Coordenadas bipolares

Sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales basado en círculos apolíneos

Sistema de coordenadas bipolar

Las coordenadas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales basado en los círculos apolíneos . ^[1] También existe un tercer sistema, basado en dos polos ( coordenadas biangulares ).

El término "bipolar" se utiliza también en ocasiones para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como las elipses , las hipérbolas y los óvalos de Cassini . Sin embargo, el término coordenadas bipolares se reserva para las coordenadas descritas aquí y nunca se utiliza para sistemas asociados con esas otras curvas, como las coordenadas elípticas .

Interpretación geométrica de las coordenadas bipolares. El ángulo σ está formado por los dos focos y el punto P , mientras que τ es el logaritmo del cociente de las distancias a los focos. Los círculos correspondientes de las constantes σ y τ se muestran en rojo y azul, respectivamente, y se encuentran en ángulos rectos (recuadro magenta); son ortogonales.

Definición

El sistema se basa en dos focos F ₁ y F ₂ . En la figura de la derecha, la coordenada σ de un punto P es igual al ángulo F ₁  P  F ₂ , y la coordenada τ es igual al logaritmo natural del cociente de las distancias d ₁ y d ₂ :

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

Si, en el sistema cartesiano, los focos se toman en (− a , 0) y ( a , 0), las coordenadas del punto P son

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

La coordenada τ varía de (para puntos cercanos a F ₁ ) a (para puntos cercanos a F ₂ ). La coordenada σ solo se define módulo 2π , y se considera mejor que varíe de -π a π , tomándola como el negativo del ángulo agudo F ₁ P F ₂ si P está en el semiplano inferior. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$  

Prueba de que el sistema de coordenadas es ortogonal

Las ecuaciones para x e y se pueden combinar para dar

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}$^{[2] [3]}

o

${\displaystyle x+iy=a\coth \left({\frac {\tau -i\sigma }{2}}\right).}$

Esta ecuación muestra que σ y τ son las partes reales e imaginarias de una función analítica de x+iy (con puntos de ramificación logarítmica en los focos), lo que a su vez prueba (apelando a la teoría general de mapeo conforme ) (las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) que estas curvas particulares de σ y τ se intersecan en ángulos rectos, es decir, es un sistema de coordenadas ortogonales .

Curvas de constanteσyτ

Las curvas de σ constante corresponden a círculos no concéntricos

que se intersecan en los dos focos. Los centros de los círculos de σ constante se encuentran en el eje y en con radio . Los círculos de σ positiva están centrados sobre el eje x , mientras que los de σ negativa se encuentran debajo del eje. A medida que la magnitud | σ |- π /2 disminuye, el radio de los círculos disminuye y el centro se acerca al origen (0, 0), que se alcanza cuando | σ | = π /2. (De la geometría elemental, todos los triángulos en un círculo con 2 vértices en extremos opuestos de un diámetro son triángulos rectángulos). ${\displaystyle a\cot \sigma }$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sin \sigma }}}$

Las curvas de constante son círculos no intersecantes de diferentes radios. ${\displaystyle \tau }$

que rodean los focos pero nuevamente no son concéntricos. Los centros de los círculos de τ constante se encuentran en el eje x con radio . Los círculos de τ positivo se encuentran en el lado derecho del plano ( x  > 0), mientras que los círculos de τ negativo se encuentran en el lado izquierdo del plano ( x  < 0). La curva τ  = 0 corresponde al eje y ( x  = 0). A medida que aumenta la magnitud de τ , el radio de los círculos disminuye y sus centros se aproximan a los focos. ${\displaystyle a\coth \tau }$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sinh \tau }}}$

Relaciones inversas

El paso de las coordenadas cartesianas a las coordenadas bipolares se puede realizar mediante las siguientes fórmulas:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}$

y

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

Las coordenadas también tienen las identidades:

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

y

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}},}$

que se puede derivar resolviendo las ecuaciones (1) y (2) para y , respectivamente. ${\displaystyle \cot \sigma }$ ${\displaystyle \coth \tau }$

Factores de escala

Para obtener los factores de escala para coordenadas bipolares, tomamos la diferencial de la ecuación para , que da ${\displaystyle x+iy}$

${\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}$

Multiplicando esta ecuación por su conjugado complejo obtenemos

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Empleando las identidades trigonométricas para productos de senos y cosenos, obtenemos

${\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}$

De lo cual se sigue que

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Por lo tanto, los factores de escala para σ y τ son iguales y están dados por

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Ahora se obtienen muchos resultados en rápida sucesión a partir de las fórmulas generales para coordenadas ortogonales . Por lo tanto, el elemento de área infinitesimal es igual a

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,}$

y el laplaciano viene dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

Las expresiones para , , y se pueden expresar obteniéndose sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares se dan en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las que las coordenadas bipolares permiten una separación de variables . Un ejemplo es el campo eléctrico que rodea a dos conductores cilíndricos paralelos con diámetros desiguales.

Extensión a 3 dimensiones

Las coordenadas bipolares forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales .

• Las coordenadas cilíndricas bipolares se producen trasladando las coordenadas bipolares a lo largo del eje z , es decir, el eje fuera del plano.

• Las coordenadas bisféricas se producen rotando las coordenadas bipolares alrededor del eje x , es decir, el eje que une los focos.

• Las coordenadas toroidales se producen rotando las coordenadas bipolares alrededor del eje y , es decir, el eje que separa los focos.

Véase también

• Sistema de coordenadas elípticas

Enlaces externos

• Demostración interactiva con desmos https://www.desmos.com/calculator/nbvnucu4o5

Referencias

1. Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM , Bipolar Coordinates , edición en CD-ROM 1.0, 20 de mayo de 1999 «Bipolar Coordinates». Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2007. Consultado el 9 de diciembre de 2006 .
2. Polyanin, Andrei Dmitrievich (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos. CRC Press. pág. 476. ISBN 1-58488-299-9.
3. Happel, John; Brenner, Howard (1983). Hidrodinámica de bajo número de Reynolds: con aplicaciones especiales a medios particulados. Mecánica de fluidos y procesos de transporte. Vol. 1. Springer. p. 497. ISBN 978-90-247-2877-0.

• "Coordenadas bipolares", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA y Korn TM . (1961) Manual matemático para científicos e ingenieros , McGraw-Hill.