bloch en un círculo máximo; el ecuador de la esfera, por así decirlo) como un diagrama de Argand . Trace el punto u en este plano, de modo que tenga coordenadas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

Dibuja una línea recta que pase por u y por el punto de la esfera que representa . (Sea que (0,0,1) representa y (0,0,−1) representa .) Esta línea cruza la esfera en otro punto además de . (La única excepción es cuando , es decir, cuando y .) Llame a este punto P . El punto u en el plano z = 0 es la proyección estereográfica del punto P en la esfera de Bloch. El vector con cola en el origen y punta en P es la dirección en el espacio tridimensional correspondiente al espinor . Las coordenadas de P son ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u=\infty }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

Operadores de densidad

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas de mecánica cuántica deben describirse en términos de operadores de densidad . La esfera de Bloch parametriza no sólo estados puros sino también estados mixtos para sistemas de 2 niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de 2 niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

donde es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y son las coordenadas de los estados individuales (en la superficie de la esfera de Bloch). El conjunto de todos los puntos dentro y dentro de la esfera de Bloch se conoce como bola de Bloch. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

Para estados de dimensiones superiores resulta difícil extender esto a estados mixtos. La descripción topológica se complica por el hecho de que el grupo unitario no actúa transitivamente sobre los operadores de densidad. Además, las órbitas son extremadamente diversas, como se desprende de la siguiente observación:

Teorema . Supongamos que A es un operador de densidad en un sistema mecánico cuántico de nivel n cuyos valores propios distintos son μ ₁ , ..., μ _k con multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Entonces el grupo de operadores unitarios V tal que VAV * = A es isomorfo (como grupo de Lie) a

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

En particular, la órbita de A es isomorfa a

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

Es posible generalizar la construcción de la bola Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de dicho "cuerpo Bloch" es más complicada que la de una bola. ^[9]

Rotaciones

Una ventaja útil de la representación de la esfera de Bloch es que la evolución del estado del qubit se puede describir mediante rotaciones de la esfera de Bloch. La explicación más concisa de por qué esto es así es que el álgebra de Lie para el grupo de matrices unitarias y hermitianas es isomorfa al álgebra de Lie del grupo de rotaciones tridimensionales . ^[10] ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SO(3)}$

Operadores de rotación sobre la base de Bloch.

Las rotaciones de la esfera de Bloch sobre los ejes cartesianos en la base de Bloch vienen dadas por ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Rotaciones sobre un eje general.

Si es un vector unitario real en tres dimensiones, la rotación de la esfera de Bloch alrededor de este eje viene dada por: ${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

Una cosa interesante a tener en cuenta es que esta expresión es idéntica al reetiquetar la fórmula extendida de Euler para cuaterniones .

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Derivación del generador de rotación de Bloch.

Ballentine ^[12] presenta una derivación intuitiva para la transformación unitaria infinitesimal. Esto es importante para comprender por qué las rotaciones de las esferas de Bloch son exponenciales de combinaciones lineales de matrices de Pauli. Por lo tanto, aquí se ofrece un breve tratamiento sobre esto. Puede encontrar una descripción más completa en un contexto de mecánica cuántica aquí .

Considere una familia de operadores unitarios que representan una rotación alrededor de algún eje. Como la rotación tiene un grado de libertad, el operador actúa sobre un campo de escalares tal que: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

Dónde ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

Definimos el unitario infinitesimal como la expansión de Taylor truncada de segundo orden.

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

Por la condición unitaria:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

Por eso

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

Para que esta igualdad sea verdadera (asumiendo que es insignificante) requerimos ${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}$.

Esto da como resultado una solución de la forma:

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}$

Donde se encuentra cualquier transformación hermitiana, y se le llama generador de la familia unitaria. ${\displaystyle K}$

Por eso:

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

Dado que las matrices de Pauli son matrices hermitianas unitarias y tienen vectores propios correspondientes a la base de Bloch, podemos ver naturalmente cómo una rotación de la esfera de Bloch alrededor de un eje arbitrario se describe mediante ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

Con el generador de rotación dado por ${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2}$

enlaces externos

• Visualización online de esferas Bloch por Konstantin Herb

Ver también

• Transición de electrones atómicos
• Espacio girovectorial
• Versores
• Las implementaciones específicas de la esfera Bloch se enumeran en el artículo sobre qubit .

Notas

1. Bloch 1946.
2. Bäuerle y de Kerf 1990, págs.330, 341.
3. Nielsen y Chuang 2000.
4. "Esfera Bloch | Quantiki".
5. La matriz de densidad idempotente

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta /2&\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{-i\phi }\\\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{i\phi }&\sin ^{2}\theta /2\end{pmatrix}}}$

   actúa sobre el vector propio de estado con valor propio 1, por lo que es como un operador de proyección para él. ${\displaystyle (\cos \theta /2,e^{i\phi }\sin \theta /2)}$
6. Feynman, Vernon y Hellwarth 1957.
7. Milonni y Eberly 1988, pág. 340.
8. Penrose 2007, pág. 554.
9. Apple por 2007.
10. DB Westra 2008, "SU(2) y SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
11. Nielsen y Chuang 2010, "Computación e información cuánticas", página 174
12. Ballentine 2014, "Mecánica cuántica: un desarrollo moderno", Capítulo 3

Referencias

• Appleby, DM (2007). "Medidas simétricas informativamente completas de rango arbitrario". Óptica y Espectroscopia . 103 (3): 416–428. arXiv : quant-ph/0611260 . Código Bib : 2007OptSp.103..416A. doi :10.1134/S0030400X07090111. S2CID  17469680.
• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990). Álgebras de mentira, parte 1: Álgebras de mentira de dimensiones finitas e infinitas y aplicaciones en física . Estudios de Física Matemática. Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 0-444-88776-8.
• Bloch, F. (1946). "Inducción nuclear". Revisión física . 70 (7–8): 460–474. Código bibliográfico : 1946PhRv...70..460B. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN  0031-899X.
• Feynman, Richard P.; Vernon, Frank L.; Hellwarth, Robert W. (1957). "Representación geométrica de la ecuación de Schrödinger para la resolución de problemas de Maser". Revista de Física Aplicada . 28 (1): 49–52. Código Bib : 1957JAP....28...49F. doi : 10.1063/1.1722572. ISSN  0021-8979. S2CID  36493808.
• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63503-5.
• Milonni, Peter W.; Eberly, Joseph H. (1988). Láseres . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-62731-9.
• Penrose, Roger (2007). El camino a la realidad . Nueva York: Libros de National Geographic. ISBN 978-0-679-77631-4.